2023-2024学年北师版七年级数学成都地区寒假专题作业 第11节 认识三角形（二）（含答案）

这是一份2023-2024学年北师版七年级数学成都地区寒假专题作业 第11节 认识三角形（二）（含答案），共52页。试卷主要包含了如图，以BC为边的三角形共有，下列说法，已知，故选等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课前检测
1．如图，以BC为边的三角形共有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边相等的关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
3．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，那么这样的三角形的周长最大值是
A．11B．12C．13D．14
4．已知：、、为三角形的三边长
化简：
5．一个多边形的内角和与外角和的差为，求它的边数．
6．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝50°，∠A＝80°，则∠ACD＝（ ）
A．140° B．130° C．120° D．110°
课中讲解
一. 三角形的中线
内容讲解
1. 在三角形中，连接一个 与它对边 的 ，叫做这个三角形的中线．
2. 三角形的三条中线交于一点. 这点称为三角形的 ，而且它一定在三角形 部．
例1. 三角形一边上的中线把原三角形分成两个
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形D．周长相等的三角形
例2. 如图，在中有四条线段，，，，其中有一条线段是的中线，则该线段是
A．线段B．线段C．线段D．线段
例3. 三角形的三条中线的交点的位置为
A．一定在三角形内 B．一定在三角形外
C．可能在三角形内，也可能在三角形外D．可能在三角形的一条边上
过关检测
1. 如图所示，有一条线段是的中线，该线段是
A．线段B．线段C．线段D．线段
2. 如图，、分别是的边、的中点，则下列说法不正确的是
A．是的中线B．是的中线
C．，D．是的中线
3. 王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的
A．角平分线B．中线C．高D．垂直平分线
4. 为的中线，为的中线，则与的面积比为
A．B．C．D．
例4. 如图，点是的重心，、的延长线分别交、边于点、，若的面积为12，则的面积是
A．20B．24C．30D．32
过关检测
1. 如图中，是的重心，连接并延长，交于点．若，
则
A．3B．3.5
C．4D．4.5
2. 如图，点是的重心，连接、并延长分别交、于点、点，则下列说法中一定正确的是
A．∠ABE=∠CBE B．BO=CO C．∠ABE=90°D．AF=BF
例5. 如图，已知是的中线，，，且的周长为11，则的周长是
A．9B．14C．16D．不能确定
例6. 中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边的长．
过关检测
1. 如图，已知是的中线，且的周长比的周长大，则与的差为
A．B．C．D．
2. 如图已知，为的中线，，的周长为24，则的周长为
A．40B．46C．50D．56
3. 是中边上的中线，，，那么与的周长之差为 ．
4. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长．
二. 三角形的高线
内容讲解
1．定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线， 叫做三角形的高线．
注：
锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；
钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，
直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．
2．高的画法：画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．
3．三角形的垂心：每个三角形都有 条高且这几条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的 ．
4．三角形的面积：
三角形的面积=×底×高
例1．数学课上，同学们在练习本上画钝角三角形ABC的高BE时，有一部分学生画出下列四种图形，其中错误的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2．下列图形中AD是三角形ABC的高线的是（ ）
A．B．
C．D．
过关检测
1．如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，则AD是几个三角形的高线（ ）
A．4个B．5个C．6个D．8个
2．三角形的高（ ）
A．一定在三角形的内部
B．至少有两条在三角形的内部
C．或者都在三角形的内部，或者有两条在三角形的外部
D．以上都不对
3．如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．5条
例3．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能
过关检测
1．已知AD，BE，CF是锐角△ABC三条高线，垂心为H，则其图中直角三角形的个数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
2．我们知道，三角形三条高所在直线交于一点．
规定：三角形三条高所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．
如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BE，CF交于点G．
（1）图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？
请写出一组： ．
（2）点G是△ 的垂心．
（3）点A是△ 的垂心．
例4．如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，BA的中点，△ABC的面积为32，则△DEB的面积为（ ）
A．条件不足，无法确定 B．4 C．8 D．16
过关检测
1．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，那么点C到AB的距离是（ ）
A．6B．8C．10D．4.8
