2024年湖南省初中学业水平考试数学模拟试卷

这是一份2024年湖南省初中学业水平考试数学模拟试卷，共10页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）
1．（本题3.0分）下列运算结果正确的是
A．B．
C．D．
2．（本题3.0分）已知，，，下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．， D．，
3．（本题3.0分）如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是先把向右平移3个单位长度得到再把绕点顺时针旋转得到则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．（本题3.0分）已知，是二元一次方程的解，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（本题3.0分）下列是人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．（本题3.0分）在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，A点坐标为，线段绕原点逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．（本题3.0分）下列二次根式，被开方数中各因式的指数都为1的是 （ ）
A．B．C．D．
8．（本题3.0分）如图，在菱形中，，为菱形的对角线，，，点为中点，则的长为
A．10B．5C．D．2.5
9．（本题3.0分）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
10．（本题3.0分）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11．（本题3.0分）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的值为 ．

12．（本题3.0分）不等式组 的解集是 ．
13．（本题3.0分）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为 ．
14．（本题3.0分）如图，菱形的顶点的坐标为顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点B，则的值为 ．
15．（本题3.0分）如图，半径为2的过正五边形的顶点C、D，与边、分别相切于点M、N，则劣弧的长度为 ．
16．（本题3.0分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高为 ．
17．（本题3.0分）计算的结果是 ．
18．（本题3.0分）一个玻璃球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．已知每块地砖的大小、质地完全相同，则该玻璃球停留在白色区域的概率是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
19．（本题8.0分）计算：．
20．（本题8.0分）洛邑古城，被誉为“中原渡口”，截止目前景区总接待游客量突破2600万人次，日接待游客量最高突破10万人次．是集游、玩、吃、住、购于一体的综合性人文旅游观光区，近期被大数据评为“第一热门汉服打卡地”．洛邑古城内某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．若该商铺采购9件A种和6件B种共需330元；若采购5件A种和3件B种共需175元．两种饰品的售价均为每件30元；
(1)求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
(2)该商铺计划采购这两种饰品共400件进行销售，其中A种饰品的数量不少于150件，且不大于300件．实际销售时，若A种饰品的数量超过250件时，则超出部分每件降价3元销售．
①求该商铺售完这两种饰品获得的利润y(元)与购进A种饰品的数量x(件)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
21．（本题8.0分）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接．
(1)求证：；
(2)当满足什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论．
22．（本题8.0分）现有一张边长为的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片，如图（1）．将两张小正方形卡片放在大正方形卡片内，如图（2）．将三张小正方形卡片放在大正方形卡片内，如图（3）．
（1）请用含有，的代数式分别表示图（2），图（3）中阴影部分的面积；
（2）已知图（3）中的阴影部分的面积比图（2）中的阴影部分的面积大，求小正方形卡片的面积．
23．（本题8.0分）如图是汽车前轮的截面示意图，已知轮胎的半径为，轮胎的最高点比汽车底盘高，轮胎与地面接触的长度．
（1）求汽车底盘到地面的距离．
