2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业第1节勾股及实数复习（含答案）

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这是一份2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业第1节勾股及实数复习（含答案），共49页。试卷主要包含了若，则　　，已知，计算，已知，，求的值等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课前检测
1．若，则．
2．已知：，，求代数式的值．
3．如图，将长方形的边沿折痕折叠，使点落在上的处，若，，则．
4．如图，将正方形沿折叠，点恰好落在上的点处，若，，则折痕的长度为．
5．如图，在中，，，点，均在边上，且
（1）若，，则．
课中讲解
平方根与算术平方根
例1. 的平方根是
A．B．C．D．
过关检测
1．的算术平方根为
A．9B．C．3D．
例2．已知与是的平方根，则的值是．
过关检测
1．若一个正数的平方根是和，则这个正数是．
二、二次根式非负性及应用
例3．已知．则．
过关检测
1．已知实数，满足，则的值是多少？
例4．已知，则的平方根为 .
过关检测
1．已知，则．
例5．已知若，为实数，且，求的值．
过关检测
1．，为实数，且，化简：．
三、二次根式的运算
例6．计算：
（1）（2）
（3）
过关检测
1．计算：
（1）（2）
（3）
例7．已知，，求的值．
过关检测
1．已知，，求的值．
四、方程与勾股
例8．如图，在长方形中，，，将长方形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，则的长为
A．0.5B．1C．2D．3
过关检测
1．如图，已知在矩形中，是边中点，将矩形分别沿、折叠，、两点刚好落在点处，已知，，设，则的值为
A． B． C． D．
例9．如图，矩形的边长，，将矩形折叠，使点与点重合，则折痕长为．
过关检测
1．如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于，且，则的长为
A．B．C．D．
2．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是
A．1.5B．2C．2.25D．2.5
五、平方关系及证明
例10．在中，，点，是边所在直线上与点，不重合的两点．
（1）如图1，当，时，直接写出线段，，的数量关系；（不必证明）
（2）如图2，当，时，已知，，求线段的长度；
（3）如图3，当，时，请探究线段，，的数量关系，并证明．
过关检测
1．在等腰中，，
（1）如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转90后，得到，连接
①求证：；
②当，时，求的长；
例11．在中，，.
（1）如图1，若点是边上一点，则与的数量关系是 .
（2）如图2，若点是延长线上一点，则与的数量关系是 .
过关检测
1．如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上，点在边的左侧，连接．
（1）求证：；
（2）试探究线段、与之间的数量关系；
（3）过点作交于点，若，，求的长．
2．（1）如图1，在和中，，，且点在边上滑动（点不与点，重合），连接，
①则线段，，之间满足的等量关系式为；
②求证：；
（2）如图2，在四边形中，．若，，求的长．
例12．如图，是等边三角形，点在的外部，且，求证：．
学习任务
1．的平方根是
A．B．C．D．
2．如图，把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，若长为2，则的长为
A．B．C．D．
3．和是一个数的平方根，则．
4．已知，则的值为．
5．若，则．
6．已知，，求的值
7．计算：
（1）（2）
8．已知．
（1）求；
（2）若的小数部分为，的小数部分为，求的值．
9．如图，在正方形中，，，分别是，上的点，连接，将四边形沿折叠得到四边形，点恰好在上，若，则折痕的长是．
10．分层探究
（1）问题提出：如图1，点、别在正方形的边、上，，连接．求证：，解题思路：把绕点逆时针旋转 90 度至，可使与重合．由，则知、、三点共线，从而可证，从而得，阅读以上内容并填空．
（2）类比引申：如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．探究：若、都不是直角，当、满足什么数量关系时，仍有？
（3）联想拓展：如图3，在中，，，点、均在边上，并且．猜想、、的数量关系，并给出理由．
11．问题：如图①，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为；
探索：如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长．
第1讲勾股及实数复习（解析版）
目标层级图
本节内容：
本节涉及主要板块分别是勾股定理和实数复习。
实数板块主要复习易错概念，勾股定理针对折叠、旋转类几何综合问题复习，使学生熟悉辅助线作法，掌握高频考点相关结论。
实数板块复习内容如下：
填选计算易错类。
二次根式非负性及其应用，向学生强调隐含重视审题发现限定条件
勾股定理板块复习内容如下：
折叠的应用。复习折叠的性质，利用矩形折叠的性质建立方程。
平方关系及其证明。半角模型的识别及证明、旋转辅助线的作法、构造直角三角形证平方关系。
课前检测
1．若，则 1 ．
【解答】解：因为，
所以，所以，，．
解得，，．
所以．
故答案为：1．
2．已知：，，求代数式的值．
【解答】解：，
，
．
3．如图，将长方形的边沿折痕折叠，使点落在上的处，若，，则．
【解答】解：四边形是长方形，
，
是由翻折，
，，
在中，，，
，
．
，
，
，
故答案为：．
4．如图，将正方形沿折叠，点恰好落在上的点处，若，，则折痕的长度为．
【解答】解：过作于，连接，
则，
将正方形的一角折向边，使点与上一点重合，
，
，
，
在与中
，
，
，
，
，
故答案为：．
5．如图，在中，，，点，均在边上，且
（1）若，，则．
