2024年广东省东莞市大岭山中学中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省东莞市大岭山中学中考数学一模试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．B．2C．﹣2D．﹣
2．（3分）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源．鼓舞是一种安徽民间表演艺术，如图是凤阳花鼓的示意图，其左视图大致为（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）经文化和旅游部数据中心测算，春节假期8天全国国内旅游出游4.74亿人次，将“4.74亿”用科学记数法表示为（ ）
A．0.474×109B．4.74×107C．4.74×104D．4.74×108
4．（3分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．4a2﹣2a2＝2B．（a2）3＝a5C．a3•a6＝a9D．（3a）2＝6a2
5．（3分）用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜帖花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含的图形运动是（ ）
A．平移和旋转B．对称和旋转
C．对称和平移D．旋转和平移
6．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球．黄球共20个，其中红球有2个．这些球除颜色外其他都相同，随机摸出1个球．摸出的是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，现在要将两侧的管道对接，如果一侧铺设的角度为120°，那么另一侧铺设的角度大小应为（ ）
A．120°B．100°C．80°D．60°
8．（3分）如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则B、C两点之间的距离可能是（ ）
A．3mB．4.2mC．5mD．6m
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝4，BC＝3，则EC等于（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
10．（3分）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，根据图象信息分析下列结论：①ac＞0；②2a+b＝0；③4ac﹣b2＜0；④4a+2b+2c＜0．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）若|a﹣2|+＝0，则a+b＝ ．
12．（3分）正十二边形的一个外角的度数为 ．
13．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集是 ．
14．（3分）如图，这是学校在学生中征集的生物园一侧围栏纹饰部分的设计图案．其中每个圆的直径均为30cm，圆心在同一直线上，且每增加一个圆形图案，纹饰长度就增加b cm，若纹饰需要8个圆形图案，b＝26，此时纹饰的长度y为 cm．
15．（3分）如图，图1是等边三角形铁丝框ABC，按图2方式变形成以A为圆心，AB长为半径的扇形（图形周长保持不变），若所得扇形ABC的面积是2，则△ABC的面积为 ．
三、解答题：本大题共10小题，共75分．
16．（5分）计算：．
17．（5分）计算：．
18．（7分）某市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个．求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率．
19．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°．
（1）实践与操作：作AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别交于点D，E（用尺规作图．保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）推理与计算：求∠AEC的度数．
20．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形．
21．（8分）在4月24日“中国航天日”来临之际，某校开展以“航天点亮梦想”为主题的知识竞赛．七、八年级根据初赛成绩各选出6名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两队各选出的6名选手的决赛成绩如下所示：
七年级：65，80，80，90，95，100
八年级：75，80，85，85，90，95
（1）以上成绩统计分析表如表所示：则表中α＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）结合表中的各个统计量进行分析，你觉得哪个队的决赛成绩较好？
22．（8分）如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架AD与CB交于点O，测得AO＝BO＝50cm，CO＝DO＝30cm．
（1）若CD＝40cm，求AB的长；
（2）将桌子放平后，两条桌腿叉开角度∠AOB＝106°，求AB距离地面的高．（结果保留整数）（参考数值sin37°≈0.60，cs37°≈0.80）
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b交双曲线于点A（2，3），C，线段AB，CD都垂直于x轴，BD＝4．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，；
