5.2024年山西省中考权威模考精选汇编·数学——解直角三角形的实际应用试题

这是一份5.2024年山西省中考权威模考精选汇编·数学——解直角三角形的实际应用试题，共14页。
1.（2024·省适应性训练一）在省城太原轨道交通1号线工程建设中，迎泽公园北门牌楼穿着“轮滑鞋”向南平移24 m，开创了我市仿古类建筑物平移施工先河！综合实践小组的同学按如图的方式测量迎泽公园北门牌楼高度AB：①在牌楼前空地上取测量点P，测得牌楼最高点A的仰角∠ACD＝35°；②改变测量点至Q处，测得此时点A的仰角∠AEF＝45°；③测得PQ＝6 m，CP＝0.5 m，EQ＝1 m（已知图中各点均在同一竖直平面内，点B，P，Q在同一水平直线上）．请根据该小组的测量数据计算牌楼的高度AB．（结果精确到1 m；参考数据：sin 35°≈0.57，cs 35°≈0.82，tan 35°≈0.70）
2.（2024·省适应性训练二）应县木塔，全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内，是中国现存最高最古老的一座木构塔式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某校综合与实践小组测量应县木塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：
请根据以上测量数据，求应县木塔AB的高度.（结果精确到0.1 m；参考数据：sin 16°≈0.28，cs 16°≈0.96，tan 16°≈0.29）
3.（2024·省适应性训练三）学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形ABCD是矩形，主席台高CD=1.2 m.上午某时刻经过点E的太阳光线恰好照射在AD上的点F处，测得∠EFD=58°，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度AF=1.5 m.一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在AD上的点G处，测得∠EGD=71°，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度AG=2.8 m，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，求点E距离地面BC的高度.（结果精确到0.1 m；参考数据：sin 58°≈0.85，cs 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，sin 71°≈0.95，cs 71°≈0.33，tan 71°≈2.90）
图1 图2
4.（2024·太原一模）在太原市文瀛公园，耸立着一座高大的石碑——见义勇为纪念碑.此碑顶端为一只紧握的铁拳，象征见义勇为英雄扶正祛邪的强大力量.综合实践小组按如图所示的方案测量该纪念碑的高度AB：①在纪念碑前的空地上确定测量点P，当测倾器高度PC为0.8 m时，测得纪念碑最高点A的仰角∠ACD=38.7°；②保持测倾器位置不变，调整测倾器高度PE为1.8 m时，测得点A的仰角∠AEF=37°.已知点A，B，C，D，E，F，P在同一竖直平面内，请根据该小组测量数据计算纪念碑的高度AB.（结果精确到1 m；参考数据：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 38.7°≈0.62，cs 38.7°≈0.78，tan 38.7°≈0.80）
5.（2024·太原二模）从2014年至今，“图说我们的价值观”公益广告通过绘画、书法、雕塑、剪纸、刺绣、动画等形式来传播社会主义核心价值观，产生了良好的传播效果.在某校校园内有一块“社会主义核心价值观”宣传牌，同学们用所学知识对宣传牌的有关数据进行了测量，并尝试提出问题、解决问题.
小华想根据上述方案与测量数据，求点A到地面的距离，请你帮他完成. （结果精确到1 cm；参考数据：sin 70°≈0.94，cs 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，sin 79°≈0.98，cs 79°≈0.19，tan 79°≈5.14）
6.（2024·晋一原创测评一）带凳可坐便携式休闲购物车具有载货、省力、可坐且能爬楼的优点，受到民众尤其是老年人的青睐.某综合实践小组的成员制作了如图所示的示意图，其中直线l表示地面，AB⊥AD，AD⊥直线l，∠ABC=120°，∠ADC=70°，AB=25 cm，BC=16 cm，CE=34 cm，求点D距离地面l的高度.（结果精确到0.1 cm；参考数据：sin 70°≈0.94，cs 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，≈1.73)
7.（2024·晋一原创测评三）龙门黄河大桥全长4566 m，是黄河上跨径最大的斜拉桥，号称“黄河第一桥”，也是山西省里程最长、投资最大、结构最复杂的桥梁，其中的双塔斜拉桥主桥采用两座等高的花瓶型塔，造型优美.某校综合与实践小组测量花瓶型塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：
请根据以上测量数据，求花瓶型塔MN的高度.（结果精确到0.1m；参考数据：sin 53°≈0.80，cs 53°≈0.60，tan 53°≈1.33）
8.（2024·聚能卷B）如图所示是候车厅的一种座椅，为了坐姿舒适，设计师将座板由水平位置AF微微上翘5°到AB的位置，座板AB与座椅靠背AC的夹角∠BAC为115°.已知座椅靠背AC=80 cm，座椅脚撑AE=35 cm，且与地面l的夹角∠AED为51°.求座椅靠背顶端C到地面l的距离.（结果精确到0. 1 cm；参考数据：sin 51°≈0.78，cs 51°≈0.63，tan 51°≈1.23，≈1.73）
参考答案
1.解：如解图，延长CD交AB于点M，交EQ于点G，过点G作GN//AE，交AB于点N.