【解答】解：（1）将绕点逆时针旋转，至，则与重合，连接，如图所示：
则，，，，，
，，
，
在△和中，，
△，
，
，，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
；
故答案为：；
课中讲解
平方根与算术平方根
例1. 的平方根是
给学生强调先算出结果
A．B．C．D．
【解答】解：，2的平方根是，
的平方根是．
故选：．
过关检测
1．的算术平方根为
A．9B．C．3D．
【解答】解：，
的算术平方根为3．
故选：．
例2．已知与是的平方根，则的值是 9或1 ．
根据学生掌握情况适当补充这类平方根问题题干的区别：
A的平方根是a和b； ② a和b是A的平方根。
前者a b互为相反数，后者a.b可以相反也可以相等（多解）
【解答】解：与是的平方根，
或，解得：或，
故或，则的值是9或1．
故答案为：9或1．
过关检测
1．若一个正数的平方根是和，则这个正数是 9 ．
【解答】解：由题意得：，
解得：，故，则这个正数为：，
故答案为：9．
二、二次根式非负性及应用
例3．已知．则．
强调看到含根式、绝对值或平方的等式，考虑变形成非负数和为零的形式（配方）
【解答】解：因为，所以，
所以，所以，，，
所以，，，所以．
故答案为：．
过关检测
1．已知实数，满足，则的值是多少？
【解答】解：，
，，则，，
解得，，，则．
例4．已知，则的平方根为
隐含范围
【解答】解：，，
则，，，
则，，解得，，则，则的平方根为．
故答案为：．
过关检测
1．已知，则．
【解答】解：，
，则，
，
，则，，解得：，，所以，
故答案为：
例5．已知若，为实数，且，求的值．
强调隐含限定条件：分母≠0，根式非负等
【解答】解：由题意，，，
又，，，，
过关检测
1．，为实数，且，化简：．
【解答】解：，，，，，
又，，
．
故答案为．
三、二次根式的运算
例6．计算：
（1）；
（2）．
（3）
【解答】解：（1）；
（2）．
（3）原式．
过关检测
1．计算：
（1）
（2）
（3）计算：
【解答】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
例7．已知，，求的值．
【解答】解：，
，
则原式．
过关检测
1．已知，，求的值．
【解答】解：，，
，，
．
四、方程与勾股
例8．如图，在长方形中，，，将长方形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，则的长为
A．0.5B．1C．2D．3
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
由翻折可知：
，，
，
，
，
又，
在中，根据勾股定理，得
，
即，
解得．
则的长为2．
故选：．
过关检测
1．如图，已知在矩形中，是边中点，将矩形分别沿、折叠，、两点刚好落在点处，已知，，设，则的值为
用x表示出BN、NC的长度，在中建立勾股方程
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，，
，
是边中点，
，，
将矩形分别沿、折叠，、两点刚好落在点处，
，，
，
，
解得．
故选：．
例9．如图，矩形的边长，，将矩形折叠，使点与点重合，则折痕长为．
连接AF，求出AF，在rt三角形AOF中利用勾股定理求OF。
看学生掌握情况给学生复习翻折的性质：①重合线段相等；②看到折痕联想到中垂线；③折叠出等角；④折叠加平行出等腰
【解答】解：连结，如图，
矩形折叠后点与点重合，
垂直平分，即，，
，
设，则，，
在中，，即，解得，
在中，，
，
在中，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为．
过关检测
※1．如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于，且，则的长为
解题关键证明后，
证明AF=AO+OF=OE+OP=BP,
设AP=x后，用x表示三角形FDC三边建立勾股方程求x
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是矩形，
，，．
由翻折的性质可知：，，，
在和中，
，
．
，
，
．
设，则，，，
在中，根据勾股定理得：
，即，
解得：，
．
故选：．
2．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是
连接BM、B’M,折叠性质得到两者相等，建立方程

A．1.5B．2C．2.25D．2.5
【解答】解：设，
连接，，
在中，，
在中，，
，
，
即，
解得，
即，
故选：．
五、平方关系及证明
例10．在中，，点，是边所在直线上与点，不重合的两点．
（1）如图1，当，时，直接写出线段，，的数量关系；（不必证明）
等腰rt▲内含半角模型
（2）如图2，当，时，已知，，求线段的长度；
等边三角形内含半角，处理方法同样旋转三角形使腰重合，证半角模型，利用上特殊角度（120°）作垂线构造直角三角形。
※（3）如图3，当，时，请探究线段，，的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）结论：．
理由：，，
将绕点逆时针旋转得，连接，如图1中，
，，，，
，
；
又，
而，
，
，
，，
，
，
．
（2）如图2中，，，
将绕点逆时针旋转得，连接，作交的延长线于．
，，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
．
（3）结论：
理由：如图3中，将绕点顺时针旋转，得到，连接．
，，
，
，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
，，
．
过关检测
1．在等腰中，，
（1）如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转90后，得到，连接
①求证：；
②当，时，求的长；
【解答】解：（1）①如图1中，
，
，，
，，
，
，，，
．
②如图1中，设，则．
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
例11．在中，，.
