7.2024年山西省中考权威模考精选汇编·数学——综合与实践试题

这是一份7.2024年山西省中考权威模考精选汇编·数学——综合与实践试题，共9页。
1.（2024·省适应性测试一）综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，连接CO．点E在AB边上，且BE＝BO，线段EO的延长线交CD于点F．
猜想证明：
（1）“笃学”小组发现DF＝OC，请你证明这一结论.
操作探究：
（2）“勤思”小组将图1中的△BOE绕点B顺时针旋转（点O，E的对应点分别为O'，E′），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答：
①如图2，当点O'落在AB的延长线上时，连接CE′，试判断四边形OBE′C的形状，并说明理由；
②若AB＝8，AD＝6，当线段O'E'所在直线与EF所在直线
垂直时，请直接写出A，O′两点间的距离．

图1 图2
2.（2024·省适应性测试二）综合与实践
问题背景：
活动课上，同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论.已知，在正方形ABCD中，AB=6，E是射线CD上的一个动点，连接AE，以AE为边作正方形AEGF（点F在AD边所在直线的上方），连接DF.
探索发现：
（1）如图1，勤学小组画出了点E与点C重合时的图形，此时点F到边AD所在直线的距离为 .
（2）如图2，创思小组画出点E恰好是线段CD中点时的图形，请你解答如下问题：
①判断线段AF与DF的数量关系，并说明理由；
②直接写出此时点F到边AD所在直线的距离.
拓展延伸：
（3）如图3，博闻小组画出了点E在线段CD延长线上时的情形，DF与AE交于点P.若P是线段AE的三等分点，请直接写出此时DE的长.
图1 图2 图3
3.（2024·太原一模）综合与实践
问题情境：
综合实践课上，老师让同学们以正方形为背景，添加适当的几何元素后，探究线段之间的数量关系.如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E在线段BC上（CE>BE），以CE为边作正方形EFGC，使点G在线段CD上.延长CD至点H，使DH=GD，连接AH，AE，AF.
数学思考：
（1）拼搏小组提出如下问题，请你解答：
①求证：AH=AE；
②猜想线段HG与AF之间的数量关系，直接写出结论.
深入探究：
（2）奋进小组将正方形CEFG从图1中的位置开始，绕点E逆时针旋转（设点C的对应点为C'），提出如下问题，请你解答：
①如图2，当点F恰好落到线段AE上时，连接HG.猜想此时线段HG与AF之间的数量关系，并说明理由；
②若AB=6，BE=2，在正方形CEFG旋转的过程中，请直接写出A，F，G三点在同一直线上时线段HG的长.
4.（2024·太原二模）综合与实践
问题情境：
在数学活动课上，同学们以等边三角形为背景，探究动点运动过程中产生的数学问题.已知△ABC是等边三角形，AB=4，D是射线BC上的一点，以AD为边作矩形ADEF（顶点A，D，E，F按逆时针顺序排列），其中AD=2DE，直线EF分别与射线BC、直线AC交于点M，N.
初步探究：
针对老师给出的问题背景，小敏画出了点D与点B重合时的图形，如图1，并提出如下问题，请你解答：
（1）猜想EM与FN的数量关系，并说明理由.
深入思考：
（2）在小敏研究的基础上，小捷同学画出了点N恰好是EF的中点时的图形，如图2，求此时的值.
拓展延伸：
（3）在点D运动过程中，直接写出当CN=2CM时的值.
参考答案
1.（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，∠BCD=90°.
∴∠OEB=∠OFD.
∵O为BD的中点，
∴OB=OD=OC=BD.
又∵∠EOB=∠FOD，
∴△DOF≌△BOE.
∴DF=BE.
∵BE=OB=OC，
∴DF=OC.
解：（2）四边形OBE'C为菱形.
理由:由旋转的性质，得∠O'BE'=∠OBE，BE'=BE.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°.
∴∠OBE+∠OBC=90°，∠CBO’=180°-∠ABC=90°.
∴∠O'BE'+∠CBE'=90°.
∴∠OBC=∠CBE'.
∵BE=BO，
∴BE’=BO.
又∵BC=BC，
∴△BOC≌△BE'C.
∴OC=CE’.
由（1），得OC=OB.
∴OC=CE’=BE’=OB.
∴四边形OBE'C为菱形.
（3）或.
2.解：（1）6
（2）①AF=DF.
理由：如解图，过点F作FH⊥AD于点H，则∠FHA=90°.
∴∠AFH+∠FAH=90°.
∵四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，
∴∠ADE=90°，AD=CD，AE=AF，∠FAE=90°.
∴∠FAH+∠EAD=90°.
∴∠AFH=∠EAD.
又∵∠FHA=∠ADE=90°，
∴△AFH≌△EAD.
∴AH=ED.
∵E是CD的中点，
∴ED=CD.
∴AH=CD=AD.
∴AH=DH.
又∵FH⊥AD，
∴FH垂直平分AD.
∴AF=DF.
②6.
（3）或6.
3.（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ADC=90°，AB=AD=CB=CD.
∴∠ADH=180°-∠ADC=90°.
∴∠B=∠ADH.
∵四边形EFGC是正方形，
∴CE=CG.
∴CB-CE=CD-CG，即BE=GD.
∵GD=DH，
∴BE=DH.
∴△ABE≌△ADH.
∴AE=AH.
②解：HG=AF.
解：（2）①HG=AF.
理由：如解图，延长C'G交AH于点P.
由旋转的性质，得四边形EFGC'是正方形.
∴EF=FG，∠EFG=∠FGC'=90°.
∴∠AFG=180°-∠EFG=90°，∠FGP=180°-∠FGC'=90°.
由（1），得△ABE≌△ADH.
∴∠BAE=∠DAH.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°.
∴∠BAE+∠DAE=90°.
∴∠DAE+∠DAH=∠EAH=90°.
∵∠EAH=∠AFG=∠FGP=90°，
∴四边形AFGP是矩形.
∴∠APG=90°，AF=PG，AP=FG=EF.
由（1），得AE=AH.
∴AE-EF=AH-AP，即AF=PH.
∴PG=PH.
∵在Rt△PGH中，∠GPH=180°-∠APG=90°，
∴HG===AF.
②4.
4.解：（1）EM=FN.
证明：∵四边形ABEF是矩形，
∴∠BAF=∠ABE=∠E=∠F=90°，AF=BE.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°.
∴∠ABE-∠ABC=∠BAF-∠BAC，
∴∠EBC=∠CAF.
∴△BME≌△ANF.
∴EM=FN.
（2）如解图，连接DN.
∵N是EF的中点，
∴EF=2FN=2EN.
∵四边形ADEF是矩形，
∴AD=EF.
∵AD=2DE，
∴2AF=2DE=2FN=2EN.
∴AF=DE=FN=EN.
∴∠FAN=∠ANF，∠NDE=∠DNE.
∵∠F=90°，
∴∠FAN=∠ANF=45°.
同理，得∠NDE=∠DNE=45°.
∴∠DNA=180°-∠ANF-∠DNE=90°.
∴∠DNC=180°-∠DNA=90°.
∵AD∥EF，
∴∠DAN=∠ANF，∠ADN=∠DNE=45°.
∴∠DAN=∠ADN.
∴NA=ND.
在Rt△NDC中，∠DNC=90°，tan C=.
∵∠C=60°，
∴=tan 60°=.
设CN=k，则AN=ND=k.
∵∠DAN=∠MNC=45°，∠C=∠C，
∴△CMN∽△CDA.
∴.
（3）.