江西省九江市都昌县2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份江西省九江市都昌县2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件( )
A. ∠BAC=∠BAD
B. AC=AD或BC=BD
C. AC=AD且BC=BD
D. 以上都不正确
3. 不等式组x-1>1x+8<4x-1的解集是( )
A. x>3B. x<3C. x<2D. x>2
4. 如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为( )
A. 28B. 18C. 10D. 7
5. 如图，一个含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，若BC的长为15cm，那么AA'的长为( )
A. 10 3cm
B. 15 3cm
C. 30 3cm
D. 30cm
6. 如图，已知正比例函数y1=ax与一次函数y2=12x+b的图象交于点P.下面有四个结论：①a<0； ②b<0； ③当x>0时，y1>0；④当x<-2时，y1>y2.其中正确的是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①④
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 已知点P(-2,3)关于原点的对称点为Q(a,b)，则a-b= ______ ．
8. m的6倍与4的差大于12，列不等式为______ ．
9. 以如图(1)(以O为圆心，半径为1的半圆)作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图(2)的有______(只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分)．
①只要向右平移1个单位；
②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；
③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位；
④绕着OB的中点旋转180°即可．
10. 如图，已知∠A=90°，AC=AB=8，CD=4，BD=12.则∠ACD=______度．
11. 定义：对于任意实数a，符号a：表示不大于a的最大整数，例如5.8：=5，7：=7，-1.4：=-2.根据此定义，如果a：=4，则a的取值范围是______．
12. 如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是______．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题6.0分)
解不等式：x+52-1<3x+22，并把它的解集在数轴上表示出来．
14. (本小题6.0分)
求不等式组x2-x3>-12(x-3)-3(x-2)>-4的非负整数解．
15. (本小题6.0分)
如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；
(2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．
16. (本小题6.0分)
如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD、BE，两线相交于点A，已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积．
17. (本小题6.0分)
如图，△ABD中∠BAD=90°，将△ABD逆时针旋转后得到△ACE，C点落在BD边上，∠E=20°，求∠BAC的度数．
18. (本小题8.0分)
一次智力测验，有20道选择题，评分标准为：对一题给5分，错一题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有一道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于70分？
19. (本小题8.0分)
不等式组x+5<5x+1x-m>1的解集是x>1，求m的取值范围．
20. (本小题8.0分)
如图：在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
(1)求证：△ADC≌△BEA；
(2)求∠PBQ的度数．
21. (本小题9.0分)
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
22. (本小题9.0分)
为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
(1)求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
(2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？
(3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
23. (本小题12.0分)
如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
答案和解析
1.答案：A
解析：解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2.答案：B
解析：解：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．
很据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，
还需补充一对直角边相等，
即AC=AD或BC=BD，
故选：B．
根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．
此题主要考查学生利用“HL”证明直角三角形全等这一知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题．
3.答案：A
解析：解：x-1>1 ①x+8<4x-1 ②，
解①得：x>2，
解②得：x>3，
则不等式的解集是：x>3．
故选：A．
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4.答案：D
解析：解：∵DE是BC的中垂线，
∴BE=EC，
则AB=EB+AE=CE+EA，
又∵△ACE的周长为11，
故AB=11-4=7，
直线DE上任意一点到A、C距离和最小为7．
故选：D．
利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质(垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等)有关知识．难度简单．
