2025高考数学一轮课时作业第九章概率与统计9.5随机事件与概率（附解析）

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1. 已知随机事件和互斥，且，，则等于 （ A ）
A. 0.5B. 0.1C. 0.7D. 0.8
解：因为 和 互斥，且，，所以.所以.故选.
2. 某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表.
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，不正确的是（ D ）
A. B. C. D.
解：依题意，，，显然事件，互斥..事件，互斥，则，故，，正确，不正确.故选.
3. [2023年全国甲卷]某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ D ）
A. B. C. D.
解：基本事件总数.这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数.故所求概率为.故选.
4. [2022年全国甲卷]从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ C ）
A. B. C. D.
解：从6张卡片中无放回抽取2张，共有（种）情况，其中数字之积为4的倍数的有,,,,,,共6种情况.故所求概率为.故选.
5. 有5个形状大小相同的球，其中3个红球、2个蓝球，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是（ C ）
A. “恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球“是互斥事件
B. “恰好没取到红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件但不对立事件
C. “至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率
D. “同时取到两个红球”的概率为，即重复进行10次这样的取球试验，一定会有3次同时取到两个红球
解：对于，“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”能同时发生,不是互斥事件，故 错误.
对于，“恰好没取到红球”即“取到2个蓝球”，与“至多取到1个蓝球”是对立事件，故 错误.
对于，“至少取到1个红球”的概率，“至少取到1个蓝球”的概率.
，故 正确.
对于，由概率的意义，可知“同时取到两个红球”的概率为，即重复进行10次这样的取球试验，可能会有3次同时取到两个红球，而不是一定，故 错误.故选.
6. 【多选题】将A，B，C，D这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则 （ BCD ）
A. 甲得到A卡片与乙得到A卡片为对立事件
B. 甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件
C. 甲得到A卡片的概率为
D. 甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为
解：甲得到 卡片与乙得到 卡片不可能同时发生，但可能同时不发生，所以甲得到 卡片与乙得到 卡片为互斥但不对立事件，故 不正确，正确.
甲得到 卡片的概率为，故 正确.
甲、乙2人中有人得到 卡片的概率为，故 正确.故选.
7. 已知是2,3,4,5,6,7,8,9的第70百分位数，在2,3,4,5,6,7,8,9中随机取两个数，这两个数一个比大，另一个比小的概率为 .
解：，所以第70百分位数为第6个数，即7.随机取两个不同的数共有 种结果.一个小于7、一个大于7,共有 种结果.故所求概率.故填.
8. 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
（1） 若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
解：设事件 表示“赔付金额为3 000元”，事件 表示“赔付金额为4 000元”.以频率估计概率，得，.由表格，知赔付金额大于投保金额即事件 发生，且,互斥.所以.故赔付金额大于投保金额的概率为0.27.
（2） 在样本车辆中，车主是新司机的占，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.
[答案]设事件 表示“投保车辆中新司机获赔4 000元”.由已知，样本车辆中车主为新司机的有（辆），而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有（辆）.所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为.因此，由频率估计概率,得.
【综合运用】
9. 古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数（不包括本身的因数）之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”.已知220和284，和,和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为 （ C ）
A. B. C. D.
解：由题意，得一共有 种分组方法.若要满足220和284在同一组，则分两种情况讨论：和284在2个数这一组中，有 种分组方法;和284在4个数这一组中，有 种分组方法.故所求概率.故选.
10. [2022年全国甲卷]从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 .
解：从正方体的8个顶点中任取4个，有（个）结果，这4个点在同一个平面的有（个）.故所求概率.故填.
11. 现有小赵、小钱、小孙、小李、小刘5人去北京、上海、广州三地参加研讨会，每人只能去一个城市，每个城市至少去一人，则小赵不去北京的概率为 .
解：①若三地分配人数分别为1，1，3，共有（种）安排方法，其中小赵去北京的安排方法有（种）.
②若三地分配人数分别为1，2，2，共有（种）安排方法,其中小赵去北京的安排方法有（种）.故所求概率为.故填.
12. 某盒中装有产品10个，其中有7个正品，3个次品.
（1） 从中不放回地依次抽取3个产品，求取到的次品数比正品数多的概率；
解：取到3个次品的概率,取到2个次品、1个正品的概率.故所求概率.
（2） 从中任取一个产品，若取出的是次品不放回，再取一个产品，直到取得正品为止，求在取得正品之前已取出的次品数的分布列和数学期望.
[答案]
由题意,可得 的所有可能取值为0，1，2，3.
,,
,.
的分布列为
故.
【拓广探索】
13. 人的眼皮单双是由遗传决定的，其中显性基因记作B，隐性基因记作，成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是，或”）.人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的，分别用D，表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现了显性基因D，就一定是卷舌的.生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰.若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为 （ B ）
A. B. C. D.
解：由题意，知样本点总数.“他们的孩子是单眼皮且卷舌”包含的样本点有3个，分别为，，.故所求概率为.故选.投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
赔付金额/元
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数/辆
500
130
100
150
120

0
1
2
3