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2023-2024学年北师版七年级数学成都地区寒假专题作业 第6节 两个乘法公式（含答案）
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这是一份2023-2024学年北师版七年级数学成都地区寒假专题作业 第6节 两个乘法公式（含答案），共41页。试卷主要包含了若，那么代数式应为，比较大小，已知，则代数式的值为 ，如果是完全平方式，试求的值，若是完全平方式，求的值等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课前检测
1．若，那么代数式应为
A．B．C．D．
2．已知将乘开的结果不含项，并且的系数为2．则 ．
3．比较大小： （填“”或“”．
4．已知，则代数式的值为 ．
5．．
课中讲解
一.平方差公式
内容讲解
（一）平方差公式
1．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
即：= - .
2．应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项 ，另一项 ；
（2）右边是 的平方减去 的平方；
（3）公式中的和可以是具体数，也可以是 或 ；
（4）对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
（二）平方差公式的证明
证明方式一：如图，从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形（如图甲），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图乙），上述操作所能验证的公式是 ．
证明方式二：如图，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），请用上述操作所能验证的平方差公式 ．
1．利用平方差公式进行计算
例1．计算：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
例2．（1）若，，则 ；
（2）已知，，则 ．
例3．下列各式中不能用平方差公式计算的是
A．B．C．D．
过关检测
1．计算：（1）= ；（2） ；
（3） ．
2．（1）已知，，则 ；
（2）已知，，则 ．
3．下列算式不能用平方差公式计算的是
A．B．
C．D．
2．平方差公式的逆用
例1．（1）若，， ；
（2）若，，则 ．
例2．（1）如果，则的值为 ；
（2）如果，则 ．
例3．利用乘法公式计算：
（1）； （2）；
（3）．
过关检测
1．（1）若，，则 ；
（2）若，且，则的值是 ．
2．（1）如果，那么的值是 ；
（2）如果，则的值为 ．
3．利用乘法公式进行计算：
（1）； （2）；
3．平方差公式的连用
例1．计算：（1）；
（2）．
过关检测
1．计算：（1）；
（2）
4．平方差公式的证明
例1．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证
A．B．
C．D．
例2．从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形（如图，然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图，上述操作所能验证的等式是
A．B．
C．D．
过关检测
1．如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为
A．B．
C．D．无法确定
2．如图所示，从边长为的大正方形中挖去一个边长是的小正方形，小明将图中的阴影部分拼成了一个如图所示的矩形，这一过程可以验证
A．B．
C．D．
二. 完全平方公式
内容讲解
（一）完全平方公式的证明
1．请用两种方法表示下列各图的面积：
图1 图2
方法一：
方法二：
结论：
方法一：
如图1，大正方形的面积等于边长的平方，即S
方法二：
如图1，大正方形的面积等于分割出的四部分面积之和
即S=
=
两种方法表示的是同一个图形的面积所以结论应该相等
即：=
（二）完全平方式的代数证明
===
=
因此我们得出新的乘法公式：完全平方公式
等号左边：和平方、差平方
等号右边：首平方，尾平方，积的2倍放中间
公式的简单变形：
（三）完全平方公式的直接运用
例1．（1） （2） （3） （4）
（5）． （6）
例2．下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
过关检测
1．（1） （2） （3） （4）
（5） （6）
2．下列计算错误的有（ ）
① ；② ；③ ；
④ ；⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（四）利用完全平方公式简便运算
例1．（1） （2）
过关检测
1．（1） （2）
（五）完全平方公式的逆运用
学习重点：
例1．(1) (2)
(3)．
例2．(1)若是一个完全平方式，那么是 ．
(2)如果是一个完全平方式，那么= ．
(3)若多项式是完全平方式，则= ．
过关检测
1．(1)． (2)－＋．
(3)代数式等于．
2．(1)若是一个整式完全平方后的结果，则值为（ ）
A．3 B．6 C．±6 D．±81
(2)整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．±1
(3)多项式加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这个单项式不能是（ ）
B． C． D．
三. 乘法公式的几何运用
例1．如图，两个正方形边长分别为a, b,且满足a + b =10, a b =12,图中阴影部分的面积为（ ）
A．100 B．32 C．144 D．36
例2．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是
A．B．
C．D．
例3．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b＝8，ab＝13，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝40时，求出图3中阴影部分的面积S3．
过关检测
1．如图．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起（a＞0，b＞0）则三角形ABC的面积是（ ）
A．b2 B．b2 C．b2 D．2b2
2．如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
3．如图，大正方形的边长为m,小正方形的边长为n，若用x,y表示四个长方形的两边长
（x＞y）,观察图案及以下关系式：①；②；③；
④．其中正确的关系式有（ ）
A. ① ② B. ① ③ C. ① ③ ④ D. ① ② ③ ④
