高考数学考点全复习讲义1.1集合（含答案）

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课程目标
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；在具体情境中，了解全集与空集的含义.
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
基础知识
1.元素与集合
（1）集合元素的三个特性： 确定性 、 无序性 、 互异性 ；
（2）集合的三种表示方法： 列举法 、 描述法 、 图示法 ；
（3）元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈ ；不属于，记为 ∉ ；
（4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 正整数 集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示 整数 集，Q表示 有理数 集，R表示实数集.
提醒 （1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0.
2.集合间的基本关系
提醒 （1）A⊆B包含两层含义：A⫋B或A＝B；（2）若A⊆B，要分A＝⌀或A≠⌀两种情况讨论，不要忽略A＝⌀的情况.
3.集合的基本运算
课前自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何一个集合都至少有两个子集.（ × ）
（2）{0，1，3}和{0，3，1}是同一个集合.（ √ ）
（3）集合{x｜x＝x3}用列举法表示为{－1，1}.（ × ）
（4）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（ × ）
（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（ × ）
2.设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝（ ）
A.{1，2，4，6，8}B.{0，1，4，6，8}
C. {0，2，4，6，8} D.U
解析：C 因为U＝{0，1，2，4，6，8}，M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，所以∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}.故选C.
3.（多选）已知集合P＝{x｜x2＝4}，则（ ）
A.P＝{－2，2}. B2∈P
CP⫋N. D.{⌀}⊆P
解析：AB P＝{x｜x2＝4}＝{－2，2}，故2∈P，故A、B正确.⌀不是P中的元素，故D错误.因为－2∉N，故P⫋N错误，故C错误.
4.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x＝ 1或4 .
解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.
5.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，则A∪B＝ R ，A∩B＝ {x｜－1＜x≤1或4≤x＜5} .
解析：因为A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，借助数轴如图①，所以A∪B＝R，如图②，所以A∩B＝{x｜－1＜x≤1或4≤x＜5}.
常用结论
1.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
2.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
3.等价关系：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
结论运用
1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，则A∩B的子集个数为（ ）
A.2 B.4
C.8 D.6
解析：C 因为A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，所以A∩B＝{2，3，4}，由结论2得A∩B的子集个数为23＝8，故选C.
2.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是 （－∞，1] .
解析：如图，在数轴上表示出A，B.由结论3可得A⊆B，所以a≤1.
聚焦考点 课堂演练

考点1 集合的基本概念
【典例1】（1）已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，｜x－y｜∈A}中所含元素的个数为（ ）
A.1 B.3
C.6 D.4
（2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，则a2 024＋b2 025＝（ ）
A.1 B.4
C.2 D.3
答案：（1）C （2）C
解析：（1）因为A＝{1，2，3}，所以B＝{（2，1），（3，1），（3，2），（1，2），（1，3），（2，3）}，共6个元素.故选C.
由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}.所以a＋b＝0，则ba＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 024＋b2 025＝2.
方法技巧
解决与集合含义有关问题的关键
（1）确定构成集合的元素是点集、数集、还是其他类型的集合；
（2）确定元素的限制条件；
（3）根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.
提醒 集合中元素的互异性容易忽略，求解问题时要特别注意.
跟踪训练
1.已知集合A＝x｜x∈Z，且42－x∈Z，则集合A中的元素个数为（ ）
A.2 B.5
C.4 D.6
解析：C 因为x∈Z，且42－x∈Z，所以2－x的取值有－4，－2，-1，1，2,4所以x的值分别为6，4，3，1，0,-2故集合A中的元素个数为6故选D.
2.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝ － 32 .
解析：令m＋2＝3，得m＝1，此时2m2＋m＝3，不合题意.令2m2＋m＝3，得m＝－32或m＝1（舍去）.若m＝－32，则m＋2＝12，满足条件，所以m＝－32.
考点2 集合的基本关系
【典例2】（必修第一册第9页5（2）题改编）已知集合A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B⫋A，则实数a的取值范围为（ ）
A.[1，＋∞） B.（－∞，1]
C.（1，＋∞） D.（－∞，1）
解析：B 因为A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且B⫋A.用数轴表示其关系如图.所以实数a的取值范围为a≤1.故选B.
变式
若本例条件变为：已知集合A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A⊆B，则实数a的取值范围为 （3，＋∞） .