5.答案：C
解析：解：连接AA'．
∵△A'B'C是由△ABC按顺时针方向旋转得到的，
∴BC=B'C，AC=A'C；
又∵△ABC是含有一个30°角的直角三角形，
∴从图中知，∠BAC=30°，
∴AC=2BC，AB= 3BC；
而BC=15cm；
∴在Rt△ABA'中，
AB=15 3cm，A'B=BC+CA'=BC+AC=45cm，
∴AA'= AB2+BA'2=30 3cm．
故选：C．
连接AA'.构建Rt△ABA'；由旋转的性质可以推知BC=B'C，AC=A'C；根据图示知Rt△ABC中的∠A=30°，由30°所对的直角边是斜边的一半可以求得AC=30cm，由勾股定理可以求得
AB=15 3cm；最后在根据线段间的和差关系求得A'B=BC+CA'=BC+AC=45cm，根据勾股定理在Rt△ABA'中求得AA'的值即可．
本题综合考查了勾股定理、含30°角的直角三角形以及旋转的性质．在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键．
6.答案：D
解析：
分析：
此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
解答：
解：因为正比例函数y1=ax经过二、四象限，所以a<0，①正确；
一次函数y2=12x+b经过一、二、三象限，所以b>0，②错误；
由图象可得：当x>0时，y1<0，③错误；
当x<-2时，y1>y2，④正确；
故选：D．
7.答案：5
解析：解：点P(-2,3)关于原点的对称点为Q(a,b)，
则a=2，b=-3，
a-b=5，
故答案为：5．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
8.答案：6m-4>12
解析：解：根据题意得：6m-4>12．
故答案为：6m-4>12．
根据“m的6倍与4的差大于12”，即可列出关于m的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9.答案：②③④
解析：解：由图可知，图(1)先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，
或先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位，
或绕着OB的中点旋转180°即可得到图(2)．
故答案为：②③④．
根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可．
本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换是解题的关键．
10.答案：45
解析：解：∵∠A=90°，AC=AB=8，
∴BC= 82+82=8 2，
∵CD=4，BD=12，
∴CD2+BC2=16+128=144=BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠DCB=90°，
∵AC=AB，∠A=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACD=45°，
故答案为：45
根据勾股定理得出BC，再利用勾股定理的逆定理解答即可．
此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出BC的长．
11.答案：4≤a<5
解析：解：∵a：=4，
∴4≤a<5，
故答案为：4≤a<5．
根据新定义的信息进行解答即可．
本题主要考查新定义的运算，正确理解题中给出的信息是解题关键．
12.答案：5 2或4 5或5
解析：
分析：
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．
分情况讨论：①当AP=AE=5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE= 2AE=5 2即可；
②当P1E=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出等边AP1即可；
③当P2A=P2E时，底边AE=5；即可得出结论．
解答：
解：如图所示：

①当AP=AE=5时，
∵∠BAD=90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底边PE= 2AE=5 2；
②当P1E=AE=5时，
∵BE=AB-AE=8-5=3，∠B=90°，
∴P1B= P1E2-BE2=4，
∴底边AP1= AB2+P1B2= 82+42=4 5；
③当P2A=P2E时，底边AE=5；
综上所述：等腰三角形AEP的底边长为5 2或4 5或5；
故答案为：5 2或4 5或5．
13.答案：解：去分母，得x+5-2<3x+2，
移项，得x-3x<2+2-5，
合并同类项，得-2x<-1，
化系数为1，得x>12．
表示在数轴上为：

解析：先去分母，然后通过移项、合并同类项，化未知数系数为1进行计算．
本题考查了不等式的性质：
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
14.答案：解：x2-x3>-1①2(x-3)-3(x-2)>-4②，
∵解不等式①得：x>-6，
解不等式②得：x<4，
∴不等式组的解集是-6∴不等式组的非负整数解是0，1，2，3．
解析：先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
15.答案：解：(1)如图1中，△A'B'C'即为所求．
(2)如图2中，△AB'C'即为所求．

解析：(1)分别作出A，B，C的对应点A'，B'，C'即可．
(2)根据AB=2 5，BC= 5，AC=5，利用数形结合的思想解决问题即可．
本题考查作图-旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
16.答案：解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AD=2DE=2，
∴AC=AD+CD=4，
设BC=x，则AB=2x，
由勾股定理得，(2x)2-x2=16，
解得，x=4 33，即BC=4 33，
则Rt△ABC的面积=12×BC×AC=8 33．
解析：本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算即可．
17.答案：解：∵△ABD逆时针旋转后得到△ACE，C点落在BD边上，
∴AB=AC，∠D=∠E=20°，
∵∠BAD=90°，
∴∠B=90°-∠D=70°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=70°，
∴∠BAC=180°-70°-70°=40°，
即∠BAC的度数为40°．
解析：先根据旋转的性质得到AB=AC，∠D=∠E=20°，再利用互余计算出∠B=70°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
