2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何7.2空间点直线平面之间的位置关系（附解析）

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1. 已知空间三条直线，，，若，，则（ D ）
A. 与异面B. 与相交
C. 与平行D. 与平行、相交、异面均有可能
解：若，且，则 与 可能平行（如图1），可能相交（如图2）,也可能异面（如图3）.故选．
图1
图2
图3
2. 【多选题】下列命题正确的有（ CD ）
A. 若平面 ， ，则B. 若 ， ，则,无公共点
C. 若 ，则 或与 相交D. 若，则
解：对于，若 平面 ， ，则 或 与 异面，故 错误.
对于，若 ， ，则,无公共点或只有一个公共点，故 错误.
对于，若 ，则 或 与 相交，故 正确.
对于，若，则 ，故 正确.
故选.
3. 直线，是异面直线，是不在，上的点，则下列结论成立的是（ D ）
A. 过点有且只有一个平面平行于，
B. 过点至少有一个平面平行于，
C. 过点有无数个平面平行于，
D. 过点且平行于，的平面可能不存在
解：当 且,异面，,均在平面 内时，如图1所示.
图1
此时，将 平移至 与 相交，则 与 所在平面即为 ,如图2所示.
图2
若要过点 作与,平行的平面，则过点 可以作另一个平面与 平行，而 ，显然矛盾.故上述情况不可能有过点 的平面同时平行于，.故,,错误，正确.故选.
4. 如图，在三棱柱中，是正三角形，是的中点，则下列叙述中正确的是（ C ）
A. 与是异面直线B. 与共面
C. 与是异面直线D. 与所成的角为
解：对于，由于 与 都在平面 内，可知 与 共面，故 错误.
对于，，由于 在平面 内，而 与平面 相交于点，点 不在 上，故 与 是异面直线.同理，与 是异面直线，所以 错误，正确.
对于，与 所成角就是 与 所成角.因为 是 的中点，为正三角形，所以，即 与 所成的角为 ，故 错误.故选.
5. [2023年上海春季高考卷]如图所示，在正方体中，为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ B ）
A. B. C. D.
解：对于，当 是 的中点时，与 是相交直线.对于，因为 平面, 平面,，所以 与 是异面直线.对于，当点 与 重合时，与 是平行直线.对于，当点 与 重合时，与 是相交直线．故选．
6. 【多选题】有下列四个命题，其中正确的命题有（ AB ）
A. 若在平面 外，它的三条边所在的直线分别交平面 于，，，则，，三点共线
B. 若三条直线，，互相平行且分别交直线于，，三点，则这四条直线共面
C. 若直线不平行于平面 ，且 ，则 内的所有直线与异面
D. 空间中不共面的五个点一定能确定10个平面
解：在 中，因为，，三点既在平面 上，又在平面 上，所以这三点必在平面 与平面 的交线上，即，，三点共线，所以 正确.
在 中，因为，所以 与 确定一个平面 .而 上有，两点在该平面上，所以 ，即，，三线共面于 .同理，，三线也共面，不妨设为 .而 ， 有两条公共的直线，，所以 与 重合，即这些直线共面，所以 正确.在 中，由题设，知 与 相交，设，如图，在 内过点 的直线 与 共面，所以 错误.在 中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以 错误.故选.
7. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 .
解：如图所示，作出正方体,连接，取 的中点，连接，.则，为异面直线 与 所成的角.因为 平面，且 平面,所以.在 中，设，则，，所以，所以.故填.
8. 如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点.证明：
（1） ，，，四点共面；
证明：如图,连接.
因为,分别为,的中点，所以，且.
因为,分别为,的中点，所以，且.所以四边形 为平行四边形，所以，且.所以，且,所以,,,四点共面.
（2） ，，三线共点.
[答案]
由（1）,知，且,所以,必交于一点.
因为, 平面，所以 平面.
因为, 平面，所以 平面.
又因为平面 平面.
所以，即，，三线共点.
【综合运用】
9. 已知空间中不过同一点的三条直线，，,“，，共面”是“，，两两相交”的 （ B ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：依题意，，,是空间中不过同一点的三条直线.
当，,在同一平面时，可能，故不能得出,,两两相交.
当，,两两相交时，设，,.根据基本事实2,可知,确定一个平面 ，而 ， .根据基本事实1,可知直线 即 .所以，,在同一平面.
综上，“,,共面”是“,,两两相交”的必要不充分条件.故选.
10. 【多选题】在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开，得到的平面图如图所示．其中，，，是上的点，则在直三棱柱中，下列结论正确的是（ B ）
A. 与是异面直线
B.
C. 平面将三棱柱截成一个五面体和一个四面体
D. 的最小值是
解：由题设，可得直三棱柱，如图1．
图1
由直三棱柱的结构特征,知,且 平面，所以 与 是异面直线.故 正确.
由直三棱柱的结构特征,知,,设,则,，,因此,所以.故 正确.
由图1知，平面 将三棱柱截成四棱锥 和三棱锥，一个五面体和一个四面体.故 正确.
将平面 和平面 展开为一个平面，如图2所示.
图2
当,,共线时，取最小值，且最小值为.故 错误．
故选.
11. 如图所示，三棱柱所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ A ）
A. B. C. D.
解：如图，取 的中点，连接，，.
则，.
又，所以.则四边形 是平行四边形，所以，则异面直线 与 所成角为.
设三棱柱各棱长为2，则，.
由余弦定理,得.
故选.
12. 如图，长方体的底面是正方形，，分别是，上的点，且，．
（1） 证明：点在平面内.
解：证明：如图，连接，.
在长方体 中，，且，所以四边形 是平行四边形，所以．
因为，，所以.所以.
所以，所以,,,四点共面，
即点 在平面 内．
（2） 若，求三棱锥的体积．
[答案]
在长方体中，点 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，即为.
所以．
【拓广探索】
13. [2022年上海卷]如图，正方体中，,,,分别为棱,,,的中点，连接,，对空间任意两点,，若线段与线段,都不相交，则称,两点可视，下列选项中与点可视的为（ B ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
解：易知四边形 是平行四边形，则 与 相交，故 不符合题意.易知四边形 是平行四边形，则 与 相交，且 与 相交，故,不符合题意.故选