结论：高频考点
（1）如图1，若点是边上一点，则与的数量关系是 .
（2）如图2，若点是延长线上一点，则与的数量关系是 .
【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，证是直角三角形，.
过关检测
1．如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上，点在边的左侧，连接．
（1）求证：；
（2）试探究线段、与之间的数量关系；
※（3）过点作交线段于点，若，，求的长．
连接，CF是DE垂直平分线求线段长度，再利用直角三角形求长度
【解答】（1）证明：和都是等腰直角三角形
，，
，
，
．
（2）解：由（1）得，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
在中，，且，
，
，
，
（3）解：连接，设，
，则，
都是等腰直角三角形，，
，
由（1）、（2）可得，在中，
，
，
解得，
．
2．（1）如图1，在和中，，，且点在边上滑动（点不与点，重合），连接，
①则线段，，之间满足的等量关系式为；
②求证：；
（2）如图2，在四边形中，．若，，求的长．
法一：将三角形ABD逆时针旋转90°，使AB与AC重合，连接DE，构造RT▲DEC
法二（无过程）：过A做AM垂直AD交DC延长线于M，连接BM，构造等腰直角三角形手拉手全等，再利用直角三角形BMD勾股定理求MD，最后算AD。
【解答】（1）①解：，理由如下：
，
，
即，
在和中，，
，
，
，；
故答案为：；
②证明：中，，
，
由（1）得，，
，，
，
，
在中，，
又，
；
（2）解：作，使，连接，，如图2所示：
，
即，
在与中，，
，
，
，，
，
，
，
．
例12．如图，是等边三角形，点在的外部，且，求证：．
将绕点旋转得到
利用飞镖模型证明∠EAD=90°（60°+30°）
【解答】解：如图，将绕点旋转得到，连接，
，
，，
是等边三角形
在中，
，
．
学习任务
1．的平方根是
A．B．C．D．
【解答】解：，
的平方根是．
故选：．
2．如图，把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，若长为2，则的长为
A．B．C．D．
【解答】解：由折叠的性质可知，，，，
由勾股定理得，，
．
设，则，
，
中，，
，
解得，
，
故选：．
3．和是一个数的平方根，则 1 ．
【解答】解：显然，
和是一个数的平方根，
，
解得：，
故答案为：1．
4．已知，则的值为．
【解答】解：，
，解得，
．
故答案为：
5．若，则．
【解答】解：，，
则，，，
，则，，解得：，，所以，
故答案为：
6．已知，，求的值
【解答】解：由题意可知：，
，，，，
当时，原式，
当时，原式．
7．计算：
（1）
（2）
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
8．已知．
（1）求；
（2）若的小数部分为，的小数部分为，求的值．
【解答】解：（1），，
，，
，
（2）的小数部分为，的小数部分为，
，，
．
9．如图，在正方形中，，，分别是，上的点，连接，将四边形沿折叠得到四边形，点恰好在上，若，则折痕的长是．
【解答】解：如图，连接，，，过点作于，
四边形是正方形，
，，
将四边形沿折叠得到四边形，
是的垂直平分线，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
故答案为：．
10．分层探究
（1）问题提出：如图1，点、别在正方形的边、上，，连接．求证：，解题思路：把绕点逆时针旋转 90 度至，可使与重合．由，则知、、三点共线，从而可证，从而得，阅读以上内容并填空．
（2）类比引申：如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．探究：若、都不是直角，当、满足什么数量关系时，仍有？
（3）联想拓展：如图3，在中，，，点、均在边上，并且．猜想、、的数量关系，并给出理由．
【解答】解：（1），
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，
点、、共线，
在和中，
，
，
，
即，
故答案为：90，，；
（2）当时，，如图2
，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，
点、、共线，
在和中，
，
，
，
即，
故答案为：；
（3）猜想：，
证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，
，
，，，，
，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，
，
，
，
．
11．问题：如图①，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为；
探索：如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长．
【解答】解：（1），
理由如下：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
理由如下：连接，
由（1）得，，
，，
，
，
在中，，又，
；
（3）作，使，连接，，
，
即，
在与中，
，
，
，
，，
，
，
，
．