（3）在直线AC上找一点P，连接PB，PD，当S△PAB＝S△PCD时，求点P的坐标．
24．（10分）如图1，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的动点，以E为圆心，DE为半径作圆，AF与⊙E相切于点F，连接EF并延长交BC于点G，连接AE，AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）当⊙E与BC相切时，求BG的长；
（3）如图2，AE与⊙E相交于点H，连接BH并延长交AD于点K，当满足DK+EG+CG＝12时，求证：BK是⊙E的切线．
25．（10分）如图1，抛物线经过点E（0，5），（1，5），矩形ABCD的点A，D在x轴上，B，C在抛物线上，∠EBC＝45°．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点B，C的坐标；
（3）如图2，垂直于OE的直线m从底边AD出发，以每秒1cm的速度沿OE方向匀速平移，分别交折线DC﹣CE，AB﹣BE，OE于M，N，H，当直线m到达点E时，停止运动，连接OM，ON，设运动时间为t秒（0＜t＜5），△OMN的面积记为y，请用t表示y，写出t的相应的取值范围，并求y的最大值．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．B．2C．﹣2D．﹣
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：A．
2．（3分）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源．鼓舞是一种安徽民间表演艺术，如图是凤阳花鼓的示意图，其左视图大致为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从左边看，可得选项C的图形．
故选：C．
3．（3分）经文化和旅游部数据中心测算，春节假期8天全国国内旅游出游4.74亿人次，将“4.74亿”用科学记数法表示为（ ）
A．0.474×109B．4.74×107C．4.74×104D．4.74×108
【解答】解：4.74亿＝474000000＝4.74×108，
故选：D．
4．（3分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．4a2﹣2a2＝2B．（a2）3＝a5C．a3•a6＝a9D．（3a）2＝6a2
【解答】解：A、系数相加字母部分不变，故A错误；
B、底数不变指数相乘，故B错误；
C、底数不变指数相加，故C正确；
D、3的平方是9，故D错误；
故选：C．
5．（3分）用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜帖花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含的图形运动是（ ）
A．平移和旋转B．对称和旋转
C．对称和平移D．旋转和平移
【解答】解：根据对称和旋转定义可知：
“当窗理云鬓，对镜帖花黄”是对称；
“坐地日行八万里”是旋转．
故选：B．
6．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球．黄球共20个，其中红球有2个．这些球除颜色外其他都相同，随机摸出1个球．摸出的是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，
随机摸出1个球．摸出的是红球的概率是＝，
故选：C．
7．（3分）如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，现在要将两侧的管道对接，如果一侧铺设的角度为120°，那么另一侧铺设的角度大小应为（ ）
A．120°B．100°C．80°D．60°
【解答】解：两侧铺设的角属于同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，可得另一侧的角度为180°﹣120°＝60°，
故选：D．
8．（3分）如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则B、C两点之间的距离可能是（ ）
A．3mB．4.2mC．5mD．6m
【解答】解：∵AC＝AC＝2m，
∴2﹣2＜BC＜2+2，
即0m＜BC＜4m．
故选：A．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝4，BC＝3，则EC等于（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝3．CD∥AB，
∵∠DAB的平分线AE交CD于E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠AED．
∴ED＝AD＝3，
∴EC＝CD﹣ED＝4﹣3＝1．
故选：A．
10．（3分）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，根据图象信息分析下列结论：①ac＞0；②2a+b＝0；③4ac﹣b2＜0；④4a+2b+2c＜0．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【解答】解：由所给函数图象可知，
a＜0，c＜0，
所以ac＞0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝1，
所以，
则2a+b＝0．
故②正确．
因为抛物线与x轴有两个不同的交点，
所以b2﹣4ac＞0，
则4ac﹣b2＜0．
故③正确．
因为x＝0时，函数值小于零，且抛物线的对称轴为直线x＝1，
所以x＝2时，函数值小于零，
则4a+2b+c＜0，
