2020中考数学二轮复习专题训练3——圆的综合题

这是一份2020中考数学二轮复习专题训练3——圆的综合题，共27页。

1. 如图，⊙O的直径AB＝4，C为⊙O上一点，AC＝2.过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧eq \(CBA,\s\up8(︵))上一动点(不与A、C重合)．
(1)求∠APC与∠ACD的度数；
(2)当点P移动到劣弧eq \(CB,\s\up8(︵))的中点时，求证：四边形OBPC是菱形；
(3)当PC为⊙O的直径时，求证：△APC与△ABC全等．
第1题图
(1)解：∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝eq \f(1,2)AB＝2，
∴AC＝OA＝OC，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60°，
∴∠APC＝eq \f(1,2)∠AOC＝30°，
又∵DC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO＝90°，
∴∠ACD＝∠DCO－∠ACO＝90°－60°＝30°；
第1题解图
(2)证明：如解图，连接PB，OP，
∵AB为直径，∠AOC＝60°，
∴∠COB＝120°，
当点P移动到eq \(CB,\s\up8(︵))的中点时，∠COP＝∠POB＝60°，
∴△COP和△BOP都为等边三角形，
∴OC＝CP＝OB＝PB，
∴四边形OBPC为菱形；
(3)证明：∵CP与AB都为⊙O的直径，
∴∠CAP＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC与Rt△CPA中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CP,AC＝AC))，
∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL)．
2. 如图，AB为⊙O的直径，CA、CD分别切⊙O于点A、D，CO的延长线交⊙O于点M，连接BD、DM.
(1)求证：AC＝DC；
(2)求证：BD∥CM；
(3)若sinB＝eq \f(4,5)，求cs∠BDM的值．
第2题图
(1)证明：如解图，连接OD，
∵CA、CD分别与⊙O相切于点A、D，
∴OA⊥AC，OD⊥CD，
在Rt△OAC和Rt△ODC中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OA＝OD,OC＝OC))，
∴Rt△OAC≌Rt△ODC(HL)，
∴AC＝DC；
(2)证明：由(1)知， △OAC≌△ODC，
∴∠AOC＝∠DOC，
∴∠AOD＝2∠AOC，
∵∠AOD＝2∠OBD，
∴∠AOC＝∠OBD，
∴BD∥CM；
(3)解：∵BD∥CM，
∴∠BDM＝∠M，∠DOC＝∠ODB，∠AOC＝∠B，
∵OD＝OB＝OM，
∴∠ODM＝∠OMD，∠ODB＝∠B＝∠DOC，
∵∠DOC＝2∠DMO，
∴∠DOC＝2∠BDM，
∴∠B＝2∠BDM，
如解图，作OE平分∠AOC，交AC于点E，作EF⊥OC于点F，
第2题解图
∴EF＝AE，
在Rt△EAO和Rt△EFO中，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OE＝OE,AE＝EF))，
∴Rt△EAO≌Rt△EFO(HL)，
∴OA＝OF，∠AOE＝eq \f(1,2)∠AOC，
∴点F在⊙O上，
又∵∠AOC＝∠B＝2∠BDM，
∴∠AOE＝∠BDM，
设AE＝EF＝y，
∵sinB＝eq \f(4,5)，
∴在Rt△AOC中，sin∠AOC＝eq \f(AC,OC)＝eq \f(4,5)，
∴设AC＝4x，OC＝5x，则OA＝3x，
在Rt△EFC中，EC2＝EF2＋CF2，
∵EC＝4x－y，CF＝5x－3x＝2x，
∴(4x－y)2＝y2＋(2x)2，
解得y＝eq \f(3,2)x，
∴在Rt△OAE中，OE＝eq \r(OA2＋AE2)
＝eq \r(（3x）2＋（\f(3,2)x）2)＝eq \f(3\r(5),2)x，
∴cs∠BDM＝cs∠AOE＝eq \f(OA,OE)＝eq \f(3x,\f(3\r(5),2)x)＝eq \f(2\r(5),5).
3. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
(1)求证：∠1＝∠BCE；
(2)求证：BE是⊙O的切线；
(3)若EC＝1，CD＝3，求cs∠DBA.
第3题图
(1)证明：如解图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，
∴AB＝BD
在△ABF与△DBE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BAF＝∠BDE,∠AFB＝∠DEB,AB＝DB))，
∴△ABF≌△DBE(AAS)，
∴BF＝BE，
∵BE⊥DC，BF⊥AC，
∴∠1＝∠BCE；
(2)证明：如解图，连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即∠1＋∠BAC＝90°，
∵∠BCE＋∠EBC＝90°，且∠1＝∠BCE，
∴∠BAC＝∠EBC，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∴∠EBC＝∠OBA，
∴∠EBC＋∠CBO＝∠OBA＋∠CBO＝90°，
∴∠EBO＝90°，
又∵OB为⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
第3题解图
(3)解：在△EBC与△FBC中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BEC＝∠CFB，,∠ECB＝∠FCB，,BC＝BC，))
∴△EBC≌△FBC(AAS)，
∴CE＝CF＝1.
