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陕西省西安市部分中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题（学生版+教师版）
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这是一份陕西省西安市部分中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题（学生版+教师版），文件包含陕西省西安市部分中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题教师版docx、陕西省西安市部分中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
1. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深远．下列四个汉字，可以看做是轴对称图形的选项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题．
【详解】解：由题意得：B、C、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有A选项；
故选：A．
2. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，结合已知条件求得的度数是解题的关键．利用平行线的性质求得的度数，然后利用角的和差即可求得答案．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：A
3. 2023年12月11日，国家重大科技基础设施高能同步辐射光源（HEPS）加速器储存环最后一台磁铁安装就位，HEPS储存环是世界上第三大光源加速器，其发射度小于0.06纳米（）·弧度．已知．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负数指数幂，指数是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，正确用指数表示出来是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
4. 某商场为了增加销售额，推出了“元旦期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡元旦期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列出函数关系式．根据活动方案，应付款等于超出元的部分的费用之和，列出函数关系式即可．找准等量关系，正确的列出表达式，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：；
故选C．
5. 等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为（ ）
A. 13B. 17C. 13或17D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用等腰三角形两边长分别为3，7，分情况讨论，再利用三角形的三边关系验证即可．
【详解】解：根据题意得：
当腰为7，底边为3时，，周长=7+7+3=17；
当腰为3，底边为7时，，不满足三角形的三边关系；
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系．关键是分情况讨论，再通过三角形的三边关系验证．
6. 在△ABC中，若∠A－∠B＝90°，则△ABC是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件，结合三角形的分类即可解答．
【详解】解：三角形ABC中，∠A－∠B＝90°，
∴△ABC是钝角三角形
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的分类，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 角平分线是角的对称轴
B. 三角形的三条高线交于一点
C. 三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了角的对称轴、三角形的高线、三角形的角平分线的性质及平行公理，关键是熟练掌握各知识点．利用角的对称轴、三角形的高线、三角形的角平分线的性质及平行公理进行分析即可．
【详解】解：A、角平分线所在的直线是角的对称轴，故原题说法错误；
B、钝角三角形的三条高线没有交点，故原题说法错误；
C、三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，故原题说法正确；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误；
故选：C
8. 如图，在中，是边上的一点（不与点B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，△ACE的面积为，若，则的面积为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】点E，F是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积．
【详解】解：∵点E，F是线段的三等分点，
∴，
∴
同理，
∴
，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是掌握同高三角形面积之比等于对应底边之比
9. 如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（ ）
A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF，
∴AB=BE，AE⊥BD，
∴BD是AE的垂直平分线，
∴AD=ED，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-50°=45°，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10. 如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为___________时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等．
A. 1或B. 1或C. 2或D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．设点Q的运动速度是，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设点Q的运动速度是，
∵，
∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况：
①，，
则，
解得：，
则，
解得：；
②，，
则，，
解得：，，
故选A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 一个角的余角与这个角的补角的比为 ，则这个角的度数是_____．
【答案】##度
【解析】
【分析】设这个角为，根据题意列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设这个角为，则这个角的余角为，补角为，
根据题意得：，
解得：
故答案为：．
【点睛】此题综合考查余角和补角，根据余角和补角的定义准确的表示出题目中所叙述的数量关系是解题的关键．
12. 若是完全平方式，则m＝_____．
【答案】11或-5##-5或11
【解析】
【分析】根据完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方，列出关于的方程，可解得答案．
【详解】解：是完全平方式，
或，
，
或．
故答案是：或．
【点睛】本题考查了完全平方式中一次项系数与常数项的关系，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
13. 如图，在中，，垂足分别为，交于点，已知，，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的定义，由垂线的定义结合同角的余角相等得出，证明，得出，再由计算即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
14. 如图，四边形中，平分，，，，，则四边形面积为______．
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出是解题的关键．过点作的延长线于点，利用角平分线的性质可得出，再利用三角形的面积公式结合可求出四边形的面积．
【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示．
平分，
，
，
，
，
．
故答案为：36
