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2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何7.5空间向量与立体几何第2课时用空间向量研究夹角距离问题（附解析）
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这是一份2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何7.5空间向量与立体几何第2课时用空间向量研究夹角距离问题（附解析），共14页。
1. 已知平面 的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面 所成角的正弦值为（ A ）
A. B. C. D.
解：直线 与平面 所成角的正弦值为.故选.
2. 平面 的一个法向量为，为 内的一点，则点到平面 的距离为（ B ）
A. 1B. 2C. 3D.
解：由题意，知.则点 到平面 的距离为.故选.
3. 已知平面 的一个法向量为，向量，，则平面 与平面夹角的正切值为（ C ）
A. B. 2C. D.
解：设 为平面 的法向量，则 令，得．
设平面 与平面 的夹角为 ，则,，.
所以.故选.
4. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（ A ）
A. B. C. D.
解：设，则，，，，.
故，，，.故所求夹角的余弦值为.故选.
5. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ B ）
A. B. C. D.
解：建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2.
则,,,.
所以,,.
设平面 的法向量为，
则 令,则,，
所以.
所以,.
所以 与平面 所成角的正弦值为.
故选.
6. 在单位正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ C ）
A. B. C. D.
解：如图，以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
则,,,,,.
故,,,,.
设平面 的法向量为，
则 令，则.
故点 到平面 的距离为
.故选.
7. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为 .
解：由题意，知，，则,所以 的单位方向向量,0,.
又因为，
所以.
所以点 到直线 的距离为
.
故填.
8. 如图，在三棱柱中， 平面,,，，点,分别在棱和棱上，且,,为棱的中点.
（1） 求证：.
解：依题意，以 为原点，分别以,,的方向为 轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得,,,，,,,，.
证明：依题意，，，从而，所以.
（2） 求二面角的正弦值.
[答案]
依题意，是平面 的一个法向量，，.
设 为平面 的法向量，则 即
不妨设，可得.
因此有,，于是,.所以二面角 的正弦值为.
（3） 求直线与平面所成角的正弦值.
[答案]
依题意，.由（2）知 为平面 的一个法向量，于是,.
所以直线 与平面 所成角的正弦值为.
【综合运用】
9. 在四面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ B ）
A. B. C. D.
解：取 的中点，连接，.由，，得，，且，.
在 中，，故.
又，所以 平面.
以 为原点,，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，.
所以，.
设异面直线 与 所成的角为 ，则
.
即异面直线 与 所成角的余弦值为.
故选．
10. 【多选题】如图，在正方体中，,,分别为,,的中点，则（ ABD ）
A. B. 与所成的角为
C. D. 平面
解：以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体 的棱长为2，则,,,,,,,,,,.
对于，,,，所以，故 正确.
对于，,，,.所以向量 与向量 的夹角是 ，与 所成的角为 ，故 正确.
对于，,，则，故 错误.
对于，设平面 的法向量为,
,.
由 可得
取，可得.
又，则，所以.因为 平面，所以 平面，故 正确.
故选.
11. 如图，已知 平面，，，，，.若，，则与平面所成角的余弦值为 .
解：依题意，以 为坐标原点，，，的正方向分别为 轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知,可得，，，，，.
则，，.
设 是平面 的法向量，
则 即
令，则，.
所以.
设 与平面 所成的角为 ，.
因为，，，
所以,.
则,.
因为，所以，
所以 与平面 所成角的余弦值为.
故填.
12. [2023年新课标Ⅰ卷]如图，在正四棱柱中，,．点,,,分别在棱,,,上，,,．
（1）证明：.
（2）点在棱上，当二面角为 时，求．
解：（方法一）（1）证明：如图1，以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
图1
则,,,,.
所以,，所以.
又，不在同一条直线上，所以.
（2）设，则,,.
设平面 的法向量，
则
令，得 ,，
所以.
设平面 的法向量，
则
令，得,，所以.
所以,
.
化简可得，解得 或.
所以 或，所以.
（方法二）（1）证明:连接,.取,的中点分别为,.连接,,.由题设,得 是梯形 的中位线，所以.由题设，可得 且.又 是 的中点，因此 是 的中点，故 是平行四边形，所以.
（2） 如图2，在平面 上取一点，使，连接,,直线 交棱 于点.设点 到 的距离为，点 到 的距离为,则由,得，即.
图2
由题设，可知 为二面角 的平面角的补角.
在 中，,所以.
即.解得 或
当,时,,所以.
当,时,过点 作 交 于点,交 于点,则,,,,所以,.
综上，当二面角 为 时，.
【拓广探索】
13. 已知二面角 的大小为 ，点,在棱上， , ,,，，，，则的长为（ D ）
A. B. C. D.
解：如图所示.
