广东省揭阳实验中学2024年中考模拟数学试题(含答案)

这是一份广东省揭阳实验中学2024年中考模拟数学试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题一，解答题二，解答题三等内容，欢迎下载使用。
1.石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米＝0.000000001米）.与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料.0.3纳米用科学记数法可以表示为（ ）米
A.B.C.D.
2.下列运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
3.如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则的值为（ ）
A.0B.2C.D.20
4.某班35位同学课外阅读物的数量统计如下表所示，其中有两个数据被遮盖，下列关于课外阅读物的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）.
A.平均数，方差B.中位数，方差C.平均数，众数D.中位数，众数
5.如图，小明从点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点时，共走路程为（ ）
A.80米B.96米C.64米D.48米
6.已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A.8B.6或8C.7D.7或8
7.如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使，，三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A.B.C.D.4
8.数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学邻域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为，乙醇化学式为，丙醇化学式为，……，设碳原子的数目为（为正整数），则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示（ ）
A.B.C.D.
9.已知二次函数（）的图象与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上.二次函数（）中的自变量与函数值的部分对应值如下表：
下列结论：①抛物线的对称轴是直线；
②这个函数的最大值大于5；
③点的坐标是；
4当，时，，其中正确的是（ ）
（ ）
A.①④B.②④C.③④D.②③④
10.如图，菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接，则下列结论正确的有（ ）个.
①；②由点、、、构成的四边形是菱形；
③；④.
A.1B.2C.3D.4
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.若代数式有意义，则的取值范围为______.
12.如图，某飞机于空中处探测到目标，此时飞行高度，从飞机上看地平面指挥台的俯角，则飞机与指挥台的距离等于______.（结果保留整数）（参考数据，，）
13.已知关于、的方程组的解满足.则的取值范围是______.
14.如图，在矩形中，，以点为圆心，为半径的圆弧交于点，交的延长线于点，设.图中阴影部分的面积为______.
15.如图，在矩形中，点在边上，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，
连接.若，，，则______.
16.如图，为等边三角形，点为外的一点，，，则的面积为______.
三、解答题一（共20分）
17.（4分）分解因式：.
18.（4分）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，求八年级有多少个班级.
19.（6分）如图，在平面直角坐标系中，，，.
（1）以点为旋转中心，把逆时针旋转90°，画出旋转后的图形；
（2）若与关于点位似，且位似比为1:2，直接写出坐标______.
20.（6分）“英雄花开英雄城”2024广州传承弘扬红色文化系列活动正如火如荼地开展.某社区组织了形式多样的学雷锋志愿服务活动，活动现场设置义诊、科普宣传、普法宣传、消防宣传、交通宣传等多个便民服务摊位，吸引了众多市民前来参与活动.其中，前来参与义诊活动的100位市民的年龄整理可得如下的频数分布表：
（1）参与义诊活动的市民平均年龄为______岁；
（2）某医院安排了4名医生前来为市民提供义诊，现要从这4名医生（其中3名女医生，1名男医生）中随机抽调2人到附近养老院为老人义诊，用树状图或列表的方法求抽取的两名医生恰好都是女医生的概率.
四、解答题二（共28分）
21.（8分）已知是方程组的解.
（1）求的值；
（2）若已知一个三角形的一条边长为4，它的另外两条边的长是方程的解，试判断这个三角形的形状并说明理由.
22.（10分）【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口.为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短.某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动
图1
任务一 实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，.小组成员又借助电子角度仪测得，.
图2 图3
任务二 数学计算
根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算：
（1）求道路的长；（2）道路______米；
①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路，；
②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为______米.（保留根号）
23.（10分）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为
图1
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为.由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标.
如图2，反比例函数（）的图象与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______.
图2
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空.
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由.
【问题延伸】
（3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数.发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当直线与反比例函数（）的图象有唯一交点时，求出的值，并求出这个交点的坐标.
五、解答题三（每小题12分，共24分）
24.如图1，是的直径，是上一点，于，是延长线上一点，连接，，是线段上一点，连接并延长交于点.
图1 图2
（1）求证：是的切线；
（2）若，求证：；
（3）如图2，若，，点是的中点，与交于点，连接.请猜想，，的数量关系，并证明.
25.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点
图1 图2
（1）求直线的解析式；
（2）过点作交抛物线于，连接，，，，记四边形的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标和的最大值；
（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点，为平移后的抛物线的对称轴直线上一动点，将线段沿直线平移，平移后的线段记为（线段始终在直线左侧），是否存在以，，为顶点的等腰直角？若存在，请写出满足要求的所有点的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由.
2024年中考数学科模拟试卷
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. D 2. C 3. A 4. D 5. C 6. D 7. A 8. C 9. B 10. D
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.且 12. 13. 14. 15.2 16.
