2025高考数学一轮课时作业第九章概率与统计9.9正态分布（附解析）

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1. 当 取三个不同值，，时，正态密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是 （ A ）
A. B. C. D.
解：根据正态密度曲线的特征,易知.故选.
2. 某校有1 000人参加模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为 （ C ）
A. 150B. 200C. 300D. 400
解：根据正态曲线的对称性,可知此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数占总人数的.故该分数段的人数约为.故选.
3. 设随机变量，若，则（ B ）
A. B. C. D. 2
解： 因为，所以由正态分布性质可得.故选.
4. 某工厂生产的零件外径（单位：） 服从正态分布，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外径分别为和，则可认为（ B ）
A. 上午生产情况异常，下午生产情况正常
B. 上午生产情况正常，下午生产情况异常
C. 上、下午生产情况均正常
D. 上、下午生产情况均异常
解：因为零件外径，
所以根据 原则，在 与 之外时为异常.
因为,，
所以上午生产情况正常，下午生产情况异常.故选.
5. 如图是正态分布的正态曲线图，不能表示图中阴影部分面积的式子是（ B ）
A. B.
C. D.
解：因为正态分布曲线的对称轴为，，在 轴左右两侧面积各占，，所以,,均可以表示图中阴影部分的面积．故选.
6. 某校面向全校师生开展了一次问卷调查，得到参与问卷调查中2 000人的得分数据.据统计,此次问卷调查的得分，调查问卷卷面满分100分，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（若，则，）（ A ）
A. 该校学生问卷调查成绩的及格率超过
B. 该校学生问卷调查成绩的优秀率超过
C. 该校学生问卷调查成绩的及格率超过
D. 该校学生问卷调查成绩的优秀率超过
解：由题意，,.对于，，该校学生问卷调查成绩的及格率为，则 正确，错误.对于，，该校学生问卷调查成绩的优秀率为，则，错误.故选.
7. [2022年新课标Ⅱ卷]已知随机变量，且，则0.14.
解：因为，所以 因此.故填0.14.
8. 在某市高中数学竞赛中，某一个区4 000名考生的参赛成绩统计如图所示.
（1） 求这4 000名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点值作代表）；
解：由题意,知
所以.
所以这4 000名考生的竞赛平均成绩 为70.5分.
（2） 由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中 ,分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4 000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？
附：,.
，则,.
[答案]
依题意 服从正态分布，其中，,,所以.
而，
所以.
所以竞赛成绩超过84.81分的人数估计为（人）.
【综合运用】
9. 已知随机变量,，，且，则（ D ）
A. B. C. D.
解：因为，所以.
因为，，所以.
因为，所以.解得.
故选.
10. 【多选题】已知某果园的每棵果树生长的果实个数为，且，小于70的概率为，从该果园随机选取10棵果树，其中果实个数在的果树棵数记作随机变量，则下列说法正确的是（ AD ）
A. B.
C. D.
解：因为，所以.
所以.
所以，故 正确.
由题意，可知，所以，故 错误.
因为，所以,，故 错误，正确.
故选.
11. 已知随机变量，且，则的最小值为8.
解：由随机变量，且，知,关于 对称.故.
则，当且仅当 时，等号成立.所以 的最小值为8.
故填8.
12. 每年4月15日为全民国家安全教育日，某地教育部门组织大学生“国家安全”知识竞赛.已知当地只有甲、乙两所大学，且两校学生人数相等，甲大学学生的竞赛成绩，乙大学学生的竞赛成绩.
（1） 从甲大学中随机抽取5名学生，每名学生的竞赛成绩相互独立，设其中竞赛成绩在内的学生人数为，求的数学期望（结果保留3位有效数字）.
解：.根据题意,知，故.
（2） 从两所大学所有学生中随机抽取1人，求该学生竞赛成绩在内的概率（结果保留3位有效数字）.
附：若随机变量，则.
[答案]因为两所大学的学生人数相等，所以随机抽取1名学生，该学生来自两所大学的概率均为.设该学生竞赛成绩为，则.
【拓广探索】
13. 【多选题】杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了坐公交车用时（单位：）和骑自行车用时（单位：），经数据分析,得到，，则（ BC ）
A.
B.
C. 若某天只有可用，杨明应选择坐公交车
D. 若某天只有可用，杨明应选择坐公交车
解：由，知,.由，知,.
对于，，错误.
对于，，正确.
对于，，则杨明应选择坐公交车，正确.
对于，，则杨明应选择骑自行车，错误.故选.中间值
45
55
65
75
85
95
概率
0.1
0.15
0.2
0.3
0.15
0.1