由题可得，四边形CPQG，四边形CPBM和四边形GQBM均为矩形，四边形AEGN为平行四边形.
∴CP=GQ=BM=0.5 m，CG=PQ=6 m，CM=BP，MG=BQ，EG=AN=EQ-GQ=1-0.5=0.5 m，∠NGM=∠AEF=45°.
在Rt△NMG中，∠NMG=90°，tan∠NGM=，
∴=tan 45°=1，即MN=MG.
在Rt△ACM中，∠AMC=90°，∠ACM= 35°，tan∠ACM=，
∴=tan 35°≈0.7.
∴AM=0.7CM.
设MN=MG=x m，则CM=BP=（x+6）m，AM=AN+MN= x+0.5.
∴x+0.5=0.7（x+6）.
解得x≈12.3.
∴AB=AN+MN+BM=0.5+12.3+0.5=13.3≈13（m）.
答：牌楼的高度AB约为13 m.
2.解：如解图，延长BA交QD于点F，延长PC交AF于点E，则四边形QCEF和四边形PEBG都是矩形.
根据题意，得PG=100，PC=60，CQ=20.
∴BE=PG=100，EF=CQ=20，QF=CE.
在Rt△AFQ中，∠AFQ=90°，tan∠AQF=，
∴AF=QF.
设AE=x，则QF=CE=AF=AE+EF=x+20.
∴PE=PC+CE=x+80.
在Rt△AEP中，∠APE=16°，tan∠APE=，
∴AE=PE·tan 16°≈0.29PE.
∴x=0.29（x+80）.
解得x≈32.68.
∴AB=BE-AE≈67.3（m）.
答：应县木塔AB的高度约为67.3 m.
3.解：如解图，过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点H，则四边形CDHM是矩形，∠FHE=90°.
∴HM=CD=1.2.
设EH=a.
在Rt△FHE中，∠EFH=58°，tan∠EFH=，
∴FH=.
在Rt△GHE中，∠EGH=71°，tan∠EGH=，
∴GH=.
∵AF=1.5，AG=2.8，
∴FG=AG-AF=1.3.
∵FG=FH-GH，
∴=1.3.解得a=4.64.
∴EM=EH+HM=5.84≈5.8（m）.
答：点E距离地面BC的高度约为5.8 m.
4.解：如解图，延长EF，CD，分别与AB交于点M和点N.
根据题意，得四边形CPBN和四边形ECNM都是矩形.
∴EM=CN，MN=CE，BN=PC=0.8 m.
∵PE=1.8 m，
∴MN=CE=PE-PC=1（m）.
设EM=CN=x m.
在Rt△AEM中，∠AME=90°，∠AEM=37°，tan∠AEM=，
∴AM=EM·tan 37°≈0.75x.
在Rt△ACN中，∠ANC=90°，∠ACN=38.7°，tan∠ACN=，
∴AN=CN·tan 38.7°≈0.8x.
∵MN=AN-AM，
∴1=0.8x-0.75x.解得x=20.
∴AM=0.75×20=15（m）.
∴AB=AM+MB=15+1.8=16.8≈17（m）.
答：纪念碑的高度AB约为17 m.
5.解：如解图，过点A作AH⊥BC交CB的延长线于点H，过点E作QN⊥EF于点E，分别于AH，DM交于点Q，N.
根据题意，得四边形AQEF和四边形QHMN都是矩形，
∴HQ=MN，AQ=FE=48 cm.
∵∠BCD=101°，
∴∠DCM=180°-∠BCD=180°-101°=79°.
在Rt△CDM中，∠CDM+∠DCM=90°,
∴∠CDM=90°-79°=11°.
∴∠EDN=∠CDE+∠CDM=59°+11°=70°.