由(1)可知：AF＝DE＝1＋3＝4，
∴AC＝CF＋AF＝1＋4＝5，
∴cs∠DBA＝cs∠DCA＝eq \f(CD,CA)＝eq \f(3,5).
类型二 与相似结合
4. 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F.
(1)求∠DAF的度数；
(2)求证：AE2＝EF·ED；
(3)求证：AD是⊙O的切线．
第4题图
(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝eq \f(1,2)(180°－36°)＝72°，
∴∠AFB＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝36°，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC＝36°，
∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；
(2)证明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D，∠AEF＝∠AED，
∴△EAF∽△EDA，
∴eq \f(AE,DE)＝eq \f(EF,EA)，
∴AE2＝EF·ED；
(3)证明：如解图，过点A作BC的垂线，G为垂足，
∵AB＝AC，
∴AG垂直平分BC，
∴AG过圆心O，
∵AD∥BC ，
∴AD⊥AG ，
∴AD是⊙O的切线．
第4题解图
5. 如图，AB为半圆的直径，O为圆心，OC⊥AB，D为eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，连接DA、DB、DC，过点C作DC的垂线交DA于点E，DA交OC于点F.
(1)求证：∠CED＝45°；
(2)求证：AE＝BD；
(3)求eq \f(AO,OF)的值．
第5题图
(1)证明：∵∠CDA＝eq \f(1,2)∠COA＝eq \f(1,2)×90°＝45°，
又∵CE⊥DC，∴∠DCE＝90°，
∴∠CED＝180°－90°－45°＝45°；
(2)解：如解图，连接AC，
∵D为eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝eq \f(1,2)×45°＝22.5°，
而∠CED＝∠CAE＋∠ACE＝45°，
∴∠CAE＝∠ACE＝22.5°，
∴AE＝CE，
∵∠ECD＝90°，∠CED＝45°，
∴CE＝CD，
又∵eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，
∴CD＝BD，
∴AE＝CE＝CD＝BD，
∴AE＝BD；
第5题解图
(3)解：设BD＝CD＝x，∴AE＝CE＝x，
由勾股定理得，DE＝eq \r(2)x，则AD＝x＋eq \r(2)x，
又∵AB是直径，则∠ADB＝90°，
∴△AOF∽△ADB，
∴eq \f(AO,OF)＝eq \f(AD,DB)＝eq \f(x＋\r(2)x,x)＝1＋eq \r(2).
6. 如图，AB为⊙O的直径，P点为半径OA上异于点O和点A的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE//AD交BE于E点，连接AE、DE，AE交CD于点F.
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，sin∠ADP＝eq \f(1,3)，求AD；
(3)请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．
第6题图
(1)证明：如解图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵OE∥AD，
∴∠OAD＝∠BOE，∠DOE＝∠ODA，
∴∠BOE＝∠DOE，
在△BOE和△DOE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OB＝OD,∠BOE＝∠DOE,OE＝OE))，
∴△BOE≌△DOE(SAS)，
∴∠ODE＝∠OBE，
∵BE⊥AB，
∴∠OBE＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
(2)解：如解图，连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠ADP＋∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADP，
∴sin∠ABD＝eq \f(AD,AB)＝sin∠ADP＝eq \f(1,3)，
∵⊙O的半径为3，
∴AB=6，
∴AD＝eq \f(1,3)AB＝2；
第6题解图
(3)解：猜想PF＝FD，
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，
∴CD∥BE，
∴△APF∽△ABE，
∴eq \f(PF,BE)＝eq \f(AP,AB)，
∴PF＝eq \f(AP·BE,AB)，
在△APD和△OBE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠APD＝∠OBE,∠PAD＝∠BOE))，
∴△APD∽△OBE，
∴eq \f(PD,BE)＝eq \f(AP,OB)，
∴PD＝eq \f(AP·BE,OB)，
∵AB＝2OB，
∴PF＝eq \f(1,2)PD，
∴PF＝FD.
7. 如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD∥AC，OD交⊙O于点E，且∠CBD＝∠COD.
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若点E为线段OD的中点，求证：四边形OACE是菱形．
(3)如图②，作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G，求eq \f(FG,FC)的值．
第7题图
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠ABC＋∠BAC＝90°，
∵OD∥AC，∴∠ACO＝∠COD.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，
又∵∠COD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BAC，
∴∠ABC＋∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝90°，
即OB⊥BD，
又∵OB是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线；
(2)证明：如解图，连接CE、BE，
∵OE＝ED，∠OBD＝90°，
∴BE＝OE＝ED，
∴△OBE为等边三角形，
∴∠BOE＝60°，
又∵AC∥OD，
∴∠OAC＝60°，
又∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴AC＝OA＝OE，
∴AC∥OE且AC＝OE，
∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，
∴四边形OACE是菱形；
第7题解图
(3)解：∵CF⊥AB，
∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，
∴∠CAF＝∠DOB，
∴Rt△AFC∽Rt△OBD，
∴eq \f(FC,BD)＝eq \f(AF,OB)，即FC＝eq \f(BD·AF,OB)，
又∵FG∥BD，
∴△AFG∽△ABD，
∴eq \f(FG,BD)＝eq \f(AF,AB)，即FG＝eq \f(BD·AF,AB)，
∴eq \f(FC,FG)＝eq \f(AB,OB)＝2，
∴eq \f(FG,FC)＝eq \f(1,2).
