2025高考数学一轮课时作业第五章平面向量与复数5.2平面向量基本定理及坐标表示（附解析）

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1. 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（ ）（ B ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，，
解：在平面内，根据向量基底的定义，知两个向量不共线即可作为基底.故选.
2. 已知向量，，则（ B ）
A. B. C. D.
解：设.因为，所以.
所以 解得 故.
故选.
3. [2023年北京卷]已知向量，满足，，则（ B ）
A. B. C. 0D. 1
解：（方法一）因为 ，，所以 ，.所以.
（方法二）.故选.
4. 已知向量,,，若，则（ B ）
A. B. C. 1D. 2
解：由题意，得.
因为，所以，解得.
故选.
5. 若向量与向量为共线向量，且，则向量的坐标为（ C ）
A. B. C. 或D. 或
解：根据题意，设向量.
因为，所以，
解得.
所以向量 的坐标为 或.故选.
6. （教材题改编）如图所示，平行四边形中，，为线段的中点，,,则（ C ）
A. B. C. D.
解：.故选.
7. 【多选题】若,,三点共线，则的值为（ CD ）
A. B. C. 2D. 13
解：由题意,可知,.
因为,,三点共线，所以,共线.
则，解得 或13.故选.
8. 已知两点，，为坐标原点，点在第二象限内，且 ，设，则 的值为 .
解：由 ，知点 在射线 上.设点 的坐标为，，则有，得 消去 得.故填.
【综合运用】
9. 已知三点，，，其中，.若是坐标原点，且四边形是平行四边形，则（ B ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
解：因为四边形 是平行四边形，
所以，即，
解得 则.故选.
10. 已知在中，为边上的点，且，为的中点，，则（ D ）
A. 1B. C. D.
解：如图，.
又，所以.又因为 与 不共线，所以，，所以.故选.
11. 【多选题】如图所示，在方格中，，，，均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ AD ）
A. B.
C. D.
解：设小方格边长为1.由题意，以 为原点建立平面直角坐标系，则可得，，，，所以，，，代入各选项检验，可知，错误，，正确.故选.
12. 在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，,.已知，且，则的值为24.
解：由题意，得.
由正弦定理及，知.
由余弦定理,得，则.
故填24.
【拓广探索】
13. 【多选题】设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（ AD ）
A. B.
C. D.
解：令.
若 ,，则
当 时，点 在 外部；
当 时，点 在 上；
当 时，点 在 内部.
若 ,，则点 在 或 上.
若 ,，则点 在 外部.
对于, ,且，故点 在 内部,故 符合题意.
对于, ,且，故点 在 上,故 不符合题意.
对于,，有，故点 在 外部,故 不符合题意.
对于,，有 ,且，故点 在 内部,故 符合题意.
故选.