学习任务
1．计算． ．
2．已知，，则 ．
3．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立
A．B．
C．D．
4．用乘法公式计算：（1）； （2）；
（3）．
5．利用平方差公式计算：．
6．如果是完全平方式，试求的值．
7．若是完全平方式，求的值．
8．若式子是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式．
9．若是一个完全平方式，则______．
家长签字：____________
第6节 两个乘法公式（解析版）
课前检测
一．选择题（共1小题）
1．若，那么代数式应为
A．B．C．D．
【分析】利用平方差公式先分解，再根据等式的相等关系可得的值．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题考查了平方差公式．会灵活运用．
二．填空题（共3小题）
2．已知将乘开的结果不含项，并且的系数为2．则 ．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含项，并且的系数为2，列等量关系，可得结论．
【解答】解：
，
结果不含项，并且的系数为2，
，，
，，
，
故答案为：．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．比较大小： （填“”或“”．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简得出答案．
【解答】解：，
，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质，掌握负整数指数的计算方法是解题关键．
4．已知，则代数式的值为 ．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能灵活运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
三．解答题（共1小题）
5．．
【分析】根据平方差公式以及单项式乘以多项式的运算把括号展开，再合并同类项，最后运用平方差公式计算即可．
【解答】解：
．
一．平方差公式
内容讲解
（一）平方差公式
1．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
即：（a+b）（a-b）= a2 - b2 .
2．应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
（2）右边是相同项的平方减去相反项的平方；
（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
（4）对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
（二）平方差公式的证明
证明方式一：如图，从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形（如图甲），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图乙），上述操作所能验证的公式是 （a+b）（a-b）= a2 - b2 .
证明方式二：如图，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），请用上述操作所能验证的平方差公式 （a+b）（a-b）= a2 - b2 .
1．利用平方差公式进行计算
例1．计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
例2．（1）若，，则 15 ．
【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
【解答】解：，，
，
故答案为：15．
（2）已知，，则 ．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：，，
，
故答案为：
例3．下列各式中不能用平方差公式计算的是
A．B．C．D．
【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意；
、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意；
、，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意．
故选：．
过关检测
1．计算：（1）的结果是 ．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：
故答案为．
（2） ．
【分析】根据进行计算即可．
【解答】解：原式，
故答案为：．
（3） ．
【分析】本题符合平方差公式的特征：（1）两个二项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，2是相同的项，互为相反项是与，所以可利用平方差公式．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
2．（1）已知，，则 12 ．
【分析】根据，然后代入求解．
【解答】解：．
故答案是：12．
（2）已知，，则 4 ．
【分析】原式利用平方差公式分解，把各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：，，
．
故答案为：4．
3．下列算式不能用平方差公式计算的是
A．B．
C．D．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：（A）原式，故能用平方差公式．
（C）原式，故能用平方差公式．
（D）原式，故能用平方差公式．
故选：．
2．平方差公式的逆用
例1．（1）若，， 5 ．
【分析】把逆运用平方差公式整理，然后再把代入计算即可．
【解答】解：，
，
．
故答案为：5．
（2）若，，则 ．
【分析】先根据平方差公式分解因式，再整体代入即可求解．
【解答】解：，，
，
，
故答案为：．
例2．（1）如果，则的值为 ．
【分析】利用平方差公式得到，然后根据平方根的定义计算的值．
【解答】解：，
，
．
故答案为．
（2）如果，则 ．
【分析】原式利用平方差公式化简，整理即可求出的值．
【解答】解：已知等式整理得：，即，
开方得：，
故答案为：
例3．利用乘法公式计算：
（1）．
【分析】原式利用平方差公式计算即可．
【解答】解：原式
．
（2）．
【分析】根据已知得出，推出，求出即可．
【解答】解：原式
．
（3）
解：原式．
过关检测
1．（1）若，，则 3 ．
【分析】先利用平方差公式，再整体代入求值．
【解答】解：，
，
．
故答案为：3．
（2）若，且，则的值是 ．
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：，，
．
故答案为：．
2．（1）如果，那么的值是 .
