2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何专题突破15立体几何综合问题（附解析）

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（1） 判断几何体是哪种简单几何体，并证明；
解：几何体 是三棱台.证明如下：
由题意,得.又 平面， 平面，所以 平面.
同理,由，可得 平面.
因为，所以平面 平面.
另一方面，延长,交于点，如图1.
图1
因为,且，所以由中位线性质,知.
同理，延长,交于点，可得.
故点 和点 重合，即,,延长后交于同一点.所以几何体 是三棱台．
（2） 若二面角的平面角大小为 ，求直线与平面所成角的正弦值．
[答案]
连接.易知 是等腰直角三角形，且.又平面 平面，平面 平面，所以 平面.
如图2，建立空间直角坐标系，
图2
则，，，，
所以，，.
设平面 的法向量为，
则 即
令，则，，即.
则.
所以直线 与平面 所成角的正弦值为.
2. 如图，在四棱锥中，底面是菱形， 平面，且，的中点为.
（1） 在线段上是否存在一点，使得平面？并说明理由.
解：如图1，在线段 上存在中点，使得 平面.证明如下：设 的中点为，连接，.由题意,得 为平行四边形，则.又 平面， 平面，所以 平面.
图1
（2） 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.
，与平面所成的角为，.
若 ，求二面角的余弦值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
[答案]
选择.因为 平面，所以.又，由题意，知，，两两垂直.以，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图2所示的空间直角坐标系.因为，则，，，，，，所以，.
图2
设平面 的法向量为，所以
取，得.取平面 的一个法向量.
设二面角 的平面角为 ，则.所以二面角 的余弦值为.
选择 与平面 所成的角为.
取 的中点，连接，取 的中点，连接，，则，且.
因为 平面，所以 平面，与平面 所成角为，所以.
在 中，.又，所以.所以.所以，，两两垂直.
以，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图3所示的空间直角坐标系.
图3
因为，所以，，，，，，，所以，.
设平面 的法向量为，则 取，得.取平面 的一个法向量.
设二面角 的平面角为 ，则.所以二面角 的余弦值为.
选择.
因为 平面，所以.取 的中点，连接.
因为底面 是菱形， ，所以 是正三角形.
因为 是 的中点，所以.
所以，，两两垂直.以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.
以下同选择②.
3. 如图，在三棱柱中， 平面，为棱的中点，.
（1） 求证：.
解：证明:因为 为棱 的中点，，
所以,,三点共圆，且 为直径，
所以.
因为 平面， 平面，
所以.
又因为，, 平面，所以 平面.
因为 平面，所以.
（2） 若，求直线与平面所成角的正弦的最大值.
[答案]
设.
以 所在直线为 轴，所在直线为 轴，过点 与 垂直的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，.
所以，，，.
设平面 的法向量为，
则
令，则，，
所以.
设直线 与平面 所成角为 ，
则,

，当且仅当，即 时，等号成立.
所以直线 与平面 所成角的正弦的最大值为.