15. 如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E．已知的周长为，分别连接，若的周长为，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，，从而可求出，然后根据的周长为，即可求出的长，即可解答．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
是的垂直平分线，
，，
，
的周长为，
，
，
，
的周长为，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
16. 如图，为等边的高，，分别为线段，上的动点，且，当取得最小值时，的度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，最短路径问题，关键是作出辅助线，构建全等三角形，证明，得，将转化为，与在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点的位置，即为与的交点时，的值最小，即可求出的度数．
【详解】解：作，且，连接交于，连接，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴当为与的交点时，的值最小，
此时，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共7小题，共52分）
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算及实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据积的乘方运算法则及单项式与单项式的乘除法则计算即可得到结果；
（2）根据实数的运算法则进行计算得到结果；
（3）先利用平方差公式及单项式乘多项式运算法则计算，再合并同类项即可得到结果；
（4）原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果．
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
【小问3详解】
原式
【小问4详解】
原式
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【解析】
【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，熟记乘法公式与多项式除以单项式的运算法则是解本题的关键；本题先去括号，再合并同类项，最后计算多项式的除法运算，再把代入化简后的代数式计算即可．
【详解】解：
；
当时，
原式．
19. 如图，在中，请用直尺和圆规在边上确定点D，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查基本作图垂直平分线，熟练掌握尺规作图的方法，正确的画出图形是解题的关键．掌握以，为圆心，大于长为半径作弧，交于两点，过两个交点作直线交于点，由作图可得，则，即可解题．
【详解】解：如图所示，点为所作．
20. 如图，在中，，点是的中点，点在上，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的“三线合一“是解决问题的关键．根据等腰三角形的性质得到，，，计算即可．
【详解】解：，，
，
，
，
点是的中点，
，
，
．
21. 一个不透明口袋中装有个完全相同的小球，分别标有数字，，，；另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的个扇形区域，分别标有数字，，如图所示．
（1）从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于的概率是______ ；
（2）小明和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加比赛，游戏规则为：小明从口袋中摸出一个小球，小东转动圆盘，如果所摸球上的数字小于，那么小明去；圆盘上转出数字小于，则让小东去，你认为游戏公平吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）游戏不公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）分别求出所摸球上的数字小于的概率和圆盘上转出数字小于的概率，比较即可得出结论．
【小问1详解】
解：口袋中小球上数字大于的有，，
则．
故答案为：；
【小问2详解】
解：游戏不公平，理由如下：
，，
游戏不公平．
22. 一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示的图象分别表示两车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系．
（1）货车的速度为______；轿车从甲地到乙地的速度为______；
（2）轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇，相遇时轿车距离甲地多少千米？
【答案】（1）45，60；
（2）当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，相遇处离甲地的距离是75千米．
【解析】
【分析】本题考查函数图象及一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据图象进行解答即可；
（2）利用待定系数法求得轿车从乙地到甲地的函数解析式和货车路程和时间的函数解析式，求交点坐标即可得出相遇时间，进而可得相遇处离甲地的距离．
【小问1详解】
由图象可得：货车的速度为；轿车从甲地到乙地的速度为；
故答案为：45，60；
【小问2详解】
设货车离甲地的距离（千米）与轿车行驶时间（小时）的函数解析式是，
则，
解得：，
则函数解析式是；
设轿车在返回甲地过程中离甲地的距离（千米）与轿车行驶时间（小时）的解析式是，
则，
解得：，
则函数解析式是．
根据题意得：，
解得：，
则轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，相遇处到甲地的距离是（千米）．
答：当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，相遇处离甲地的距离是75千米．
23. 【基础巩固】
（1）如图1，在与中，，，，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若F为中点，，求的面积；
【拓展提高】
（3）如图3，在与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，直接写出的长．（提示：平行线间的距离相等）
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）6
【解析】
【分析】（1）由证即可；
（2）同（1）得，得，过点作于点，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论；
（3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
同（1）得：，
，
；
如图2，过点作于点，
则，
，
，
点为中点，
，
又，
，
，，
，，
，
，
；
（3）解：如图3，连接，
同（2）得：，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的长为6．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
24. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）；
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…… ……
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查定义新运算，数字规律，理解题目中数字规律，掌握乘方的运算法则是解题的关键．
根据资料提示确定展开式中与的指数关系，再确定系数的关系，由此即可求解．
【详解】解：根据材料提示可知，，其中的指数从2017逐次递减直到次数为，的指数从逐次递增直到次数为2017，
∴，
∴，
∴含项的系数是，
故答案为：．
25. 如图，在中，，平分，平分，与交于点，为外一点，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是________（只需要填写序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，①先证，再根据，，即可依据“”判定和全等，由此可对结论①进行判断；②根据等腰三角形性质得，则，再根据角平分线的定义得，，则，，由此可求出的度数，进而可对结论②进行判断；③根据等腰三角形性质得为边上的中线，则，由得，进而得，而是的平分线不是边上的中线，则，据此可对结论③进行判断；④由得，再证和全等得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】①∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
故结论①正确；
②在中，，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
由①可知：，，
∴，
故结论②正确；