（2）现计划在处加装挡泥板．当车辆行驶时，泥沙会从点处沿切线向后甩出．若轮胎中心到的距离是，求挡泥板至少要多长才能挡住泥沙．
24．（本题8.0分）如图，菱形的边在x轴正半轴上，点A的坐标，反比例函数的图象经过的中点D．
(1)求k的值；
(2)的垂直平分线交反比例函数的图象于点E，连接、，求的面积．
25．（本题8.0分）如图，在中，，，是边上一点，，点分别在边上，且．
(1)如图，若，则______；
(2)如图，若，则线段之间的数量关系：______；
(3)请你通过类比、猜想、归纳，写出之间数量关系的一般结论：______．
26．（本题10.0分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴正半轴于，且的面积为56．点为线段的中点，点为轴上一动点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）求点的坐标及直线的表达式；
（2）在点运动的过程中，若的面积为5，求此时点的坐标；
（3）设点的坐标为；
①用表示点的坐标；
②在点运动的过程中，若始终在的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】解：A、，该选项错误，不合题意；B、，该选项错误，不合题意；C、，该选项错误，不合题意；D、，该选项正确，符合题意；故此题答案为D．
2．【答案】C
【分析】先把变形为，然后代入即可确定，然后根据即可判断．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故此题答案为C．
3．【答案】C
【分析】根据平移变换，旋转变换的性质画出图像即可解决问题．
【详解】解：如图所示：
观察图像可知：
故此题答案为C．
4．【答案】D
【分析】解一元一次方程．先把代入求出a的值，然后得出此点的坐标，即可得出结果．
【详解】解：∵是二元一次方程的解，
∴，解得：，
∴此点的坐标为：，
即此点坐标为，
∴此点在第二象限，故B正确．
故此题答案为B．
5．【答案】D
【分析】寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答
【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
故此题答案为D．
6．【答案】A
【分析】过点A作轴于点B，过点作轴于点C，根据旋转的性质可证，根据全等三角形的性质可得和的长，即可确定点坐标．
【详解】解：过点A作轴于点B，过点作轴于点C，如图所示，
则，
∵A点坐标为，
∴，
根据旋转的性质，，
∴．
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴点坐标为，
故此题答案为A．
7．【答案】B
【分析】根据二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、因为，4的指数不是1，故本选项不符合题意；
B、被开方数的指数为1，故本选项符合题意；
C、的指数为2，故本选项不符合题意；
D、的指数为5，故本选项不符合题意；
故此题答案为B．
8．【答案】B
【详解】解：四边形是菱形，，，，是等边三角形，，，点为的中点，，故此题答案为B．
9．【答案】A
【分析】根据二次函数的图象得出，，，，从而得出，即可判断一次函数图象所经过的象限，由当时，，即可判断反比例函数的图象所经过的象限
【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，抛物线对称轴在轴右侧，交轴于负半轴，与轴有个交点，
，，，，
，
，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
在抛物线中，当时，，
反比例函数经过第一、三象限，
故此题答案为A．
10．【答案】B
【分析】从正面看得到的图形是主视图．根据三视图的定义，得到从几何体正面看得到的平面图形即可．
【详解】解：从正面看，底层左侧是两个小正方形，右侧有一个小矩形，只有B选项符合题意，
故此题答案为B．
11．【答案】
【分析】由，， 得，根据将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处，可得，当为“准直角三角形”时，或，可解得或， 当时， 即， 可得，，， 故不是“准直角三角形”； 当时，即， 可得，， 是“准直角三角形”，即可得到答案
【详解】∵，，
∴，
∵将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处，
∴，
当为“准直角三角形”时，
∴或，
解得或，
当时， 即，
∴，
∴，
∴，
此时，，
故不是“准直角三角形”；
当时，即，
∴，
∴，
∴，
此时，
∴是“准直角三角形”，
综上所述，能使和同时成为“准直角三角形”的值为
12．【答案】－1＜x≤2
【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再求出它们公共部分的解集即可．
【详解】解：，
解①得：x≤2，
解②得：x＞－1，
∴该不等式组的解集为－1＜x≤2，
13．【答案】
【详解】连结OC、AC，
根据题意可得△OAC为等边三角形，可得扇形AOC和扇形OAC的面积相等，
因OA=2,可求得△AOC的面积为，
所以阴影部分面积为：扇形BOC的面积-（扇形OAC的面积-△AOC的面积）=.