8. 如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.
(1)求证：AC平分∠FAB；
(2)求证：BC2＝CE·CP；
(3)当AB＝4eq \r(3)且eq \f(CF,CP)＝eq \f(3,4)时，求劣弧eq \(BD,\s\up8(︵))的长度．
第8题图
(1)证明：∵PF切⊙O于点C，CD是⊙O的直径，
∴CD⊥PF，
又∵AF⊥PC，
∴AF∥CD，
∴∠OCA＝∠CAF，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠CAF＝∠OAC，
∴AC平分∠FAB；
(2)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DCP＝90°，
∴∠ACB＝∠DCP＝90°，
又∵∠BAC＝∠D，
∴△ACB∽△DCP，
∴∠EBC＝∠P，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠CBP＝90°，
∴∠BEC＝∠CBP，
∴△CBE∽△CPB，
∴eq \f(BC,PC)＝eq \f(CE,CB)，
∴BC2＝CE·CP；
(3)解：∵AC平分∠FAB，CF⊥AF，CE⊥AB，
∴CF＝CE，
∵eq \f(CF,CP)＝eq \f(3,4)，
∴eq \f(CE,CP)＝eq \f(3,4)，
设CE＝3k，则CP＝4k，
∴BC2＝3k·4k＝12k2，
∴BC＝2eq \r(3)k，
在Rt△BEC中，∵sin∠EBC＝eq \f(CE,BC)＝eq \f(3k,2\r(3)k)＝eq \f(\r(3),2)，
∴∠EBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠DOB＝120°，
∴eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \f(120π·2\r(3),180)＝eq \f(4\r(3)π,3).
类型三 与全等相似结合
9. 如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F(靠近点C)作CE的平行线交AB于点G，连接CG.
(1)求证：AB＝CD；
(2)求证：CD2＝BE·BC；
(3)当CG＝eq \r(3)，BE＝eq \f(9,2)，求CD的长．
第9题图
(1)证明：∵AC为直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴BC∥AD，
∴∠BCA＝∠CAD，
又∵AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA(AAS)，
∴AB＝CD；
(2)证明：∵AE为⊙O的切线且O为圆心，
∴OA⊥AE，
即CA⊥AE，
∴∠EAB＋∠BAC＝90°，
而∠BAC＋∠BCA＝90°，
∴∠EAB＝∠BCA，
而∠EBA＝∠ABC，
∴△EBA∽△ABC，
∴eq \f(EB,AB)＝eq \f(BA,BC)，
∴AB2＝BE·BC，
由(1)知AB＝CD，
∴CD2＝BE·BC；
(3)解：由(2)知CD2＝BE·BC，
即CD2＝eq \f(9,2)BC①，
∵FG∥BC且点F为AC的三等分点，
∴G为AB的三等分点，
即CD＝AB＝3BG，
在Rt△CBG中，CG2＝BG2＋BC2，
即3＝(eq \f(1,3)CD)2＋BC2②，
将①代入②，消去CD得，
BC2＋eq \f(1,2)BC－3＝0，
即2BC2＋BC－6＝0，
解得BC＝eq \f(3,2)或BC＝－2(舍)③，
将③代入①得，CD＝eq \f(3\r(3),2).
10．如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，BC2＝CD·CA，eq \(ED,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，BE交AC于点F.
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)判断△BCF的形状并说明理由；
(3)已知BC＝15，CD＝9，∠BAC＝36°，求eq \(BD,\s\up8(︵))的长度(结果保留π).
第10题图
(1)证明：∵BC2＝CD·CA，
∴eq \f(BC,CA)＝eq \f(CD,BC)，
∵∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴∠CBD＝∠BAC，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠BAC＋∠ABD＝90°，
∴∠ABD＋∠CBD＝90°，
即AB⊥BC，
又∵AB为⊙O的直径，
∴BC为⊙O的切线；
(2)解：△BCF为等腰三角形．
证明如下：∵eq \(ED,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，
∴∠DAE＝∠BAC，
又∵△CBD∽△CAB，
∴∠BAC＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠DAE，
∵∠DAE＝∠DBF，
∴∠DBF＝∠CBD，
∵∠BDF＝90°，
∴∠BDC＝∠BDF＝90°，
∵BD＝BD，
∴△BDF≌△BDC，
∴BF＝BC，
∴△BCF为等腰三角形；
(3)解：由(1)知，BC为⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°∵BC2＝CD·CA，
∴AC＝eq \f(BC2,CD)＝eq \f(152,9)＝25，由勾股定理得AB＝eq \r(AC2－BC2)＝eq \r(252－152)＝20，
∴⊙O的半径为r＝eq \f(AB,2)＝10，∵∠BAC＝36°，
∴eq \(BD,\s\up8(︵))所对圆心角为72°.则eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \f(72×π×10,180)＝4π.