2025高考数学一轮课时作业第八章平面解析几何8.5椭圆第2课时直线与椭圆的位置关系（附解析）

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1. 点与椭圆的位置关系为（ B ）
A. 点在椭圆上B. 点在椭圆内C. 点在椭圆外D. 不确定
解：因为，所以点 在椭圆 内.
故选.
2. 直线被椭圆截得的弦长为（ C ）
A. B. C. D.
解：将 代入椭圆方程，得,解得.故弦长为.故选.
3. 若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ B ）
A. 0,1或2B. 2C. 1或2D. 0
解：由题意,知，得.故点 在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部.则过点 的直线与该椭圆必有2个交点.故选.
4. 已知直线，椭圆.若直线与椭圆交于，两点，则线段的中点坐标为（ B ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：由 消去，得，则，所以线段 的中点的横坐标为，纵坐标为，即线段 的中点坐标为,.故选.
5. 已知直线，当变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是（ B ）
A. 2B. C. 4D. 不能确定
解：直线 恒过定点，且点 在椭圆上.
可设另外一个交点为,则弦长为

.
因为,所以当 时,弦长最长，为.故选.
6. 已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ C ）
A. B. C. D.
解：设椭圆方程为．
由 消去，
得.
由,
得，即．
又，焦点在 轴上，所以.
由,解得，．
易得长轴长为．故选.
7. 已知斜率为且不经过坐标原点的直线与椭圆相交于，两点，为线段的中点，则直线的斜率为 .
解：（方法一）设,,，
则 两式相减，得,即.
因为直线 的斜率为，所以,则,即.
又,,所以,即直线 的斜率为.
（方法二）记直线,的斜率分别为,.
由题意，知,,,
则,得.故填.
8. 已知椭圆及直线.
（1） 当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
解：由 消去，整理得.当直线 与椭圆 有公共点时，，整理得，解得，即实数 的取值范围是.
（2） 求直线被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
[答案]设弦的两端点分别为，.由（1）可得 所以弦长.当 时，弦长最长，此时所求直线的方程为.
【综合运用】
9. 已知椭圆的短轴长为4，焦距为.过椭圆的上端点作圆的两条切线，与椭圆分别交于另外两点，，则的面积为（ B ）
A. 6B. C. D.
解：由题意，知，,,所以椭圆 的方程为.如图所示,设 与 轴交于点.
设直线 的方程为，
则原点到直线 的距离.
又因为直线 与圆 相切，
所以，解得，
则直线 的方程为.
由 解得 或
即,.同理可得,.
所以 的面积为.故选.
10. [2023年新课标Ⅱ卷]已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若的面积是面积的2倍，则（ C ）
A. B. C. D.
解：（方法一）如图，设直线 交 轴于点，则.
由椭圆方程,知,.
，解得 或（舍去）.
（方法二）将直线 与椭圆方程联立 消去,得.
因为直线与椭圆相交于,两点，所以，解得.
设点 到直线 的距离为,点 到直线 的距离为.
易知,，则，，，解得 或（舍去）.故选.
11. 【多选题】设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于,两点，为线段的中点.下列结论正确的有（ BD ）
A. 直线与垂直
B. 若点坐标为，则直线方程为
C. 若直线方程为，则点坐标为,
D. 若直线方程为，则
解：对于，当 时，根据椭圆的中点弦的性质得，所以 不正确.
对于，因为，所以.所以直线方程为，即，所以 正确.
对于，若直线方程为，点,，则，矛盾,所以 不正确.
对于，若直线方程为，与椭圆方程 联立，得，整理得，解得，.所以，所以 正确.故选.
12. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，.
（1） 求椭圆的方程；
解：由题意,得 解得
所以椭圆 的方程为.
（2） 当的面积为时，求的值.
[答案]
由 消去，得，显然.
设点，的坐标分别为，，
则，.
所以.
又因为点 到直线 的距离，所以 的面积为，解得.
【拓广探索】
13. 【多选题】已知直线与椭圆，则下列结论正确的是（ BCD ）
A. 若与至少有一个公共点，则
B. 若与有且仅有两个公共点，则
C. 若，则上到的距离为5的点只有1个
D. 若，则上到的距离为1的点有3个
解：联立 消去，得，则判别式.
对于,令，则，错误.
对于,令，则，正确.
对于,令直线 与椭圆 相切，则，即，直线 与 的距离，正确.
对于,如图，直线 分别与 和 的距离均为1，因此，上到 的距离为1的点有3个，正确.
故选.