14．【答案】
【分析】由菱形的顶点的坐标为，可求得，继而求得点的坐标，然后由待定系数法即可求得的值
【详解】解：∵点的坐标为顶点在轴的正半轴上，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象经过顶点B，
∴
15．【答案】
【分析】连接，，首先根据切线的性质和正五边形的性质求得圆心角的度数，然后利用弧长公式进行计算．
【详解】解：如图：连接，，
∵半径为2的过正五边形的顶点C、D，与边、分别相切于点M、N，
∴，，，
∴，
∵半径为2，
∴劣弧的长度为：
16．【答案】
【分析】由等腰三角形的性质可知，再利用三角函数的定义可得，最后利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】，，
，
在中，，
，
，
，
解得
17．【答案】
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
【详解】解：原式
18．【答案】/
【分析】用白色区域的面积整个图形的面积即可求解．
【详解】解：如图，设每个小正方形的边长为1，
整个图形的面积，
白色区域的面积，
玻璃球停留在白色区域的概率为
19．【答案】
【分析】根据分数指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质以及分母有理化的方法分别进行计算，即可得出答案．
【详解】解：
．
20．【答案】(1)A 饰品的进价为20元/件，B饰品的进价为25元/件
(2)①；②购进A饰品的数量300件，购进B饰品的数量100件时，获利最大，最大利润为3350元
【分析】（1）设A 饰品每件的进价为a元，B饰品每件的进价为b元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）①由购进A饰品的数量为x件，得购进B饰品的数量为件，再分当时和当时两种情况，根据总利润的计算公式求出总利润即可；
②根据两种情况下的解析式分别求出最大值，再比较即可．
【详解】（1）解：设A 饰品每件的进价为a元，B饰品每件的进价为b元，
由题意列方程组为： ，
解得
答：A 饰品的进价为20元/件，B饰品的进价为25元/件；
（2）①购进A饰品的数量为x件，则购进B饰品的数量为件，
∴当时，；
当时，，
综上所述：这两种饰品获得的利润y(元)与购进A种饰品的数量x(件)之间的函数关系式是；
②当时，
∴当时，y取最大值，此时(元)．
当时， ，
当时y取最大值，此时，
∵，
∴当，即购进A饰品的数量为件，则购进B饰品的数量为件时，y取最大值元．
21．【答案】(1)见解析；
(2)时，四边形是矩形，证明见解析．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，推出，即可证明；
（2）求出，由全等三角形的性质可得，证明，得出四边形是平行四边形，求出，即可得证．
【详解】（1）证明：和为等腰直角三角形，
，，
，，
；
（2）解：当时，四边形是矩形，证明如下：
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
22．【答案】（1）图（2），图（3）；（2）5．
【详解】（1）解：图（2）中阴影部分的面积为，图（3）中的阴影部分可拼成一个正方形，且边长为，故面积为；
（2）由（1）知，题图（2）题图（3）中阴影部分的面积分别为，，根据题意，得，，故小正方形卡片的面积是5．
23．【答案】（1）汽车底盘到地面的距离为；（2）挡泥板至少要才能挡住泥沙．
【详解】解：（1）如图，连接并延长交于点，则，，连接，则，汽车底盘到地面的距离为，答：汽车底盘到地面的距离为；
（2）如图，过点作地面于点，过点作的切线交于点，则，的长即为长的最小值，，又，，又，，，到的距离是，，即，，，答：挡泥板至少要才能挡住泥沙．
24．【答案】(1)13
(2)
【分析】（1）先求出的长度，也就是菱形的边长，从而求出点的坐标，再用中点公式求出点D的坐标，从而得解；
（2）根据点的坐标求出点E的横坐标，继而求出点E的坐标，再利用割补法求面积即可．
【详解】（1）解：∵A点坐标
∴
∵四边形是菱形
∴，

∴；
（2）∵，
∴反比例函数解析式是
∵E在AB的垂直平分线上，A，，
E点横坐标为
把 优人 得：

过A作⊥ x轴于 H，的垂直平分线交x轴于 F，则
．
25．【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）由“”可证，可得，即可求解；
（）先证和是等腰直角三角形，可得，，，，，再证，设，，通过证明，可求，即可求解；
（）先证和是等腰直角三角形，可得，，，，，再证，设，，通过证明，可求，即可求解．
【详解】（1）连接，
∵，，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）过点作于，于，
∵，，
∴，
∵，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，，，，
∴，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
（3）如图，过点作于，于，
∵，，
∴，
∵，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，，，，
∴，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
26．【答案】（1），；（2）或；（3）①；②．
【详解】解：（1）令，则，，令，则，，点为线段的中点，，的面积为56，，，，设直线的表达式为，，，；
（2）设，线段绕着点逆时针旋转得到线段，，，的面积为5，，，，或，或；
（3）①如图1，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，，，，，，，，，，点纵坐标，横坐标，；
②如图2，当点在轴上时，轴，此时，；当在直线上时，此时，；时，始终在的内部（包括边界）．