又因为c＜0，
所以4a+2b+2c＜0．
故④正确．
故选：D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）若|a﹣2|+＝0，则a+b＝ 5 ．
【解答】解：根据题意得，a﹣2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝2，b＝3，
∴a+b＝2+3＝5．
故答案为：5．
12．（3分）正十二边形的一个外角的度数为 30° ．
【解答】正十二边形的一个外角为＝30°．
故答案为：30°．
13．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集是 1≤x＜2 ．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜2，
则不等式组的解集为1≤x＜2．
故答案为：1≤x＜2．
14．（3分）如图，这是学校在学生中征集的生物园一侧围栏纹饰部分的设计图案．其中每个圆的直径均为30cm，圆心在同一直线上，且每增加一个圆形图案，纹饰长度就增加b cm，若纹饰需要8个圆形图案，b＝26，此时纹饰的长度y为 212 cm．
【解答】解：30+（8﹣1）b＝30+7×26＝212（cm），
故答案为：212．
15．（3分）如图，图1是等边三角形铁丝框ABC，按图2方式变形成以A为圆心，AB长为半径的扇形（图形周长保持不变），若所得扇形ABC的面积是2，则△ABC的面积为 ．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，BC＝AB，即＝AB，
∵扇形ABC的面积是2，
∴AB＝2，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
，
∴AD＝AB•sin∠B＝，
∴S△ABC＝×BC×AD＝，
故答案为：．
三、解答题：本大题共10小题，共75分．
16．（5分）计算：．
【解答】解：原式＝﹣1+
＝0．
17．（5分）计算：．
【解答】解：，
＝
＝
＝．
18．（7分）某市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个．求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率．
【解答】解：设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，
依题意得：150（1+x）2＝216．
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为20%．
19．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°．
（1）实践与操作：作AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别交于点D，E（用尺规作图．保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）推理与计算：求∠AEC的度数．
【解答】解：（1）如图所示：
则DE是AB的垂直平分线；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE＝36°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝36°+36°＝72°．
20．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：∵DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点F，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
21．（8分）在4月24日“中国航天日”来临之际，某校开展以“航天点亮梦想”为主题的知识竞赛．七、八年级根据初赛成绩各选出6名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两队各选出的6名选手的决赛成绩如下所示：
七年级：65，80，80，90，95，100
八年级：75，80，85，85，90，95
（1）以上成绩统计分析表如表所示：则表中α＝ 85 ，b＝ 80 ，c＝ 85 ．
（2）结合表中的各个统计量进行分析，你觉得哪个队的决赛成绩较好？
【解答】解：（1）七年级6名选手的平均分是：＝85，众数是80，
八年级6名选手的成绩是：75，80，85，85，90，95，故中位数是＝85，
故答案为：85，80，85；
（2）∵s2八年级＝，s2七年级＝，
∵＜，
故八年级的决赛成绩较好．
22．（8分）如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架AD与CB交于点O，测得AO＝BO＝50cm，CO＝DO＝30cm．
（1）若CD＝40cm，求AB的长；
（2）将桌子放平后，两条桌腿叉开角度∠AOB＝106°，求AB距离地面的高．（结果保留整数）（参考数值sin37°≈0.60，cs37°≈0.80）
【解答】解：（1）∵AO＝BO＝50cm，CO＝DO＝30cm，
∴△AOB与△COD是等腰三角形，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D，
∴△ABO∽△DCO，
∴，
∴AB＝，
即AB的长为cm；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，如图，
∵∠AOB＝106°，△AOB与△COD是等腰三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝＝37°，
在Rt△DOF中，
OF＝OD•sin37°≈30×0.60＝18（cm），
