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2025高考数学一轮课时作业第九章概率与统计9.2成对数据的统计分析（附解析）
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这是一份2025高考数学一轮课时作业第九章概率与统计9.2成对数据的统计分析（附解析），共9页。
1. 下列说法中错误的是（ A ）
A. 相关关系是一种确定性关系
B. 变量间的样本线性相关系数的取值范围为
C. 变量间的样本线性相关系数的绝对值越近接0，则变量间的线性相关程度越低
D. 样本相关系数与经验回归直线的斜率始终同号
解：对于，在回归分析中，变量间的相关关系非函数关系，是一种不确定的关系，错误.
对于，相关系数 满足，正确.
对于，根据相关系数的性质,知,且 越接近1，相关程度越大；越接近0，相关程度越小，正确.
对于，由 与 的计算公式,知相关系数 与 始终同号，正确.故选.
2. [2023年天津卷]调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中样本相关系数，下列说法正确的是 （ C ）
A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性
B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是
解：根据散点的集中程度，可知花瓣长度和花萼长度有相关性，错误.
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，错误，正确.
由于 是全部数据的样本相关系数，所以取出来一部分数据，相关性可能会发生变化，即取出的数据的样本相关系数不一定是，错误.
故选.
3. 设某大学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组成对样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列结论中不正确的是（ D ）
A. 与具有正的线性相关关系
B. 经验回归直线过成对样本数据的中心
C. 若该大学某女生身高增加，则其体重约增加
D. 若该大学某女生身高为，则可断定其体重必为
解：根据 关于 的经验回归方程，其中，说明与具有正的线性相关关系，故正确.
经验回归直线过成对样本数据的中心，故正确.
由经验回归方程，知若该大学某女生身高增加，则其体重约增加，那么，若该大学某女生身高增加，则其体重约增加，故正确.
若该大学某女生身高为，则可预测其体重约为，不可断定其体重必为，故错误.
故选.
4. 某医疗研究所为了检查新研发的疫苗对某种病毒的预防作用，把1 000只已注射疫苗的小白鼠与另外1 000只未注射疫苗的小白鼠的感染记录作比较，提出原假设“这种疫苗不能起到预防该病毒传染的作用.”并计算得，则下列说法正确的是（ C ）
A. 这种疫苗对预防该病毒传染的有效率为
B. 若某人未使用疫苗，则他有的可能性感染该病毒
C. 有的把握认为“这种疫苗能起到预防该病毒传染的作用”
D. 有的把握认为“这种疫苗能起到预防该病毒传染的作用”
解：，说明假设不合理的程度为，即这种疫苗不能起到预防病毒传染的作用不合理的程度约为，所以有 的把握认为这种疫苗能起到预防病毒传染的作用.故选.
5. 有一散点图如图所示，在5组成对样本数据中去掉后，下列说法正确的是（ A ）
A. 残差平方和变小
B. 样本相关系数变小
C. 决定系数变小
D. 解释变量与响应变量的线性相关程度变弱
解：由散点图分析，可知只有点 偏离较大，去掉点，解释变量 与响应变量 的线性相关程度变强，样本相关系数 变大，决定系数 变大，残差平方和变小 正确，，，错误.故选.
6. 【多选题】为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则（ ABD ）
A. 参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B. 从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为
C. 依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1
D. 假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05
解：对于，由题意,知经常锻炼的人数是不经常锻炼的人数的2倍，故经常锻炼的人数为200人，不经常锻炼的人数为100人.男生中经常锻炼的人数为（人），不经常锻炼的人数为（人）.男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，正确.
对于，女生中经常锻炼的人数为（人），不经常锻炼的人数为（人），则概率为，正确.
对于，由题意，结合男生、女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得如下列联表.
则 故依据 的独立性检验，不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，错误.
对于，由题意，将选项 列联表中的数据变为原来的2倍，则.故依据 的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过，正确.
故选.
7. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为0.8.
解：由题意，可知，.将 代入，即，解得，所以.当时，，所以该数据的残差为.故填0.8.
8. [2021年全国甲卷]甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1） 甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
解：甲机床生产的产品中的一级品的频率为，
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
（2） 依据小概率值的独立性检验，分析甲机床的产品质量与乙机床的产品质量是否有差异.
附：.
[答案]
零假设为 甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异.
.故依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异,此推断犯错误的概率不大于0.01.
【综合运用】
9. 建筑地基沉降预测对于保证施工安全、实现信息化监控有着重要意义.某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势，并用决定系数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果.决定系数越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越好.依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（ C ）
A. B.
C. D.
解：决定系数越接近于1，拟合效果越好，比较决定系数，知可选，.由误差平方和及均方根值都越小，拟合效果越好，知 的拟合效果最好.故选.
