2025高考数学一轮课时作业第三章一元函数的导数及其应用3.2第2课时函数的极值与最大小值（附解析）

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1. 若函数,的导函数的图象分别如图1,图2所示，则与极值点的个数分别为 （ A ）
图1
图2
A. 4，1B. 2，2C. 4，2D. 2，1
解：由题图1，可得函数 有4个极值点，其中2个极大值点和2个极小值点.由题图2，可得函数 只有1个极值点，且为极大值点.故选.
2. 设函数，则（ D ）
A. 为的极大值点B. 为的极小值点
C. 为的极大值点D. 为的极小值点
解：.令，得.当 时，，为增函数；当 时，，为减函数，则 为 的极小值点.
故选.
3. 函数有（ A ）
A. 最大值为1B. 最小值为1C. 最大值为D. 最小值为
解：.当 时，，当 时，.所以 在 上单调递增，在 上单调递减.所以 有极大值，也是最大值为，无最小值.故选.
4. 函数在上的最大值和最小值分别是（ C ）
A. 25,B. 50,14C. 50,D. 50,
解：.当 或 时，，函数为增函数；当 时，，函数为减函数.由，，，，得函数 在区间 上的最大值和最小值分别为50，.故选.
5. 函数在区间上的最大值与最小值分别为（ A ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
解：．
当,时，，单调递增；当,时，，单调递减．
因为，， ，所以 的最大值与最小值分别为， ．故选．
6. [2022年全国甲卷]当时，函数取得最大值，则（ B ）
A. B. C. D. 1
解：由题意，知，则.因为，，即，所以.函数 在 上单调递增，在 上单调递减.故 处，函数 取得极大值，也是最大值，则 故选.
7. 已知函数在内存在最小值，则的取值范围是（ C ）
A. B. C. D.
解：因为，所以.因为 在 上存在最小值，所以 在 有解.由，解得.故选.
8. 已知函数.
（1） 当时，直线为函数的图象的一条切线，求值；
解：因为，所以.
设切点为，则
由,得，代入①，得，代入②，得.
（2） 求函数在区间上的最小值的表达式.
[答案]
,.
因为，所以当 时，，在 上单调递增，所以.
当 时，令，令.
所以 在 上单调递减，上单调递增，所以.
当 时，，在 上单调递减，
所以.
综上，
【综合运用】
9. 若函数有极大值，则（ B ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：.
对于，当,时，，则 在 上单调递增，所以 无极值.同理,选项 无极值.
对于，当,时，由，得.当 时，；当 时，所以 在,上单调递增，在,上单调递减.
所以当 时，取得极大值.同理，选项 有极小值.故选.
10. [2023年新课标Ⅱ卷]已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ C ）
A. B. C. D.
解：依题意，可知 在 上恒成立，显然，所以.设,，所以.所以 在 上单调递增，.故，即，即 的最小值为．故选．
11. 直线分别与曲线，相交于,两点，则的最小值为（ C ）
A. 1B. C. 2D.
解：令，其中，则.
当 时，，函数 单调递减；当 时，，函数 单调递增.
故.
易知点，，故.
因此，的最小值为2.故选.
12. 已知函数.
（1） 若0是函数的极小值点，求实数的值；
解：由题意，得.
因为0是函数 的极小值点，所以，故.
当 时，，令，则，
令，得，则 在 上单调递增.因为，所以当 时，，当 时，，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 是函数 的极小值点.
所以实数 的值为1.
（2） 若在上单调递增，求实数的取值范围.
[答案]
若 在 上单调递增，则 恒成立，即 对 恒成立.
设，则.
令,得，令，得.
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则，故.
所以实数 的取值范围为 ，.
【拓广探索】
13. 【多选题】已知函数，则（ ABD ）
A. 有两个极值点
B. 有两个零点
C. 不存在最小值
D. 不等式对任意恒成立
解：.由,得.当 时，，在 和 上单调递增；当，时，，单调递减.
对于，在 处取得极大值，在 处取得极小值，则 有两个极值点，故 正确.
对于，，当 时，，结合 的单调性，可知 有两个零点，故 正确.
对于，由选项，知 在 取得极小值，且极小值为.又当，，故 在 处取得最小值，故 错误.
对于，当 时，，等价于不等式 恒成立.令，则，故 在 上单调递减，故，即 对 恒成立，故 正确.故选.