在Rt△BOE中，
OE＝OB•sin37°≈50×0.60＝30（cm），
∴EF＝OE+OF＝30+18＝48（cm），
∴AB距离地面的高为48cm．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b交双曲线于点A（2，3），C，线段AB，CD都垂直于x轴，BD＝4．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，；
（3）在直线AC上找一点P，连接PB，PD，当S△PAB＝S△PCD时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵双曲线过点A（2，3），
∴m＝2×3＝6，
∴双曲线的解析式为y＝，
∵点A（2，3），线段AB，CD都垂直于x轴，BD＝4，
∴点C的横坐标为6，
把x＝6代入y＝解得y＝1，
∴C（6，1），
把A、C点的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线的解析式为y＝﹣；
（2）观察图象可知，在第一象限内当2＜x＜6时，；
（3）设P（x，﹣），
∵A（2，3），C（6，1），
∴OB＝2，AB＝3，OD＝6，CD＝1，
当P点在A的左侧时，S△PAB＝＝＝3﹣x，S△PCD＝＝，
∵S△PAB＝S△PCD，
∴3﹣x＝3﹣，解得x＝0，
∴此时P（0，4），
当P点在A的右侧时，S△PAB＝＝＝x﹣3，S△PCD＝＝，
∵S△PAB＝S△PCD，
∴x﹣3＝3﹣，解得x＝3，
∴此时P（3，），
综上，点P的坐标是（0，4）或（3，）．
24．（10分）如图1，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的动点，以E为圆心，DE为半径作圆，AF与⊙E相切于点F，连接EF并延长交BC于点G，连接AE，AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）当⊙E与BC相切时，求BG的长；
（3）如图2，AE与⊙E相交于点H，连接BH并延长交AD于点K，当满足DK+EG+CG＝12时，求证：BK是⊙E的切线．
【解答】（1）证明：∵AF与⊙E相切于点F，
∴EF⊥AF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝AB．
在Rt△ADE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴AD＝AF，
∴AB＝AF．
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
（2）解：当⊙E与BC相切时，如图，
∵⊙E与BC相切，DE为半径作圆，
∴DE＝EC＝EF＝3．
由（1）知：△ABG≌△AFG，
∴BG＝GF，
设BG＝GF＝x，则GC＝6﹣x，GE＝3+x，
∵∠C＝90°，
∴GC2+EC2＝EG2，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
∴x＝2．
∴BG＝2；
（3）证明：由（1）知：△ABG≌△AFG，
∴BG＝GF，
∵EG＝EF+GF，
∴EG+CG＝EF+GF+CG＝EF+BG+CG＝EF+BC＝EF+6．
∵DK+EG+CG＝12，
∴DK+EF+6＝12，
∴DK+EF＝6＝DC，
∵DC＝DE+EC，EF＝DE，
∴DK+EF＝EF+EC，
∴DK＝EC．
∵AD＝CD，
∴AD﹣DK＝CD﹣EC，
∴AK＝DE．
在△ADE和△BAK中，
，
∴△ADE≌△BAK（SAS），
∴∠AED＝∠AKE，
∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AKE+∠DAE＝90°，
∴∠AHK＝90°，
∴EH⊥BK，
∵EH为⊙E的半径，
∴BK是⊙E的切线．
25．（10分）如图1，抛物线经过点E（0，5），（1，5），矩形ABCD的点A，D在x轴上，B，C在抛物线上，∠EBC＝45°．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点B，C的坐标；
（3）如图2，垂直于OE的直线m从底边AD出发，以每秒1cm的速度沿OE方向匀速平移，分别交折线DC﹣CE，AB﹣BE，OE于M，N，H，当直线m到达点E时，停止运动，连接OM，ON，设运动时间为t秒（0＜t＜5），△OMN的面积记为y，请用t表示y，写出t的相应的取值范围，并求y的最大值．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+5；
（2）设点B的横坐标为m，
∵∠EBC＝45°，
则yE﹣yB＝m，
则点B（m，5﹣m），
将点E的坐标代入抛物线的表达式得：5﹣m＝﹣m2+m+5，
解得：m＝3，
则点B（3，2），
根据函数的对称性，则点C（﹣2，2）；
（3）当0＜t≤2时，
此时OH＝t，MN＝BC＝3+2＝5，
则y＝MN×OH＝5t＝，
当t＝2时，ymax＝5；
当2＜t≤5时，如下图：
此时OH＝t，
由点B、E的坐标得，直线BE的表达式为：y＝﹣x+5，
当y＝t时，即y＝﹣x+5＝t，则x＝5﹣t，
即点N（5﹣t，t），
同理可得：点M（，t），
则y＝MN×OH＝t×（5﹣t﹣）＝（﹣5t2+25t），
∵＜0，故函数y有最大值，
当t＝2.5时，函数y的最大值为，
∵＞5，
故y的最大值为，
即y＝，y的最大值为．平均分（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分2）
七年级
α
85
b

八年级
85
c
85

平均分（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分2）
七年级
α
85
b

八年级
85
c
85