10. 【多选题】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶水温度随时间变化的回归模型，小明每隔测量一次茶水温度，得到若干组数据，， ，（其中，），绘制了如下所示的散点图.小明选择了如下两个经验回归模型来拟合茶水温度随时间的变化情况.模型一：.模型二：.下列说法正确的是 （ AB ）
A. 茶水温度与时间负相关
B. 由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况
C. 若选择模型二，则利用最小二乘法求得的图象一定经过点
D. 当时，通过模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为，则残差为
解：由散点图，知随时间增加，温度逐渐降低，且变化趋势趋于平缓.故为负相关且模型二拟合更好，故,正确.
根据非线性回归模型的拟合方法，令，则，此时拟合为线性经验回归方程.对应的经验回归直线过点，原曲线不一定经过，故 错误.
残差为真实值减估计值，即为，故 错误.故选.
11. 已知某个样本点中的变量，线性相关，样本相关系数，则在以为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数点都落在第二、四象限.
解：由，得.所以大多数 与 异号.又 为坐标原点，所以大多数点都落在第二、四象限.故填二、四.
12. 某省为做好刺梨产业的高质量发展，项目组统计了全省近5年刺梨产业综合总产值（单位：亿元）的各项数据如下：
（1） 根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用样本相关系数加以说明（精确到）；
解：由题设,得，，，所以，两个变量有强相关性.故可用一元线性回归模型刻画变量 与变量 之间的线性相关关系.
（2） 求出关于的经验回归方程，并预测2024年底该省刺梨产业的综合总产值.
附：样本相关系数，经验回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,.
,,,,,.
[答案]
由（1），得，，
所以.
当时，.
故预测2024年底该省刺梨产业的综合总产值为175.64亿元.
【拓广探索】
13. 足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性人数的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的,女性喜爱足球的人数占女性人数的.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有 （ C ）
A. 10人B. 11人C. 12人D. 13人
解：设被调查的男性为 人,则女性为 人.依题意，得列联表如下.
则.
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,所以有,即,解得.
因为上述列联表中的所有数字均为整数,所以的最小值为12.
故选.性别
锻炼的经常性
合计
经常
不经常
男
100
60
160
女
100
40
140
合计
200
100
300
色差
21
23
25
27
色度
15
18
19
20
机床
等级
合计
一级品
二级品
甲
150
50
200
乙
120
80
200
合计
270
130
400
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
综合总产值
23.1
37.0
62.1
111.6
150.8
性别
足球
合计
喜爱
不喜爱
男性
女性
合计
1. 下列说法中错误的是（ A ）
A. 相关关系是一种确定性关系
B. 变量间的样本线性相关系数的取值范围为
C. 变量间的样本线性相关系数的绝对值越近接0，则变量间的线性相关程度越低
D. 样本相关系数与经验回归直线的斜率始终同号
解：对于，在回归分析中，变量间的相关关系非函数关系，是一种不确定的关系，错误.
对于，相关系数 满足，正确.
对于，根据相关系数的性质,知,且 越接近1，相关程度越大；越接近0，相关程度越小，正确.
对于，由 与 的计算公式,知相关系数 与 始终同号，正确.故选.
2. [2023年天津卷]调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中样本相关系数，下列说法正确的是 （ C ）
A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性
B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是
解：根据散点的集中程度，可知花瓣长度和花萼长度有相关性，错误.
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，错误，正确.
由于 是全部数据的样本相关系数，所以取出来一部分数据，相关性可能会发生变化，即取出的数据的样本相关系数不一定是，错误.
故选.
3. 设某大学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组成对样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列结论中不正确的是（ D ）
A. 与具有正的线性相关关系
B. 经验回归直线过成对样本数据的中心
C. 若该大学某女生身高增加，则其体重约增加
D. 若该大学某女生身高为，则可断定其体重必为
解：根据 关于 的经验回归方程，其中，说明与具有正的线性相关关系，故正确.
经验回归直线过成对样本数据的中心，故正确.
由经验回归方程，知若该大学某女生身高增加，则其体重约增加，那么，若该大学某女生身高增加，则其体重约增加，故正确.
若该大学某女生身高为，则可预测其体重约为，不可断定其体重必为，故错误.
故选.
4. 某医疗研究所为了检查新研发的疫苗对某种病毒的预防作用，把1 000只已注射疫苗的小白鼠与另外1 000只未注射疫苗的小白鼠的感染记录作比较，提出原假设“这种疫苗不能起到预防该病毒传染的作用.”并计算得，则下列说法正确的是（ C ）
A. 这种疫苗对预防该病毒传染的有效率为
B. 若某人未使用疫苗，则他有的可能性感染该病毒
C. 有的把握认为“这种疫苗能起到预防该病毒传染的作用”
D. 有的把握认为“这种疫苗能起到预防该病毒传染的作用”
解：，说明假设不合理的程度为，即这种疫苗不能起到预防病毒传染的作用不合理的程度约为，所以有 的把握认为这种疫苗能起到预防病毒传染的作用.故选.