【分析】将看做整体，用平方差公式解答，求出的值，进一步求出的值．
【解答】解：，
，
，
，
两边同时除以2得，．
（2）如果，则的值为 ．
【分析】利用平方差公式得到，然后根据平方根的定义计算的值．
【解答】解：，
，
．
故答案为．
3．利用乘法公式进行计算：
（1）
【分析】本题是平方差公式的运用，可把2003化成，把1997化成，根据平方差公式，即可得出结果．
【解答】解：根据平方差公式，，
，
，
，
999 991．
故答案为：3 999 991．
（2）
【分析】原式变形后，利用完全平方公式以及平方差公式即可即可得到结果．
【解答】解：原式．
3．平方差公式的连用
例1．计算：（1）
【分析】根据平方差公式从左到右依次计算即可．
【解答】解：原式
．
（2）
【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：原式．
过关检测
1．计算：（1）．
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：
．
（2）
【分析】首先利用立方和与立方差公式进行计算，最后再利用平方差公式计算．
【解答】解：原式
．
4．平方差公式的证明
例1．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证
A．B．
C．D．
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】解：图甲中阴影部分的面积，图乙中阴影部分的面积，
而两个图形中阴影部分的面积相等，
阴影部分的面积．
故选：．
例2．从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形（如图，然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图，上述操作所能验证的等式是
A．B．
C．D．
【分析】分别求出从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项．
【解答】解：从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，剩余部分的面积是：，
拼成的矩形的面积是：，
根据剩余部分的面积相等得：，
故选：．
过关检测
1．如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为
A．B．
C．D．无法确定
【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．
【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积；
第二个图形是梯形，则面积是．
则．
故选：．
2．如图所示，从边长为的大正方形中挖去一个边长是的小正方形，小明将图中的阴影部分拼成了一个如图所示的矩形，这一过程可以验证
A．B．
C．D．
【分析】利用正方形的面积公式可知阴影部分面积为，根据矩形面积公式可知阴影部分面积为，二者相等，即可解答．
【解答】解：由题可知．
故选：．
完全平方公式
完全平方公式的证明：
请用两种方法表示下列各图的面积：
图1图2
方法一：
方法二：
结论：
方法一：
如图1，大正方形的面积等于边长的平方，即S
方法二：
如图1，大正方形的面积等于分割出的四部分面积之和
即S=
=
两种方法表示的是同一个图形的面积所以结论应该相等
即：=
我们用代数计算的方法也可以得出上述结论：
===
=
因此我们得出新的乘法公式: 完全平方公式
=
等号左边：和平方、差平方
等号右边：首平方，尾平方，积的2倍放中间
公式的简单变形：
题型一：完全平方公式的直接运用
例1.(1)(2)
= =
(3) (4)
= =
（5）．
【分析】把看作整体，是相同的项，互为相反项是与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【解答】解：，
，
．
（6）
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：．
例2.下列等式中不成立的是（ D ）
A．B．
C．D．
过关检测（5mins）
(1) (2)
= =
(3) (4)
= =
（5） （6）
【解答】解：
（5）原式
．
（6）解：原式=9a2-4b2-c2+4bc
2.下列计算错误的有（ D ）
①
②
③
④
⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二：利用完全平方公式的简便运算
例1．（1）972 （2）20022
=9409 =4008004
过关检测（5mins）
5022 （2）1992
=252004 =39601
二．授课内容2
完全平方公式的逆运用
学习重点：=
例1. (1) (5x - )2=-10xy+y2
(2) (+)2=
(3)（＋）2＝＋＋．
例2. （1）若是一个完全平方式，那么m是
（2）如果是一个完全平方式，那么k=
（3）若多项式是完全平方式，则k=12或-8
过关检测（5mins）
(1)＋＝（－）2．
(2)－＋＝（-9b）2．
(3)代数式等于
（4）若x2﹣kxy+9y2是一个整式完全平方后的结果，则k值为（ C ）
A．3B．6C．±6D．±81
（5）整式x2+kx+25为某完全平方式展开后的结果，则k的值为（ D ）
A．5B．﹣5 C．±5D．±10
（6）多项式4a2+1加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这个单项式不能（ D ）
4aB．﹣4a C．4a4D．﹣4a4
乘法公式的几何运用
