2025高考数学一轮课时作业第八章平面解析几何8.7抛物线（附解析）

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1. 顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是（ D ）
A. B. C. D.
解：由题意,可设抛物线方程为，易知，则抛物线方程为.故选.
2. 抛物线的焦点坐标为（ C ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：由题意，抛物线 的焦点坐标为,.故选.
3. [2023年北京卷]已知抛物线的焦点为，点在上，若点到直线的距离为5，则（ D ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
解：如图所示，因为点 到直线 的距离，所以点 到直线 的距离.
由方程，知 是抛物线的准线.由抛物线的定义,得.故选.
4. 过点且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为（ D ）
A. B. C. D.
解：由题意，得动圆的圆心到直线 的距离与到点 的距离相等，所以动圆的圆心是以点 为焦点、直线 为准线的抛物线，其方程为.故选.
5. 已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的值是（ A ）
A. 2或4B. 4C. 6D. 6或8
解：设 的横坐标为.由题意，得，，解得 或.故选.
6. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点，若，则的面积为（ A ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
解：由抛物线,知，准线方程为 设，则，即.不妨设 在第一象限，则，所以.故选.
7. 已知抛物线与直线相交于，两点，若中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为（ D ）
A. B. C. D.
解：设，.
由 消去 得.
所以，即.
因此所求的抛物线的方程为.故选.
8. 如图是抛物线形拱桥，设水面宽，拱顶距离水面，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形.若，那么不超过多少米才能使货船通过拱桥？
解：如图所示，以拱顶 为原点，过点 且平行于 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，则.
设抛物线方程为.
因为 点在抛物线上，所以，
所以，所以抛物线的方程为.
当 时，，即.
所以 不超过 才能使货船通过拱桥.
【综合运用】
9. 已知是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到抛物线准线距离之和的最小值是（ D ）
A. B. 3C. D.
解：由,知，所以 为抛物线的焦点.如图,根据抛物线的定义，知点 到抛物线准线的距离等于，所以，当且仅当点，，三点共线，且点 在线段 上时，等号成立.故选.
10. 【多选题】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（ ACD ）
A. 的准线方程为
B. 点的坐标为
C.
D. 的面积为（为坐标原点）
解：如图,不妨设点 位于第一象限.设抛物线的准线 与 轴交于点,作 于点，于点.抛物线准线方程为,点 的坐标为，则,.
在直角梯形 中，.
由抛物线的定义有，结合题意，有，故,所以.故选 .
11. [2023年天津卷]过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为6.
解：易知圆 和曲线 关于 轴对称.不妨设切线方程为，，则，解得.由 解得 或 所以，解得.当 时，同理可得.故填6.
12. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.
（1） 求该抛物线的方程；
解：由题意,得直线 的方程为，与 联立，消去 有，所以.由抛物线定义,得，所以，从而该抛物线的方程为.
（2） 为坐标原点，为抛物线上一点，若，求 的值.
[答案]
由（1）,得，即，则，.于是，，从而，.设，则
又，所以，整理得，解得 或.
【拓广探索】
13. 【多选题】已知抛物线的焦点坐标为，过点的直线与抛物线相交于，两点，点,在抛物线上，则（ BCD ）
A.
B. 当轴时，
C. 为定值1
D. 若，则直线的斜率为
解：对于，将点,代入抛物线方程，可得，故 错误.
对于，焦点，点 在抛物线上，可得，故 正确.
对于，设点，的坐标分别为，，直线 的方程为，联立方程 消去，整理得，可得,,,,,有，故 正确.
对于，由题意,得，可得，由 得 解得，故 正确.
故选.