三、解答题一（共20分）
17.
18.解：设八年级有个班，
解得，（舍），
则八年级有6个班，
19.（1）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点，即可；
（2）或
（1）解：如图，即为所求；
20.（1）解：参与义诊活动的市民平均年龄为岁，
故答案为：43
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种情况，其中两名医生恰好都是女医生的情况有6种，
即抽取的两名医生恰好都是女医生的概率为.
21.（1）；（2）该三角形是直角三角形.理由见解析.
【分析】（1）将与的值代入原方程组即可求出、的值；
（2）将（1）中求得、值代入，列出方程，利用因式分解法求得该方程的两根.然后判断该三角形的形状.
【详解】解：（1）把代入方程组，
得，
解得：.
所以；
（2）该三角形是直角三角形.理由如下：
由（1）知，，则，.
由题意知，.
整理，得.
解得，，
所以该三角形的三边长分别是3，4，5.
因为.
所以该三角形是直角三角形.
22.（1）根据平行线的性质和已知条件得出，进而根据等角对等边，即可求解；
（2）勾股定理的逆定理证明，勾股定理求得，证明，，进而根据等面积法，即可求解.
（3）①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得，的交点到，，，的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点；
②先证明，根据①的结论可得，勾股定理，即可求解.
【详解】（1）解：，
.
，
.
，
故道路的长为25米；
（2）解：，，，
，
又
在中，
，
，，
故答案为：48；
（3）①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得，的交点到，，，的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点，如图所示：
②解：，
在上，即的垂直平分线上，
，
又，，
，
故答案为：.
23.（1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为；
（2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出；
（3）平移直线通过，将点代入，解得.
解：（1）将反比例函数与直线：联立得
，
，
，
，，
另一个交点坐标为，
为，为，
，.
故答案为：；4；2；
（2）不能围出；
的图象，如答案图中所示：
与函数图象没有交点，
不能围出面积为的矩形.
（3）令，
整理得，，
一次函数与反比例函数的图象有唯一交点，
，
，
.
解方程，得，
，
即一次函数与反比例函数的图象有唯一交点时，的值为8，此时交点坐标为.
24.（1）连接，先由证明，再由，可证得，即可证明；
（2）先证得，，说明，利用相似三角形的性质推得，再由，，判定，利用相似三角形的性质推得，从而可得结论；
（3）结论：.连接、，先证得，，从而，由相似三角形的性质推得，再设，则，从而，结合，可得，进而推得，然后运用勾股定理证即可得到结论.
【详解】解：（1）证明：连接，如图所示：
图1
，
，
，
，
又，
，即，
是的切线；
（2）证明：是的直径，
，
，
又，，
，
，，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，
；
（3）.理由如下：
如图，连接、，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
，，
，，
设，
则，
，
又，
，
，
，
即，
，
在中，，
.
25.（1）；（2）的最大值为，此时，点的坐标为；存在点，，，使得以，，为顶点的等腰直角.
【分析】（1）令二次函数，，求出、、的坐标，再求直线的解析式；
（2）不能用常规的底和高，借助切割法求面积，再求出最大面积差和点的坐标；
（3）等腰直角三角形可以利用“两圆一中垂”确定所有的情况，利用“型全等”求出对应的点的坐标.
【详解】解：（1）对抛物线，
当时，，
，
当时，，
解得：，，
，，
设直线的解析式为：（），
把点，代入得：，解得：.
直线的解析式为：；
（2），直线的解析式为：.
设的解析式为，，
把点代入得：，
解得：，
的解析式为：
由解得：，，
，
直线的解析式为：，
当时，，解得：，
记直线与轴交于点，则：，，
过点作交于点，设，
，
.
，
，
，
当时，的最大值为，此时，点P的坐标为；
（3），
抛物线的对称轴为：直线，
抛物线向右平移后经过点，即：抛物线向右平移1个单位，
直线为：，
（ⅰ）当等腰三角形以，时，如图，过点作于点，过点作于点，
，，
，
又，，
，
，，
，设点，，
，，，
，
解得：，
，，
；
（ⅱ）当等腰三角形以，时，如图，过点作于点，过点作于点，
同（ⅰ）理可证：，
设点，，
，，
，
，
，
；
（ⅲ）当等腰三角形以，时，如图，过点作于点，过点作于点，
同（i）理可证：，
设点，
，，，
，
解得：，
，，
，
综上所述：存在点，，，使得以，，为顶点的等腰直角.
课外阅读物的数量
2
3
4
5
6
7
8
人数
■
■
9
7
9
3
2
…
0
1
3
…
…
2
5
5
…
年龄分组/岁
频数
15
25
40
20
道路
长度（米）
40
30
30
18
32
25