例1．如图，两个正方形边长分别为a,b,且满足a+b=10,ab=12,图中阴影部分的面积为（ B ）
A．100 B．32C．144D．36
例2．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是 C
A．B．
C．D．
例3．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b＝8，ab＝13，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝40时，求出图3中阴影部分的面积S3．
过关检测
1．如图．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起（a＞0，b＞0）则三角形ABC的面积是（ B ）
A．b2B．b2C．b2D．2b2
2．如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（ B ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
3．如图，大正方形的边长为m,小正方形的边长为n，若用x,y表示四个长方形的两边长（x＞y）,观察图案及以下关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式有（ ）
A．①② B．①③C．①③④D．①②③④
学习任务
4．计算． ．
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：
．
故答案为：．
17．已知，，则 ．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：当，时，
原式
故答案为：
49．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立
A．B．
C．D．
【分析】根据面积相等，列出关系式即可．
【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，
，
故选：．
37．用乘法公式计算：（1）；
【解答】解：原式．
（2）简算：．
解：原式．
（3）．
【解答】解：原式
．
5．利用平方差公式计算：
．
解：原式
．
1.如果是完全平方式，试求的值.
2.若是完全平方式，求的值．
3.若式子是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式x
4.若是一个完全平方式，则_±4y_____
目标层级图
课前检测
1．若，那么代数式应为
A．B．C．D．
2．已知将乘开的结果不含项，并且的系数为2．则 ．
3．比较大小： （填“”或“”．
4．已知，则代数式的值为 ．
5．．
课中讲解
一.平方差公式
内容讲解
（一）平方差公式
1．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
即：= - .
2．应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项 ，另一项 ；
（2）右边是 的平方减去 的平方；
（3）公式中的和可以是具体数，也可以是 或 ；
（4）对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
（二）平方差公式的证明
证明方式一：如图，从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形（如图甲），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图乙），上述操作所能验证的公式是 ．
证明方式二：如图，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），请用上述操作所能验证的平方差公式 ．
1．利用平方差公式进行计算
例1．计算：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
例2．（1）若，，则 ；
（2）已知，，则 ．
例3．下列各式中不能用平方差公式计算的是
A．B．C．D．
过关检测
1．计算：（1）= ；（2） ；
（3） ．
2．（1）已知，，则 ；
（2）已知，，则 ．
3．下列算式不能用平方差公式计算的是
A．B．
C．D．
2．平方差公式的逆用
例1．（1）若，， ；
（2）若，，则 ．
例2．（1）如果，则的值为 ；
（2）如果，则 ．
例3．利用乘法公式计算：
（1）； （2）；
（3）．
过关检测
1．（1）若，，则 ；
（2）若，且，则的值是 ．
2．（1）如果，那么的值是 ；
（2）如果，则的值为 ．
3．利用乘法公式进行计算：
（1）； （2）；
3．平方差公式的连用
例1．计算：（1）；
（2）．
过关检测
1．计算：（1）；
（2）
4．平方差公式的证明
例1．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证
A．B．
C．D．
例2．从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形（如图，然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图，上述操作所能验证的等式是
A．B．
C．D．
过关检测
1．如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为
A．B．
C．D．无法确定
2．如图所示，从边长为的大正方形中挖去一个边长是的小正方形，小明将图中的阴影部分拼成了一个如图所示的矩形，这一过程可以验证