18.答案：解：设小明答对x道题，则小明答错(20-1-x)道题，
根据题意得：5x-2(20-1-x)≥70，
解得：x≥1537．
∵x为整数，
∴x≥16．
答：小明至少要答对16道题，总分才不会低于70分．
解析：设小明答对x道题，则小明答错(20-1-x)道题，根据总分=5×答对题目数-2×答错题目数，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其内最小的整数即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据总分=5×答对题目数-2×答错题目数，列出关于x的一元一次不等式是解题的关键．
19.答案：解：x+5<5x+1① x-m>1②，
解①得x>1，
解②得x>m+1，
∵不等式组的解集是x>1，
∴m+1≤1，
解得m≤0．
解析：首先解每个不等式，然后根据不等式组的解集是x>1，即可得到一个关于m的不等式，从而求解．
本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20.答案：(1)证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAE=60°，
在△ADC和△BEA中，
AC=AB∠C=∠BAECD=AE，
∴△ADC≌△BEA(SAS)；
(2)解：∵△ADC≌△BEA，
∴∠CAD=∠ABE，
∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°．
解析：(1)由在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，易得∠C=∠BAE=60°，则可利用SAS证得：△ADC≌△BEA；
(2)由全等三角形的对应角相等，即可得∠CAD=∠ABE，继而可得∠BPD=∠BAC=60°，又由BQ⊥AD，即可求得∠PBQ的度数．
此题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
21.答案：解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC= AB2-AC2= 52-32=4(cm)；
(2)由题意得：BP=t cm，分两种情况：
①当∠APB=90°时，如图1所示：
点P与点C重合，
∴BP=BC=4cm，
∴t=4；
②当∠BAP=90°时，如图2所示：
则CP=(t-4)cm，∠ACP=90°，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2=AC2+CP2，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2=BP2-AB2，
∴AC2+CP2=BP2-AB2，
即32+(t-4)2=t2-52，
解得：t=254；
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4s或254s.
解析：(1)由勾股定理求解即可；
(2)①由题意得：BP=t cm，分两种情况：①当∠APB=90°时，点P与点C重合，则BP=BC=4cm，得t=4；
②当∠BAP=90°时，CP=(t-4)cm，在Rt△ACP和Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2=AC2+CP2=BP2-AB2，即32+(t-4)2=t2-52，求解即可．
本题考查了勾股定理以及分类讨论；熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
22.答案：解：(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意得：
2a+b=35a+3b=30,
解得a=15b=5,
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；
(2)根据题意得：
955≤15x+5(120-x)≤1000，
解得35.5≤x≤40，
∵x是整数，
∴x=36，37，38，39，40．
∴有5种购买方案；
(3)W=15x+5(120-x)=10x+600，
∵10>0，
∴W随x的增大而增大，
当x=36时，W最小=10×36+600=960(元)，
∴120-36=84．
答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元．
解析：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出W关于x的一次函数关系式．
(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可；
(2)根据题意列不等式组解答即可；
(3)求出W与x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．
23.答案：解：(1)证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形；
(2)当α=150°时，△AOD是直角三角形．
理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，
∵∠α=150°，∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形；
(3)①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=180°-(190°-α+α-60°)=50°，
∴α-60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，
∠OAD=180°-(α-60°)2=120°-α2，
∴190°-α=120°-α2，
解得α=140°．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
解析：本题以“空间与图形”中的核心知识(如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等)为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法(如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等)，能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．
(1)根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；
(2)结合(1)的结论可作出判断；
(3)找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．