在Rt△CDM中，∠DCM=79°，tan∠DCM=.
∴DM= CM·tan 79°≈30×5.14=154.2（cm）.
在Rt△EDN中，∠EDN=70°，cs∠EDN =.
∴DN=DE·cs 70°≈50×0.34=17(cm).
∵MN=DM-DN，
∴MN=154.2-17=137.2(cm).
∴AH=AQ+QH=EF+MN=48+137.2≈185 (cm).
答：点A到地面的距离约为185 cm.
6.解：如解图，过点C分别作CN⊥直线l于点N，CM⊥AD于点M，过点B作BH⊥CM于点H，过点D作DG⊥CN于点G，延长AD交直线l于点F，则∠BHC=∠CMD=∠CNE=90°，四边形ABHM，四边形CGDM，四边形DGNF都是矩形.
∴∠ABH=90°，MH=AB=25，CG=MD，GN=DF.
∵∠ABC=120°，
∴∠CBH=∠ABC-∠ABH=30°.
在Rt△BCH中，sin∠CBH=，BC=16，
∴CH=BC·sin 30°=8.
∴CM=CH+MH=33.
在Rt△CMD中，∠CDM=70°，tan∠CDM=，
∴CG=MD==12.
∵AB⊥AD，AD⊥直线l，
∴AB∥直线l.
∴∠CEN=60°.
在Rt△CEN中，sin∠CEN=，CE=34，
∴CN=CE·sin 60°=17.
∴DF=GN=17-12≈17.4（cm）.
答：点D距离地面l的高度约为17.4 cm.
7.解：如解图，分别延长AC，BD，交MN于点E，F，延长BA交NP于点H.
根据题意，得MN⊥NP，AE⊥MN，BF⊥MN，BH⊥NP，则四边形ABFE和四边形AHNE都是矩形.
∴AE=BF.
∵AH=41 m，AB=20 m，
∴EN=AH=41 m，EF=AB=20 m.
在Rt△MBF中，∠MBF=45°，
∴MF=BF.
∴MF=AE.
在Rt△MAE中，∠MAE=53°，tan∠MAE=，
∴ME=AE·tan53°≈1.33AE.
又∵EF=ME-MF，
∴20=1.33AE-AE.解得AE≈60.61.
∴MF=AE=60.61 m.
∴MN=MF+EF+EN=60.61+20+41≈121.6（m）.
答：花瓶型塔MN的高度约为121.6 m.
8.解：如解图，过点C作CH⊥地面l于点H，过点A作AG⊥地面l于点G，延长FA交CH于点K.
根据题意，得∠BAF=5°，∠BAC=115°，∠AEG=51°，AK⊥CH，四边形AGHK为矩形.
∴KH=AG，∠CAK=180°-∠BAF-∠BAC=60°.
在Rt△AGE中，AE=35 cm，sin∠AEG=，
∴KH=AG=AE·sin 51°≈35×0.78=27.3（cm）.
在Rt△ACK中，AC=80 cm，sin∠CAK=，
∴CK=AC·sin 60°=80×≈69.2（cm）.
∴CH=CK+KH=69.2+27.3=96.5（cm）.
答：座椅靠背顶端C到地面l的距离约为96.5 cm.测量对象
应县木塔
测量目的
学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具
无人机
测量方案
1.先将无人机从地面的点G处垂直上升100 m至点P，在此处测得塔的顶端A的俯角为16°；
2.再将无人机从点P处沿水平方向飞行60 m至点C，然后沿垂直方向上升20 m至点Q，在此处测得塔的顶端A的俯角∠DQA=45°，图中各点均在同一竖直平面内
测量示意图

数学抽象
将宣传牌抽象成如右图所示的图形，其中点A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，B，C两点在水平地面，点A，F所在直线与BC平行
测量工具
老师教学用的量角器（可测角度与线段长，长度的最大量程为50 cm）
测量数据
∠AFE=90°，∠CDE=59°，∠BCD=101°，DE=50 cm，EF=48 cm，点C到宣传牌右侧立柱的距离CM的长为30 cm
提出问题
…
测量对象
花瓶型塔
测量目的
学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题
测量工具
无人机
测量方案
1.先将无人机从水平面NP垂直上升41m至点A，测得其中一座塔的塔尖M的仰角为53°：
2.再将无人机从点A处垂直上升20m至点B，测得该塔的塔尖M的仰角为45°，图中各点均在同一竖直平面内.
测量示意图