A．B．
C．D．
二. 完全平方公式
内容讲解
（一）完全平方公式的证明
1．请用两种方法表示下列各图的面积：
图1 图2
方法一：
方法二：
结论：
方法一：
如图1，大正方形的面积等于边长的平方，即S
方法二：
如图1，大正方形的面积等于分割出的四部分面积之和
即S=
=
两种方法表示的是同一个图形的面积所以结论应该相等
即：=
（二）完全平方式的代数证明
===
=
因此我们得出新的乘法公式：完全平方公式
等号左边：和平方、差平方
等号右边：首平方，尾平方，积的2倍放中间
公式的简单变形：
（三）完全平方公式的直接运用
例1．（1） （2） （3） （4）
（5）． （6）
例2．下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
过关检测
1．（1） （2） （3） （4）
（5） （6）
2．下列计算错误的有（ ）
① ；② ；③ ；
④ ；⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（四）利用完全平方公式简便运算
例1．（1） （2）
过关检测
1．（1） （2）
（五）完全平方公式的逆运用
学习重点：
例1．(1) (2)
(3)．
例2．(1)若是一个完全平方式，那么是 ．
(2)如果是一个完全平方式，那么= ．
(3)若多项式是完全平方式，则= ．
过关检测
1．(1)． (2)－＋．
(3)代数式等于．
2．(1)若是一个整式完全平方后的结果，则值为（ ）
A．3 B．6 C．±6 D．±81
(2)整式为某完全平方式展开后的结果，则的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．±1
(3)多项式加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这个单项式不能是（ ）
B． C． D．
三. 乘法公式的几何运用
例1．如图，两个正方形边长分别为a, b,且满足a + b =10, a b =12,图中阴影部分的面积为（ ）
A．100 B．32 C．144 D．36
例2．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是
A．B．
C．D．
例3．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b＝8，ab＝13，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝40时，求出图3中阴影部分的面积S3．
过关检测
1．如图．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起（a＞0，b＞0）则三角形ABC的面积是（ ）
A．b2 B．b2 C．b2 D．2b2
2．如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
3．如图，大正方形的边长为m,小正方形的边长为n，若用x,y表示四个长方形的两边长
（x＞y）,观察图案及以下关系式：①；②；③；
④．其中正确的关系式有（ ）
A. ① ② B. ① ③ C. ① ③ ④ D. ① ② ③ ④
学习任务
1．计算． ．
2．已知，，则 ．
3．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立
A．B．
C．D．
4．用乘法公式计算：（1）； （2）；
（3）．
5．利用平方差公式计算：．
6．如果是完全平方式，试求的值．
7．若是完全平方式，求的值．
8．若式子是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式．
9．若是一个完全平方式，则______．
家长签字：____________
第6节 两个乘法公式（解析版）
课前检测
一．选择题（共1小题）
1．若，那么代数式应为
A．B．C．D．
【分析】利用平方差公式先分解，再根据等式的相等关系可得的值．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题考查了平方差公式．会灵活运用．
二．填空题（共3小题）
2．已知将乘开的结果不含项，并且的系数为2．则 ．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含项，并且的系数为2，列等量关系，可得结论．
【解答】解：
，
结果不含项，并且的系数为2，
，，
，，
，
故答案为：．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．比较大小： （填“”或“”．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简得出答案．
【解答】解：，
，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质，掌握负整数指数的计算方法是解题关键．
4．已知，则代数式的值为 ．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能灵活运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
三．解答题（共1小题）
5．．
【分析】根据平方差公式以及单项式乘以多项式的运算把括号展开，再合并同类项，最后运用平方差公式计算即可．
【解答】解：
．
一．平方差公式
内容讲解
（一）平方差公式
1．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
即：（a+b）（a-b）= a2 - b2 .