2．一个三角形的高为6，是它所在底的23，则这个三角形的面积为 ．
三．角平分线
内容讲解
1．定义：在三角形中，一个 与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 叫做三角形的角平分线。
2．位置：三角形的三条角平分线都在三角形 ，且都 。
3．内心：三角形的三条内角平分线的交点叫三角形的 。
注意：角的平分线是 ， 的角平分线是线段。
（一）角平分线的概念
例1．三角形的角平分线是
A．射线B．直线C．线段D．线段或射线
例2．如图，在中，，则 是的角平分线．
A．B．C．D．
例3．下列叙述不正确的是（ ）
A．三角形的三条角平分线交于一点（内心），这个点一定在三角形内部
B．三角形的三条中线交于一点（重心），这个点一定在三角形内部
C．三角形的三条高线交于一点（垂心），这个点一定在三角形内部
D．三角形内部的角平分线、高线、中线都是线段
过关检测
1．一个三角形的三条角平分线的交点在
A．三角形内B．三角形外
C．三角形的某边上D．以上三种情形都有可能
2．如图，如果，则为△ 的角平分线，为△ 的角平分线．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3D．BC是△ABE的高
（二）内外角平分线模型
（1）两内角：若点为和的角平分线的交点，则：；
（2）两外角：若点为外角和的角平分线的交点，则：；
（3）一内一外：若点为和外角的角平分线的交点，则：．
例1．如图，中，，是的平分线，是的外角平分线，与交于点，那么 ．
例2．如图1，在中，与的角平分线交于点．
（1）若，则 ；
（2）若，则 ；
例3．如图，在中，．与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得，，与的平分线相交于点，得，则
A．B．C．D．
例4．如图中，若、为角平分线，且，，则 度．
过关检测
1．如图，中，，的两条角平分线交于点，的度数是 ；
2．如图，点是三角形内角平分线的交点，点是三角形外角平分线的交点，则与的数量关系是 ．
3．如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则的度数为 ．
4．已知中，．
（1）若和的角平分线交于点，如图1所示，试求的大小；
（2）若和的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于，，如图2所示，试求的大小；
学习任务
1．如图，在中，和的外角平分线交于点，设，则
A．B．C．D．
2．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB＝3，AC＝5，DE＝2，那么点D到AB的距离是（ ）
A．103B．53C．65D．2
3．如图所示的图形中，AE⊥BD于E，AE是几个三角形的高：（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．如图，在中，和是角平分线，其交点为，若，则的度数
A．B．C．D．
5．如图，于，是的中线，则以为高的三角形有
A．3个B．4个C．5个D．6个
6. 在三角形中，交点一定在三角形内部的有
①三角形的三条高线 ②三角形的三条中线 ③三角形的三条角平分线 ④三角形的外角平分线．
A．①②③④B．①②③C．①④D．②③
7. 下列说法中，正确的个数是
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．
A．1B．2C．3D．4
8. 如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 ．
9. 若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是 三角形．
10．（1）如图1，、是和的角平分线且相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，、是和外角的平分线且相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，为的角平分线，为的外角的角平分线，它们相交于点，请直接写出与之间的数量关系．
家长签字：____________
第11节 认识三角形（2）（解析版）
目标层级图
课前检测
1．如图，以BC为边的三角形共有（C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
△BCE △BAC △DBC
2．下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边相等的关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中说法正确的个数是（ B ）（1）（3）
A．1 B．2 C．3 D．0
3．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是
A．11B．12C．13D．14
【解答】解：设第三边为，
根据三角形的三边关系，得：，即，
为整数，的最大值为6，
则三角形的最大周长为．故选：．
4．已知：、、为三角形的三边长
化简：
【解答】解：、、为三角形三边的长，
，，，
原式
．
5．一个多边形的内角和与外角和的差为，求它的边数．
【解答】解：设这是一个边形，则
，
解得．
答：它的边数是9．
6．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝50°，∠A＝80°，则∠ACD＝（ B ）
A．140° B．130° C．120° D．110°
课中讲解
一. 三角形的中线
内容讲解
1. 在三角形中，连接一个 顶点 与它对边 中点 的 线段 ，叫做这个三角形的中线．
2. 三角形的三条中线交于一点. 这点称为三角形的 重心 ，而且它一定在三角形 内 部．
例1. 三角形一边上的中线把原三角形分成两个 B
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形D．周长相等的三角形
解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选：．
例2. 如图，在中有四条线段，，，，其中有一条线段是的中线，则该线段是 B
A．线段B．线段C．线段D．线段
解：根据三角形中线的定义知线段是的中线，故选：．
例3. 三角形的三条中线的交点的位置为 A
A．一定在三角形内 B．一定在三角形外
C．可能在三角形内，也可能在三角形外D．可能在三角形的一条边上
解：三角形的三条中线的交点一定在三角形内．故选：．
过关检测
1. 如图所示，有一条线段是的中线，该线段是B
A．线段B．线段C．线段D．线段
