北京市石景山区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份北京市石景山区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1． （ ）
A．B．C．D．
2．已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．在复平面内,复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
6．平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．要得到函数的图象，只需将函数（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
8．在中，内角满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．正三角形
9．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．扇形的半径为，，点在弧上运动，，下列说法错误的是（ ）
A．的最小值是1
B．的最大值是
C．的取值范围为
D．的取值范围为
二、填空题
11．已知平面向量，，且，则实数 .
三、双空题
12．若复数，则 ， .
四、填空题
13．已知一个正方体的个顶点都在一个球面上，则球的表面积与这个正方体的全面积之比为 .
14．函数的值域是 ．
15．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图，一个半径为米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面米.已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点从水中浮现时(图中点)开始计时，经过秒后，水车旋转到点.
给出下列结论：

①在转动一圈内，点的高度在水面米以上的持续时间为秒；
②当时，点距水面的最大距离为米；
③当秒时，；
其中所有正确结论的序号是 .
五、解答题
16．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点.
（1）求，；
（2）若角满足，求的值.
17．已知向量，，．
（1）若点A，B，C共线，求实数m的值；
（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．
18．在中，．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
19．已知函数，是的一个零点.
(1)求的值；
(2)当时，若曲线与直线有个公共点，求的取值范围．
20．如图，在四边形中，，，.再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．

①面积；
②.
(1)求的值；
(2)求的大小.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
参考答案：
1．C
【解析】直接利用诱导公式求解.
【详解】 ，
故选：C
2．B
【分析】直接根据棱锥的体积公式求解即可.
【详解】正四棱锥的体积。
故选：B
3．A
【详解】试题分析：，对应的点为，在第一象限
考点：复数运算
4．B
【分析】根据弧度制与角度制互化公式，结合弧长公式进行求解即可.
【详解】，因为半径为，
所以的圆心角所对的弧长为，
故选：B
5．C
【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
6．B
【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.
【详解】因为，所以，
.
故选：B
7．A
【分析】由函数的图象变换规律，可得结论．
【详解】解：，
将函数的图象上所有的点向左平移个单位，即可得到函数的图象．
故选：A．
8．B
【分析】根据得到，求出，得到三角形形状.
【详解】，
故，即，
因为，所以，
故为等腰三角形.
故选：B
9．A
【分析】利用同角的三角函数关系和诱导公式分别证明充分性和必要性，进而得出结果.
【详解】若，则，
即，
所以，所以，即，所以，
所以，所以，
所以“”是“”的充分条件．
若，则，则，
即，所以，所以或，
所以“”不是“”的必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
10．D
【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解.
【详解】以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，

设，则，其中，，．
因为，
所以，即，
所以．
所以当时，取得最大值，此时点为的中点，
当或时，取得最小值，此时点为或点，故AB正确，
而，，
所以，
．
因为，所以，故，
因此，
所以的取值范围为，故C正确，
，，，
因为，所以,故，
，，所以D错误．
故选：D
11．
【分析】根据向量垂直的坐标表示可求出结果.
【详解】因为，所以，得.
故答案为：.
12． /
【分析】根据复数的除法运算求出，根据共轭复数的概念得，根据模长公式得.
【详解】，
，
.
故答案为：；.
13．
【分析】根据正方体的对角线是球的直径以及球的表面积公式可得结果.
【详解】设正方体的棱长为，依题意得正方体的对角线是球的直径，
所以球的半径为，表面积为，
正方体的全面积为，
所以球的表面积与这个正方体的全面积之比为.
故答案为：.
14．
【详解】，
因为，所以.
15．①③
【分析】设经过秒后，点的高度为，根据题意求出，得，由可得，①正确；由，得②错误；根据秒时，，为正三角形，可得③正确.
【详解】设经过秒后，点的高度为，
则，解得，，
因为水轮每分钟转动1圈，所以，
所以，
由，得，因为，所以，
所以.
对于①，由，得，
得，，得，，
又因为，所以，，
所以在转动一圈内，点的高度在水面米以上的持续时间为秒.
故①正确；
对于②，，故②错误；
对于③，当秒时，，又，
所以为正三角形，所以米，故③正确.
故答案为：①③.
16．（1），；（2）.
【分析】（1）利用三角函数的定义求，，对用诱导公式转化后求解；
（2）由（1）先求出，利用两角和的正切公式求出.
【详解】解：（1）∵，∴
∴，，
∴.
（2）由（1）得：
∴
.
即
【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；
(2)利用三角公式求三角函数值的关键：根据条件进行合理的拆角，如等．
17．（1）；（2）或
【分析】首先求出，，的坐标；
（1）依题意可得，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得；
（2）对直角分三种情况讨论，若为直角，则，所以，即可求出参数的值，其余类似；
【详解】解：（1）因为，，，
所以，
因为、、三点共线，所以，所以，解得
（2）①若为直角，则，所以，解得
②若为直角，则，所以，解得
③若为直角，则，所以，即，因为，所以方程无解；
综上可得，当或时为直角三角形
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式得，再根据三角形中的恒等式可求出结果；
（2）由余弦定理求出，再根据三角形面积公式可求出结果.
【详解】（1）在中，，
结合正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
，，
，，
（2）若，，
由余弦定理，得，
得，得，
所以的面积
19．(1)
(2)
【分析】（1）由，解方程可得结果；
（2）化简得，利用正弦函数的图象可求出结果.
【详解】（1）由，得 ，
因为， 所以，所以，
所以．
（2）由（1）知，，
因为， 所以.
于是，当且仅当，即时，取得最大值,
当且仅当，即时，取得最小值,
又，即时，.
所以的取值范围是．
20．(1)
(2)或
【分析】（1）若选①，根据面积公式求出，根据余弦定理求出求出，根据面积公式求出；若选②，根据两角差的正弦公式可求出结果；
（2）根据正弦定理可求出结果.
【详解】（1）若选①，因为，所以，
所以，
又由，
得，得.
所以，得，
所以.
若选②，在中，，所以，
.
（2）由（1）及，则.
在△ADC中，，即，得.
又因为，所以满足这样的三角形有两解.
所以或.