2．应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
（2）右边是相同项的平方减去相反项的平方；
（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
（4）对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
（二）平方差公式的证明
证明方式一：如图，从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形（如图甲），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图乙），上述操作所能验证的公式是 （a+b）（a-b）= a2 - b2 .
证明方式二：如图，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），请用上述操作所能验证的平方差公式 （a+b）（a-b）= a2 - b2 .
1．利用平方差公式进行计算
例1．计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
例2．（1）若，，则 15 ．
【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
【解答】解：，，
，
故答案为：15．
（2）已知，，则 ．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：，，
，
故答案为：
例3．下列各式中不能用平方差公式计算的是
A．B．C．D．
【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意；
、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意；
、，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意．
故选：．
过关检测
1．计算：（1）的结果是 ．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：
故答案为．
（2） ．
【分析】根据进行计算即可．
【解答】解：原式，
故答案为：．
（3） ．
【分析】本题符合平方差公式的特征：（1）两个二项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，2是相同的项，互为相反项是与，所以可利用平方差公式．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
2．（1）已知，，则 12 ．
【分析】根据，然后代入求解．
【解答】解：．
故答案是：12．
（2）已知，，则 4 ．
【分析】原式利用平方差公式分解，把各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：，，
．
故答案为：4．
3．下列算式不能用平方差公式计算的是
A．B．
C．D．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：（A）原式，故能用平方差公式．
（C）原式，故能用平方差公式．
（D）原式，故能用平方差公式．
故选：．
2．平方差公式的逆用
例1．（1）若，， 5 ．
【分析】把逆运用平方差公式整理，然后再把代入计算即可．
【解答】解：，
，
．
故答案为：5．
（2）若，，则 ．
【分析】先根据平方差公式分解因式，再整体代入即可求解．
【解答】解：，，
，
，
故答案为：．
例2．（1）如果，则的值为 ．
【分析】利用平方差公式得到，然后根据平方根的定义计算的值．
【解答】解：，
，
．
故答案为．
（2）如果，则 ．
【分析】原式利用平方差公式化简，整理即可求出的值．
【解答】解：已知等式整理得：，即，
开方得：，
故答案为：
例3．利用乘法公式计算：
（1）．
【分析】原式利用平方差公式计算即可．
【解答】解：原式
．
（2）．
【分析】根据已知得出，推出，求出即可．
【解答】解：原式
．
（3）
解：原式．
过关检测
1．（1）若，，则 3 ．
【分析】先利用平方差公式，再整体代入求值．
【解答】解：，
，
．
故答案为：3．
（2）若，且，则的值是 ．
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：，，
．
故答案为：．
2．（1）如果，那么的值是 .
【分析】将看做整体，用平方差公式解答，求出的值，进一步求出的值．
【解答】解：，
，
，
，
两边同时除以2得，．
（2）如果，则的值为 ．
【分析】利用平方差公式得到，然后根据平方根的定义计算的值．
【解答】解：，
，
．
故答案为．
3．利用乘法公式进行计算：
（1）
【分析】本题是平方差公式的运用，可把2003化成，把1997化成，根据平方差公式，即可得出结果．
【解答】解：根据平方差公式，，
，
，
，
999 991．
故答案为：3 999 991．
（2）
【分析】原式变形后，利用完全平方公式以及平方差公式即可即可得到结果．
【解答】解：原式．
3．平方差公式的连用
例1．计算：（1）
【分析】根据平方差公式从左到右依次计算即可．
【解答】解：原式
．
（2）
【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：原式．
过关检测
1．计算：（1）．
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：
．
（2）
【分析】首先利用立方和与立方差公式进行计算，最后再利用平方差公式计算．
【解答】解：原式
．
4．平方差公式的证明
例1．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证
A．B．
C．D．
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】解：图甲中阴影部分的面积，图乙中阴影部分的面积，
而两个图形中阴影部分的面积相等，
阴影部分的面积．
故选：．
例2．从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形（如图，然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图，上述操作所能验证的等式是
A．B．