解：根据三角形中线的定义知线段是的中线，
故选：．
2. 如图，、分别是的边、的中点，则下列说法不正确的是 A
A．是的中线B．是的中线
C．，D．是的中线
解：、分别是的边、的中点，
是的中位线，不是中线；是的中线；，；是的中线；
故选：．
3. 王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的 B
A．角平分线B．中线C．高D．垂直平分线
解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
他所作的线段应该是的中线，
故选：．
4. 为的中线，为的中线，则与的面积比为 B
A．B．C．D．
解：为的中线，为的中线，
，，
，
点到、的距离相等，
与的面积比．故选：．
例4. 如图，点是的重心，、的延长线分别交、边于点、，若的面积为12，则的面积是 B
A．20B．24C．30D．32
解：点是的重心，
是的中点，
的面积为12，
的面积是，故选：．
过关检测
1. 如图中，是的重心，连接并延长，交于点．若，
则
A．3B．3.5C．4D．4.5
解：是的重心，
为边的中线，．故选：．
2. 如图，点是的重心，连接、并延长分别交、于点、点，则下列说法中一定正确的是
A．∠ABE=∠CBE B．BO=CO C．∠ABE=90°D．AF=BF
解：点是的重心
是三边上中线的交点
，故选：．
例5. 如图，已知是的中线，，，且的周长为11，则的周长是 A
A．9B．14C．16D．不能确定
解：是的中线，，
的周长为11，，，
的周长是，故选：．
例6. 中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边的长．
解：设，，则，由题意得：
①，
解得：，则：，；
②，
解得：，则：，，
答：①边长为6，的长为4；②边长为，的长为．
过关检测
1. 如图，已知是的中线，且的周长比的周长大，则与的差为B
A．B．C．D．
解：是的中线，
，
与的周长之差，
比的周长大，
与的差为．
故选：．
2. 如图已知，为的中线，，的周长为24，则的周长为 A
A．40B．46C．50D．56
解：的周长为24，
，
，
，
，
，
的周长，
故选：．
3. 是中边上的中线，，，那么与的周长之差为 2 ．
解：．
答：与的周长之差为．
4. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长．
解：是边上的中线，
为的中点，．
的周长的周长．
．
又，
．即的长度是．
二. 三角形的高线
内容讲解
1．定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．
注：
锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；
钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，
直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．
2．高的画法：画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．
3．三角形的垂心：每个三角形都有三条高且这几条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心．
4．三角形的面积：
三角形的面积=×底×高
例1．数学课上，同学们在练习本上画钝角三角形ABC的高BE时，有一部分学生画出下列四种图形，其中错误的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：根据高的定义，过点B作BE⊥AC，则只有第一个图形中BE是钝角三角形ABC的高，其余的图中的BE不合题意．故选：C．
例2．下列图形中AD是三角形ABC的高线的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，所以画法正确的是D．故选：D．
过关检测
1．如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，则AD是几个三角形的高线（ ）
A．4个B．5个C．6个D．8个
【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，
∴AD是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC的高．故选：C．
2．三角形的高（ ）
A．一定在三角形的内部
B．至少有两条在三角形的内部
C．或者都在三角形的内部，或者有两条在三角形的外部
D．以上都不对
【解答】解：锐角三角形三条高都在三角形内部，
直角三角形有两条高是直角边，斜边上的高在三角形内部，
钝角三角形有两条在三角形的外部，有一条在三角形内部，
A、B、C选项说法都不正确．故选：D．
3．如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．5条
【解答】解：可以作为△ACD的高的有AD，CD共2条；
可以作为△BCD的高的有BD，CD共2条；
可以作为△ABC的高的有AB，AC、CD共3条．
综上所述，可以作为三角形“高”的线段有：AD，CD、BD，AB，AC共5条．
故选：D．
例3．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能
【分析】作出一个直角三角形的高线进行判断，就可以得到．
【解答】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形．
故选：C．
过关检测
1．已知AD，BE，CF是锐角△ABC三条高线，垂心为H，则其图中直角三角形的个数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【解答】图中有6个直角，每一个直角对应两个直角三角形，共有12个直角三角形：△ADB、△ADC、△BEA、△CFA、△CFB、△HDB、△HDC、△HEC、△HEA、△HFA、△BEC、△HFB．故选：D．
2．我们知道，三角形三条高所在直线交于一点．
规定：三角形三条高所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．
如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BE，CF交于点G．
（1）图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？
请写出一组： ∠ABE＝∠ACF或∠BAD＝∠BCF或∠CAD＝∠CBE ．
