2025高考数学一轮课时作业第八章平面解析几何8.6双曲线（附解析）

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1. 已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于（ D ）
A. B. 5C. 7D.
解：根据题意,知双曲线的标准方程为.由其焦距为4，得，则有，解得.故选.
2. 若双曲线的离心率大于2，则正数的取值范围是（ A ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：由题意，可知,，则.
因为离心率大于2，所以，即.
所以 且，解得.故选.
3. 已知双曲线的焦距为，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ B ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
解：双曲线 的两条渐近线方程为.因为两条渐近线互相垂直，所以，得.因为双曲线的焦距为，所以.由 得，解得，所以实轴长为.故选.
4. 在平面直角坐标系中，过点且渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ B ）
A. B. C. D.
解：因为双曲线的渐近线方程为，所以设所求双曲线的标准方程为.又点 在双曲线上，则,即双曲线的方程为,所以双曲线的标准方程为.故选.
5. 经过双曲线的右焦点，倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ A ）
A. B. C. D.
解：由题意，知已知直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，所以，离心率，所以.故选.
6. 已知椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ D ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：由题意，得，因此双曲线 的两条渐近线方程为.所以双曲线 的两条渐近线的倾斜角分别为，.故选.
7. 【多选题】已知双曲线的左、右焦点分别为，，是的右支上一点，则下列结论正确的是（ ACD ）
A. B. 的离心率是
C. 的最小值是6D. 点到两渐近线的距离的乘积是3
解：已知双曲线，得,,，则,,.由双曲线的定义及点 为 的右支上一点，得，所以 正确.
离心率，所以 不正确.
当点 在右顶点时，取得最小值，即，所以 正确.
双曲线的渐近线方程为.
设点，则，即.
则点 到 与到 的距离乘积为
，所以 正确.故选.
8. 在①双曲线的焦点在轴上；②双曲线的焦点在轴上，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
已知双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，.
（1） 求双曲线的标准方程；
解：设双曲线 的标准方程为，则 解得
所以双曲线 的标准方程为.
（2） 若双曲线与双曲线的渐近线相同， ，且的焦距为4，求双曲线的实轴长.
注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
[答案]
双曲线 的渐近线方程为.
选①，设双曲线 的标准方程为，则 解得
所以双曲线 的实轴长为2.
选②，设双曲线 的标准方程为，则 解得
所以双曲线 的实轴长为.
【综合运用】
9. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于，两点，若是正三角形，则此双曲线的渐近线方程是（ C ）
A. B. C. D.
解：由题意,得 为直角三角形，且 .设，则,,如图所示.
由双曲线的定义,得.所以,.所以.所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选.
10. [2020年全国Ⅲ卷]设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为.是上一点，且.若的面积为4，则（ A ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
解：因为，所以.根据双曲线的定义,可得.
，即.
因为，所以.
所以，即，解得.故选.
11. 图1为陕西博物馆收藏的金筐宝钿团花纹金杯，该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与轴及平行于轴的两条直线围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，如图2所示.若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ C ）
图1
图2
A. B. C. D.
解：由题意,设,,,.代入双曲线方程,得 即 作差得,解得,则.所以杯身最细处的周长为 .故选.
12. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点.
（1） 求双曲线的标准方程；
解：因为双曲线的离心率为，所以该双曲线为等轴双曲线.
设其方程为，代入点，得 .
故双曲线 的标准方程为.
（2） 设双曲线的两条渐近线分别为,，已知直线交，于,两点，若直线与双曲线有且只有一个公共点，求的面积.
[答案]
设 与 轴交于点.在直线方程 中，令，得,.
联立 整理得.
由题意,得，故.
联立 得.
联立 得.
所以.
【拓广探索】
13. [2023年新课标Ⅰ卷]已知双曲线的左、右焦点分别为,.点在上.点在轴上，，，则的离心率为 .
解：（方法一）（坐标法）
依题意，设，，.
由，得,.
因为，且,，，所以，即.
又点 在 上，所以，即.代入，得，即，解得 或（舍去），故.
（方法二）（特值法及数形结合）
考虑离心率是比值，不妨取，则易知,.由对称性得，再由垂直得.
，,,则离心率.
（方法三）（解三角形）
由，得.设，.由对称性,得.由定义,得，.设 ，则，解得，所以，.在 中，由余弦定理,得，即，则离心率.