C．D．
【分析】分别求出从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项．
【解答】解：从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，剩余部分的面积是：，
拼成的矩形的面积是：，
根据剩余部分的面积相等得：，
故选：．
过关检测
1．如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为
A．B．
C．D．无法确定
【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．
【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积；
第二个图形是梯形，则面积是．
则．
故选：．
2．如图所示，从边长为的大正方形中挖去一个边长是的小正方形，小明将图中的阴影部分拼成了一个如图所示的矩形，这一过程可以验证
A．B．
C．D．
【分析】利用正方形的面积公式可知阴影部分面积为，根据矩形面积公式可知阴影部分面积为，二者相等，即可解答．
【解答】解：由题可知．
故选：．
完全平方公式
完全平方公式的证明：
请用两种方法表示下列各图的面积：
图1图2
方法一：
方法二：
结论：
方法一：
如图1，大正方形的面积等于边长的平方，即S
方法二：
如图1，大正方形的面积等于分割出的四部分面积之和
即S=
=
两种方法表示的是同一个图形的面积所以结论应该相等
即：=
我们用代数计算的方法也可以得出上述结论：
===
=
因此我们得出新的乘法公式: 完全平方公式
=
等号左边：和平方、差平方
等号右边：首平方，尾平方，积的2倍放中间
公式的简单变形：
题型一：完全平方公式的直接运用
例1.(1)(2)
= =
(3) (4)
= =
（5）．
【分析】把看作整体，是相同的项，互为相反项是与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【解答】解：，
，
．
（6）
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：．
例2.下列等式中不成立的是（ D ）
A．B．
C．D．
过关检测（5mins）
(1) (2)
= =
(3) (4)
= =
（5） （6）
【解答】解：
（5）原式
．
（6）解：原式=9a2-4b2-c2+4bc
2.下列计算错误的有（ D ）
①
②
③
④
⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二：利用完全平方公式的简便运算
例1．（1）972 （2）20022
=9409 =4008004
过关检测（5mins）
5022 （2）1992
=252004 =39601
二．授课内容2
完全平方公式的逆运用
学习重点：=
例1. (1) (5x - )2=-10xy+y2
(2) (+)2=
(3)（＋）2＝＋＋．
例2. （1）若是一个完全平方式，那么m是
（2）如果是一个完全平方式，那么k=
（3）若多项式是完全平方式，则k=12或-8
过关检测（5mins）
(1)＋＝（－）2．
(2)－＋＝（-9b）2．
(3)代数式等于
（4）若x2﹣kxy+9y2是一个整式完全平方后的结果，则k值为（ C ）
A．3B．6C．±6D．±81
（5）整式x2+kx+25为某完全平方式展开后的结果，则k的值为（ D ）
A．5B．﹣5 C．±5D．±10
（6）多项式4a2+1加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这个单项式不能（ D ）
4aB．﹣4a C．4a4D．﹣4a4
乘法公式的几何运用
例1．如图，两个正方形边长分别为a,b,且满足a+b=10,ab=12,图中阴影部分的面积为（ B ）
A．100 B．32C．144D．36
例2．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是 C
A．B．
C．D．
例3．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b＝8，ab＝13，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝40时，求出图3中阴影部分的面积S3．
过关检测
1．如图．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起（a＞0，b＞0）则三角形ABC的面积是（ B ）
A．b2B．b2C．b2D．2b2
2．如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（ B ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
3．如图，大正方形的边长为m,小正方形的边长为n，若用x,y表示四个长方形的两边长（x＞y）,观察图案及以下关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式有（ ）
A．①② B．①③C．①③④D．①②③④
学习任务
4．计算． ．
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：
．
故答案为：．
17．已知，，则 ．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：当，时，
原式
故答案为：
49．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立
A．B．
C．D．
【分析】根据面积相等，列出关系式即可．
【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，
，
故选：．
37．用乘法公式计算：（1）；
【解答】解：原式．
（2）简算：．
解：原式．
（3）．
【解答】解：原式
．
5．利用平方差公式计算：
．
解：原式
．
1.如果是完全平方式，试求的值.
2.若是完全平方式，求的值．
3.若式子是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式x
4.若是一个完全平方式，则_±4y_____
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