（2）点G是△ ABC 的垂心．
（3）点A是△ BCG 的垂心．
【解答】解：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE+∠BAE＝∠ACF+∠CAF＝90°，
∴∠ABE＝∠ACF，
同理可得，∠BAD＝∠BCF，∠CAD＝∠CBE，
故答案为：∠ABE＝∠ACF或∠BAD＝∠BCF或∠CAD＝∠CBE；
（2）∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BE，CF交于点G，
∴点G是△ABC的垂心，
故答案为：△ABC；
（3）∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F；AD，BF，CE交于点A，
∴点A是△BCG的垂心，故答案为：△BCG．
例4．如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，BA的中点，△ABC的面积为32，则△DEB的面积为（ ）
A．条件不足，无法确定B．4
C．8D．16
【解答】解：∵D、E分别是BC，AB的中点，
∴S△DEB=12S△ABD，S△ABD=12S△ABC，
∴S△DEB=14S△ABC=14×32＝8．故选：C．
过关检测
1．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，那么点C到AB的距离是（ ）
A．6B．8C．10D．4.8
【分析】根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴12×6×8=12×10⋅CD，
∴CD＝4.8，
∴点C到AB的距离是4.8故选：D．
2．一个三角形的高为6，是它所在底的23，则这个三角形的面积为 27 ．
【分析】根据题意求得三角形的底边长，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：∵三角形的高为6，是它所在底的23，
∴所在底为6÷23=9，
∴这个三角形的面积为：12×9×6=27，
故答案为27．
三．角平分线
内容讲解
1．定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2．位置：三角形的三条角平分线都在三角形内部，且都交于一点。
3．内心：三角形的三条内角平分线的交点叫三角形的内心。（如果要拓展内心到三边距离相等需要相应讲解角平分线的性质。）
注意：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段。
（一）角平分线的概念
例1．三角形的角平分线是
A．射线B．直线C．线段D．线段或射线
【解答】解：三角形的角平分线是线段．故选：．（再次强调角的平分线和三角形角平分线的区别）
例2．如图，在中，，则 是的角平分线．
A．B．C．D．
【解答】解：，
，即，
是的角平分线．故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，这个内角的顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线．
例3．下列叙述不正确的是（ ）
A．三角形的三条角平分线交于一点（内心），这个点一定在三角形内部
B．三角形的三条中线交于一点（重心），这个点一定在三角形内部
C．三角形的三条高线交于一点（垂心），这个点一定在三角形内部
D．三角形内部的角平分线、高线、中线都是线段
【解答】解：A、三角形的三条角平分线交于一点（内心），这个点一定在三角形内部，正确；
B、三角形的三条中线交于一点（重心），这个点一定在三角形内部，正确；
C、三条高线可以交在三角形的内部，或外部，或一角的顶点，错误；
D、三角形内部的平分线、高线、中线都是线段，正确；
故选：C．
过关检测
1．一个三角形的三条角平分线的交点在
A．三角形内B．三角形外
C．三角形的某边上D．以上三种情形都有可能
【解答】解：可画出三角形的三条角平分线，都在三角形的内部，
则三角形的三条角平分线的交点在三角形内，故选：．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的角平分线、中线的交点一定在三角形的内部，而高的交点不一定在三角形的内部．
2．如图，如果，则为△ 的角平分线，为△ 的角平分线．
【解答】解：，
为的角平分线，
，
为的角平分线．
故答案为：；．
【点评】此题考查了三角形的角平分线，注意：三角形的角平分线是一条线段．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3D．BC是△ABE的高
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，正确；
B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△EBC的角平分线，正确；
C、∵BD是△EBC的角平分线，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵BE是中线，
∴∠EBD≠∠ABE，
∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意；
D、∵∠C＝90°，∴BC是△ABE的高，正确．
故选：C．
（2）内外角平分线模型（讲解前要了解学生对内外角和公式的掌握情况，进行适当的补充）
（1）两内角：若点为和的角平分线的交点，则：；
【解答】∠P＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90+∠A
（2）两外角：若点为外角和的角平分线的交点，则：；（两外角和以内意外可以让学生推导过程）
【解答】∠P＝180°﹣∠CBD﹣∠BCE
＝180°﹣（∠CBD+∠BCE）
＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°﹣（180°+∠A）
＝90°﹣∠A．
（3）一内一外：若点为和外角的角平分线的交点，则：．
【解答】∠P＝∠PCD﹣∠PBD＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A
例1．如图，中，，是的平分线，是的外角平分线，与交于点，那么 ．
【解答】答案为：．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
例2．如图1，在中，与的角平分线交于点．
（1）若，则 ；
（2）若，则 ；
【解答】解：（1），
，
点是与的角平分线的交点，
，
．故答案为：；
（2），
，
、分别是与的角平分线，
，
．故答案为：；