③在中，，平分，
∴是边上的中线，
∴，
由①可知：，
∴，
∴，
∵是的平分线，不是边上的中线，
∴，
∴，
故结论③不正确；
④由①可知：，
∴，，，
又∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故结论④正确，
综上所述：结论正确的是 ①②④，
故答案为：①②④．
1. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深远．下列四个汉字，可以看做是轴对称图形的选项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题．
【详解】解：由题意得：B、C、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有A选项；
故选：A．
2. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，结合已知条件求得的度数是解题的关键．利用平行线的性质求得的度数，然后利用角的和差即可求得答案．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：A
3. 2023年12月11日，国家重大科技基础设施高能同步辐射光源（HEPS）加速器储存环最后一台磁铁安装就位，HEPS储存环是世界上第三大光源加速器，其发射度小于0.06纳米（）·弧度．已知．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负数指数幂，指数是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，正确用指数表示出来是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
4. 某商场为了增加销售额，推出了“元旦期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡元旦期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列出函数关系式．根据活动方案，应付款等于超出元的部分的费用之和，列出函数关系式即可．找准等量关系，正确的列出表达式，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：；
故选C．
5. 等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为（ ）
A. 13B. 17C. 13或17D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用等腰三角形两边长分别为3，7，分情况讨论，再利用三角形的三边关系验证即可．
【详解】解：根据题意得：
当腰为7，底边为3时，，周长=7+7+3=17；
当腰为3，底边为7时，，不满足三角形的三边关系；
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系．关键是分情况讨论，再通过三角形的三边关系验证．
6. 在△ABC中，若∠A－∠B＝90°，则△ABC是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件，结合三角形的分类即可解答．
【详解】解：三角形ABC中，∠A－∠B＝90°，
∴△ABC是钝角三角形
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的分类，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 角平分线是角的对称轴
B. 三角形的三条高线交于一点
C. 三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了角的对称轴、三角形的高线、三角形的角平分线的性质及平行公理，关键是熟练掌握各知识点．利用角的对称轴、三角形的高线、三角形的角平分线的性质及平行公理进行分析即可．
【详解】解：A、角平分线所在的直线是角的对称轴，故原题说法错误；
B、钝角三角形的三条高线没有交点，故原题说法错误；
C、三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，故原题说法正确；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误；
故选：C
8. 如图，在中，是边上的一点（不与点B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，△ACE的面积为，若，则的面积为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】点E，F是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积．
【详解】解：∵点E，F是线段的三等分点，
∴，
∴
同理，
∴
，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是掌握同高三角形面积之比等于对应底边之比
9. 如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（ ）
A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF，
∴AB=BE，AE⊥BD，
∴BD是AE的垂直平分线，
∴AD=ED，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-50°=45°，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10. 如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为___________时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等．
A. 1或B. 1或C. 2或D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．设点Q的运动速度是，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设点Q的运动速度是，
∵，
∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况：
①，，
则，
解得：，
则，
解得：；
②，，
则，，
解得：，，
故选A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 一个角的余角与这个角的补角的比为 ，则这个角的度数是_____．
【答案】##度
【解析】
【分析】设这个角为，根据题意列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设这个角为，则这个角的余角为，补角为，
根据题意得：，
解得：
故答案为：．
【点睛】此题综合考查余角和补角，根据余角和补角的定义准确的表示出题目中所叙述的数量关系是解题的关键．
12. 若是完全平方式，则m＝_____．
【答案】11或-5##-5或11
【解析】
【分析】根据完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方，列出关于的方程，可解得答案．
【详解】解：是完全平方式，
或，
，
或．
故答案是：或．
【点睛】本题考查了完全平方式中一次项系数与常数项的关系，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
13. 如图，在中，，垂足分别为，交于点，已知，，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的定义，由垂线的定义结合同角的余角相等得出，证明，得出，再由计算即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
14. 如图，四边形中，平分，，，，，则四边形面积为______．
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出是解题的关键．过点作的延长线于点，利用角平分线的性质可得出，再利用三角形的面积公式结合可求出四边形的面积．
【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示．
平分，
，
，
，
，
．
故答案为：36
15. 如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E．已知的周长为，分别连接，若的周长为，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，，从而可求出，然后根据的周长为，即可求出的长，即可解答．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
是的垂直平分线，
，，
，
的周长为，
，
，
，
的周长为，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