由题意,知.
因为二面角 的大小为 ，所以, ，所以.
.所以.
故选.
1. 已知平面 的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面 所成角的正弦值为（ A ）
A. B. C. D.
解：直线 与平面 所成角的正弦值为.故选.
2. 平面 的一个法向量为，为 内的一点，则点到平面 的距离为（ B ）
A. 1B. 2C. 3D.
解：由题意，知.则点 到平面 的距离为.故选.
3. 已知平面 的一个法向量为，向量，，则平面 与平面夹角的正切值为（ C ）
A. B. 2C. D.
解：设 为平面 的法向量，则 令，得．
设平面 与平面 的夹角为 ，则,，.
所以.故选.
4. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（ A ）
A. B. C. D.
解：设，则，，，，.
故，，，.故所求夹角的余弦值为.故选.
5. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ B ）
A. B. C. D.
解：建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2.
则,,,.
所以,,.
设平面 的法向量为，
则 令,则,，
所以.
所以,.
所以 与平面 所成角的正弦值为.
故选.
6. 在单位正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ C ）
A. B. C. D.
解：如图，以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
则,,,,,.
故,,,,.
设平面 的法向量为，
则 令，则.
故点 到平面 的距离为
.故选.
7. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为 .
解：由题意，知，，则,所以 的单位方向向量,0,.
又因为，
所以.
所以点 到直线 的距离为
.
故填.
8. 如图，在三棱柱中， 平面,,，，点,分别在棱和棱上，且,,为棱的中点.
（1） 求证：.
解：依题意，以 为原点，分别以,,的方向为 轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得,,,，,,,，.
证明：依题意，，，从而，所以.
（2） 求二面角的正弦值.
[答案]
依题意，是平面 的一个法向量，，.
设 为平面 的法向量，则 即
不妨设，可得.
因此有,，于是,.所以二面角 的正弦值为.
（3） 求直线与平面所成角的正弦值.
[答案]
依题意，.由（2）知 为平面 的一个法向量，于是,.
所以直线 与平面 所成角的正弦值为.
【综合运用】
9. 在四面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ B ）
A. B. C. D.
解：取 的中点，连接，.由，，得，，且，.
在 中，，故.
又，所以 平面.
以 为原点,，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，.
所以，.
设异面直线 与 所成的角为 ，则
.
即异面直线 与 所成角的余弦值为.
故选．
10. 【多选题】如图，在正方体中，,,分别为,,的中点，则（ ABD ）
A. B. 与所成的角为
C. D. 平面
解：以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体 的棱长为2，则,,,,,,,,,,.
对于，,,，所以，故 正确.
对于，,，,.所以向量 与向量 的夹角是 ，与 所成的角为 ，故 正确.
对于，,，则，故 错误.
对于，设平面 的法向量为,
,.
由 可得
取，可得.
又，则，所以.因为 平面，所以 平面，故 正确.
故选.
11. 如图，已知 平面，，，，，.若，，则与平面所成角的余弦值为 .
解：依题意，以 为坐标原点，，，的正方向分别为 轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知,可得，，，，，.
则，，.
设 是平面 的法向量，
则 即
令，则，.
所以.
设 与平面 所成的角为 ，.
因为，，，
所以,.
则,.
因为，所以，
所以 与平面 所成角的余弦值为.
故填.
12. [2023年新课标Ⅰ卷]如图，在正四棱柱中，,．点,,,分别在棱,,,上，,,．
（1）证明：.
（2）点在棱上，当二面角为 时，求．
解：（方法一）（1）证明：如图1，以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
图1
则,,,,.
所以,，所以.
又，不在同一条直线上，所以.
（2）设，则,,.
设平面 的法向量，
则
令，得 ,，
所以.
设平面 的法向量，
则
令，得,，所以.
所以,
.
化简可得，解得 或.
所以 或，所以.
（方法二）（1）证明:连接,.取,的中点分别为,.连接,,.由题设,得 是梯形 的中位线，所以.由题设，可得 且.又 是 的中点，因此 是 的中点，故 是平行四边形，所以.
（2） 如图2，在平面 上取一点，使，连接,,直线 交棱 于点.设点 到 的距离为，点 到 的距离为,则由,得，即.
图2
由题设，可知 为二面角 的平面角的补角.
在 中，,所以.
即.解得 或
当,时,,所以.
当,时,过点 作 交 于点,交 于点,则,,,,所以,.
综上，当二面角 为 时，.
【拓广探索】
13. 已知二面角 的大小为 ，点,在棱上， , ,,，，，，则的长为（ D ）
A. B. C. D.
解：如图所示.
由题意,知.
因为二面角 的大小为 ，所以, ，所以.
.所以.
故选.
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