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于．
例3．如图，在中，．与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得，，与的平分线相交于点，得，则
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意得．
与的平分线交于点，
同理可得，，，故选：．
例4．如图中，若、为角平分线，且，，则 90 度．
【解答】解：连接，
，，
，，
，
、为角平分线，，
，
，故答案为：90．
【点评】本题考查了对三角形内角和定理和角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于．
过关检测
1．如图，中，，的两条角平分线交于点，的度数是 ；
【解答】故答案为：．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及三角形的外角性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
2．如图，点是三角形内角平分线的交点，点是三角形外角平分线的交点，则与的数量关系是 ．
【解答】答案为．
【点评】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，四边形内角和定理等知识，教育的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则的度数为 ．
【解答】解：与的平分线交于点，
同理可得，．故答案为．
4．已知中，．
（1）若和的角平分线交于点，如图1所示，试求的大小；
（2）若和的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于，，如图2所示，试求的大小；
【解答】解：，
，
（1）点是与的角平分线的交点，
，．
（2）点是与的三等分线的交点，
，．
学习任务
1．如图，在中，和的外角平分线交于点，设，则
A．B．C．D．
【解答】解：如图：，
由三角形内角和定理，得
，
由角的和差，得，
由和的外角平分线交于点，得
，
由三角形的内角和，得．故选：．
2．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB＝3，AC＝5，DE＝2，那么点D到AB的距离是（ ）
A．103B．53C．65D．2
【分析】根据三角形的面积得出△ADC的面积为5，再利用中线的性质得出△ABD的面积为5，进而解答即可．
【解答】解：∵AC＝5，DE＝2，
∴△ADC的面积为12×5×2=5，
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD的面积为5，∴点D到AB的距离是2×5÷3=103．故选：A．
3．如图所示的图形中，AE⊥BD于E，AE是几个三角形的高：（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据三角形的高线的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AE⊥BD于E，
∴AE是△ACB，△ABE，△ACE，△ABD，△ACD，△ADE6个三角形的高，
故选：D．
4．如图，在中，和是角平分线，其交点为，若，则的度数
A．B．C．D．
【解答】．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是．
5．如图，于，是的中线，则以为高的三角形有 A
A．3个B．4个C．5个D．6个
6. 在三角形中，交点一定在三角形内部的有
①三角形的三条高线 ②三角形的三条中线 ③三角形的三条角平分线 ④三角形的外角平分线．
A．①②③④B．①②③C．①④D．②③
解：①三角形的三条高线，锐角三角形在三角形内部，直角三角形是直角顶点，钝角三角形在三角形外部，故本小题错误；
②三角形的三条中线是连接顶点与对边中点的线段，一定在三角形内部，所以交点一定在三角形内部，故本小题正确；
③三角形的三条角平分线，是三角形的内角平分线与对边的交点的线段，一定在三角形内部，所以交点一定在三角形内部，故本小题正确；
④三角形的外角平分线在三角形的外部，所以交点一定不在三角形内部，故本小题错误．
综上所述，交点一定在三角形内部的有②③．
故选：．
7. 下列说法中，正确的个数是A
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．
A．1B．2C．3D．4
解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
所以正确的有1个．
故选：A．
8. 如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 ．
解：是边上的中线，
，
和周长的差，
的周长为，比长，
周长为：．
故答案为19．
9．若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是 钝角 三角形．
【分析】根据高的概念，知三角形的三条高所在直线的交点在外部的三角形是钝角三角形．
钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；
锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；
直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点．
【解答】解：若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是钝角三角形．
故答案为：钝角．
10．（1）如图1，、是和的角平分线且相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，、是和外角的平分线且相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，为的角平分线，为的外角的角平分线，它们相交于点，请直接写出与之间的数量关系．
【解答】解：（1）．理由如下：
、是和的角平分线，
，，
，即，
而，
，即；
（2）．理由如下：
、是和外角的平分线，
，，
，，
，即，
而，
，即；
（3）．理由如下：
为的角平分线，为的角平分线，
，，
，
．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为．也考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
家长签字：____________