16. 如图，为等边的高，，分别为线段，上的动点，且，当取得最小值时，的度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，最短路径问题，关键是作出辅助线，构建全等三角形，证明，得，将转化为，与在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点的位置，即为与的交点时，的值最小，即可求出的度数．
【详解】解：作，且，连接交于，连接，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴当为与的交点时，的值最小，
此时，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共7小题，共52分）
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算及实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据积的乘方运算法则及单项式与单项式的乘除法则计算即可得到结果；
（2）根据实数的运算法则进行计算得到结果；
（3）先利用平方差公式及单项式乘多项式运算法则计算，再合并同类项即可得到结果；
（4）原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果．
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
【小问3详解】
原式
【小问4详解】
原式
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【解析】
【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，熟记乘法公式与多项式除以单项式的运算法则是解本题的关键；本题先去括号，再合并同类项，最后计算多项式的除法运算，再把代入化简后的代数式计算即可．
【详解】解：
；
当时，
原式．
19. 如图，在中，请用直尺和圆规在边上确定点D，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查基本作图垂直平分线，熟练掌握尺规作图的方法，正确的画出图形是解题的关键．掌握以，为圆心，大于长为半径作弧，交于两点，过两个交点作直线交于点，由作图可得，则，即可解题．
【详解】解：如图所示，点为所作．
20. 如图，在中，，点是的中点，点在上，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的“三线合一“是解决问题的关键．根据等腰三角形的性质得到，，，计算即可．
【详解】解：，，
，
，
，
点是的中点，
，
，
．
21. 一个不透明口袋中装有个完全相同的小球，分别标有数字，，，；另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的个扇形区域，分别标有数字，，如图所示．
（1）从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于的概率是______ ；
（2）小明和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加比赛，游戏规则为：小明从口袋中摸出一个小球，小东转动圆盘，如果所摸球上的数字小于，那么小明去；圆盘上转出数字小于，则让小东去，你认为游戏公平吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）游戏不公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）分别求出所摸球上的数字小于的概率和圆盘上转出数字小于的概率，比较即可得出结论．
【小问1详解】
解：口袋中小球上数字大于的有，，
则．
故答案为：；
【小问2详解】
解：游戏不公平，理由如下：
，，
游戏不公平．
22. 一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示的图象分别表示两车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系．
（1）货车的速度为______；轿车从甲地到乙地的速度为______；
（2）轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇，相遇时轿车距离甲地多少千米？
【答案】（1）45，60；
（2）当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，相遇处离甲地的距离是75千米．
【解析】
【分析】本题考查函数图象及一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据图象进行解答即可；
（2）利用待定系数法求得轿车从乙地到甲地的函数解析式和货车路程和时间的函数解析式，求交点坐标即可得出相遇时间，进而可得相遇处离甲地的距离．
【小问1详解】
由图象可得：货车的速度为；轿车从甲地到乙地的速度为；
故答案为：45，60；
【小问2详解】
设货车离甲地的距离（千米）与轿车行驶时间（小时）的函数解析式是，
则，
解得：，
则函数解析式是；
设轿车在返回甲地过程中离甲地的距离（千米）与轿车行驶时间（小时）的解析式是，
则，
解得：，
则函数解析式是．
根据题意得：，
解得：，
则轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，相遇处到甲地的距离是（千米）．
答：当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，相遇处离甲地的距离是75千米．
23. 【基础巩固】
（1）如图1，在与中，，，，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若F为中点，，求的面积；
【拓展提高】
（3）如图3，在与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，直接写出的长．（提示：平行线间的距离相等）
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）6
【解析】
【分析】（1）由证即可；
（2）同（1）得，得，过点作于点，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论；
（3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
同（1）得：，
，
；
如图2，过点作于点，
则，
，
，
点为中点，
，
又，
，
，，
，，
，
，
；
（3）解：如图3，连接，
同（2）得：，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的长为6．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
24. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）；
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…… ……
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查定义新运算，数字规律，理解题目中数字规律，掌握乘方的运算法则是解题的关键．
根据资料提示确定展开式中与的指数关系，再确定系数的关系，由此即可求解．
【详解】解：根据材料提示可知，，其中的指数从2017逐次递减直到次数为，的指数从逐次递增直到次数为2017，
∴，
∴，
∴含项的系数是，
故答案为：．
25. 如图，在中，，平分，平分，与交于点，为外一点，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是________（只需要填写序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，①先证，再根据，，即可依据“”判定和全等，由此可对结论①进行判断；②根据等腰三角形性质得，则，再根据角平分线的定义得，，则，，由此可求出的度数，进而可对结论②进行判断；③根据等腰三角形性质得为边上的中线，则，由得，进而得，而是的平分线不是边上的中线，则，据此可对结论③进行判断；④由得，再证和全等得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】①∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
故结论①正确；
②在中，，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
由①可知：，，
∴，
故结论②正确；
③在中，，平分，
∴是边上的中线，
∴，
由①可知：，
∴，
∴，
∵是的平分线，不是边上的中线，
∴，
∴，
故结论③不正确；
④由①可知：，
∴，，，
又∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故结论④正确，
综上所述：结论正确的是 ①②④，
故答案为：①②④．
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