5. 有一散点图如图所示，在5组成对样本数据中去掉后，下列说法正确的是（ A ）
A. 残差平方和变小
B. 样本相关系数变小
C. 决定系数变小
D. 解释变量与响应变量的线性相关程度变弱
解：由散点图分析，可知只有点 偏离较大，去掉点，解释变量 与响应变量 的线性相关程度变强，样本相关系数 变大，决定系数 变大，残差平方和变小 正确，，，错误.故选.
6. 【多选题】为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则（ ABD ）
A. 参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B. 从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为
C. 依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1
D. 假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05
解：对于，由题意,知经常锻炼的人数是不经常锻炼的人数的2倍，故经常锻炼的人数为200人，不经常锻炼的人数为100人.男生中经常锻炼的人数为（人），不经常锻炼的人数为（人）.男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，正确.
对于，女生中经常锻炼的人数为（人），不经常锻炼的人数为（人），则概率为，正确.
对于，由题意，结合男生、女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得如下列联表.
则 故依据 的独立性检验，不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，错误.
对于，由题意，将选项 列联表中的数据变为原来的2倍，则.故依据 的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过，正确.
故选.
7. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为0.8.
解：由题意，可知，.将 代入，即，解得，所以.当时，，所以该数据的残差为.故填0.8.
8. [2021年全国甲卷]甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1） 甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
解：甲机床生产的产品中的一级品的频率为，
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
（2） 依据小概率值的独立性检验，分析甲机床的产品质量与乙机床的产品质量是否有差异.
附：.
[答案]
零假设为 甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异.
.故依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异,此推断犯错误的概率不大于0.01.
【综合运用】
9. 建筑地基沉降预测对于保证施工安全、实现信息化监控有着重要意义.某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势，并用决定系数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果.决定系数越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越好.依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（ C ）
A. B.
C. D.
解：决定系数越接近于1，拟合效果越好，比较决定系数，知可选，.由误差平方和及均方根值都越小，拟合效果越好，知 的拟合效果最好.故选.
10. 【多选题】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶水温度随时间变化的回归模型，小明每隔测量一次茶水温度，得到若干组数据，， ，（其中，），绘制了如下所示的散点图.小明选择了如下两个经验回归模型来拟合茶水温度随时间的变化情况.模型一：.模型二：.下列说法正确的是 （ AB ）
A. 茶水温度与时间负相关
B. 由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况
C. 若选择模型二，则利用最小二乘法求得的图象一定经过点
D. 当时，通过模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为，则残差为
解：由散点图，知随时间增加，温度逐渐降低，且变化趋势趋于平缓.故为负相关且模型二拟合更好，故,正确.
根据非线性回归模型的拟合方法，令，则，此时拟合为线性经验回归方程.对应的经验回归直线过点，原曲线不一定经过，故 错误.
残差为真实值减估计值，即为，故 错误.故选.
11. 已知某个样本点中的变量，线性相关，样本相关系数，则在以为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数点都落在第二、四象限.
解：由，得.所以大多数 与 异号.又 为坐标原点，所以大多数点都落在第二、四象限.故填二、四.
12. 某省为做好刺梨产业的高质量发展，项目组统计了全省近5年刺梨产业综合总产值（单位：亿元）的各项数据如下：
（1） 根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用样本相关系数加以说明（精确到）；
解：由题设,得，，，所以，两个变量有强相关性.故可用一元线性回归模型刻画变量 与变量 之间的线性相关关系.
（2） 求出关于的经验回归方程，并预测2024年底该省刺梨产业的综合总产值.
附：样本相关系数，经验回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,.
,,,,,.
[答案]
由（1），得，，
所以.
当时，.
故预测2024年底该省刺梨产业的综合总产值为175.64亿元.
【拓广探索】
13. 足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性人数的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的,女性喜爱足球的人数占女性人数的.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有 （ C ）
A. 10人B. 11人C. 12人D. 13人
解：设被调查的男性为 人,则女性为 人.依题意，得列联表如下.
则.
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,所以有,即,解得.
因为上述列联表中的所有数字均为整数,所以的最小值为12.
故选.性别
锻炼的经常性
合计
经常
不经常
男
100
60
160
女
100
40
140
合计
200
100
300
色差
21
23
25
27
色度
15
18
19
20
机床
等级
合计
一级品
二级品
甲
150
50
200
乙
120
80
200
合计
270
130
400
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
综合总产值
23.1
37.0
62.1
111.6
150.8
性别
足球
合计
喜爱
不喜爱
男性
女性
合计
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