解析：因为A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且A⊆B.①当A＝⌀时，2a－3＞a，则a＞3，满足题意；②当A≠⌀时，用数轴表示其关系如图，所以2a－3≤a，2a－3>1，a<2.即a≤3，a>2，a<2.所以a不存在，综上所述，实数a的取值范围为（3，＋∞）.
方法技巧
1.判断集合间关系的常用方法
（1）列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系；
（2）化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系；
（3）数形结合法：利用数轴或Venn图直观判断.
2.由集合间的关系求参数的解题策略
已知集合间的关系求参数时，关键是将集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析并对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
提醒 当B为A的子集时，易漏掉B＝⌀的情况.
跟踪训练
1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）lg2x＝0}的关系可表示为（ ）
解析：A 因为N＝{x｜x（x－2）lg2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故选A.
2.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N｜x2－6x＜0}，则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（ ）
A.3 B.5
C.7 D.9
解析：C ∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且A⫋C⊆B，∴集合C的所有可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个.
考点3 集合的基本运算
考向1 集合的运算
【典例3】（1）（2023·全国甲卷1题）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（ ）
A.⌀
B.{x｜x＝3k，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－1，k∈Z}
D.{x｜x＝3k－2，k∈Z}
（2）（2024·广东联考）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.(－1，3] B.（3，＋∞）
C.（－∞，3)D.[－1，3）
答案：（1）B （2）D
解析：（1）法一（列举法） M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.
法二（描述法） 集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
（2）集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}＝{x｜x＜3}，所以题图中阴影部分表示的集合为（∁UA）∩B＝{x｜－1≤x≤3}∩{x｜x＜3}＝{x｜－1≤x＜3}.故选D.
方法技巧
集合基本运算的方法技巧
考向2 利用集合的运算求参数
【典例4】 （2024·九省联考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，则m的最小值为 5 .
解析：B＝{x｜｜x－3｜≤m}＝{x｜3－m≤x≤3＋m}，又A∩B＝A，则A⊆B，所以3+m≥4，3－m≤－2，所以m≥5，故m的最小值为5.
方法技巧
利用集合的运算求参数的方法
（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍；
（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.
考向3 集合的新定义问题
【典例5】给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是（ ）
A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合
B.正整数集是闭集合
C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}为闭集合
D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
解析：C 选项A：当集合M＝{－4，－2，0，2，4}时，2，4∈M，而2＋4＝6∉M，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设a，b是任意的两个正整数，则a＋b∈M，当a＜b时，a－b是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当M＝{n｜n＝3k，k∈Z}时，设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，则a＋b＝3（k1＋k2）∈M，a－b＝3（k1－k2）∈M，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设A1＝{n｜n＝3k，k∈Z}，A2＝{n｜n＝2k，k∈Z}，由C可知，集合A1，A2为闭集合，2，3∈（A1∪A2），而（2＋3）∉（A1∪A2），故A1∪A2不为闭集合，D选项错误.
方法技巧
解决以集合为背景的新定义问题的关键
（1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在；
（2）用好集合的性质：解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.
跟踪训练
1.（2023·全国乙卷2题）设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝（ ）
A.∁U（M∪N） B.N∪∁UM
C.∁U（M∩N） D.M∪∁UN
解析：A 因为M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，所以M∪N＝{x｜x＜2}，所以∁U（M∪N）＝{x｜x≥2}.故选A.
2.已知集合A＝{x｜2＜x＜3}，B＝{x｜x＞m}，且（∁RA）∪B＝R，则实数m的取值范围是（ ）
A.m≥2 B.m＜2
C.m≤2 D.m＞2
解析：C ∵A＝{x｜2＜x＜3}，∴∁RA＝（－∞，2]∪[3，＋∞），∵（∁RA）∪B＝R，∴m≤2.
3.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x∉B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝ {x｜－3≤x＜0或x＞3} .
解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}. 表示
关系
自然语言
符号语言
图形语言
子集
集合A中 任意一个 元素都是集合B中的元素
A⊆（或B⊇A）
或
真子集
集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A
A⫋B（或B⫌A）
集合相等
集合A，B中元素相同
A＝B
类别
表示
并集
交集
补集
图形语言
符号语言
A∪B＝
{x｜x∈A，
或x∈B}
A∩B＝
{x｜x∈A，
且x∈B}
∁UA＝
{x｜x∈U，
且x∉A}