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2025高考数学一轮课时作业第三章一元函数的导数及其应用3.1导数的概念意义及运算（附解析）
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这是一份2025高考数学一轮课时作业第三章一元函数的导数及其应用3.1导数的概念意义及运算（附解析），共7页。
1. 下列求导运算错误的是 （ D ）
A. B.
C. D.
解：，所以不正确.故选.
2. 一质点作直线运动，由始点起经过后的位移为，则速度为0的时刻是（ D ）
A. 末B. 末C. 末与末D. 末与末
解：.由导数的物理意义，可知速度为0的时刻就是 的时刻.解方程，得 或.故选.
3. 函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是 （ A ）
A. B.
C. D.
解：由题图，知，即.故选.
4. 已知曲线在点处的切线和直线垂直，则实数的值为（ C ）
A. 1B. 2C. D.
解：.
曲线 在点 处的切线斜率为.由题意,可得，即.故选.
5. 曲线在点处的切线方程为（ A ）
A. B. C. D.
解：因为，所以所求切线的斜率.故该切线的方程为,即.故选.
6. 【多选题】下列命题正确的是（ BD ）
A. 若，则函数在处无切线
B. 曲线的切线与曲线可以有两个公共点
C. 若曲线在处的切线方程为，则当时，
D. 若函数的导数，且，则的图象在处的切线方程为
解：对于，若，则函数 在 处的切线斜率为0，故 错误.
对于，曲线 的切线与曲线可以有两个公共点，例如曲线 在 处的切线为，与曲线还有一个公共点，故 正确.
对于，因为曲线 在 处的切线方程为，所以.则，故 错误.
对于，因为，所以.又，所以切点坐标为，斜率为.所以切线方程为，即，故 正确．
故选．
7. [2022年新课标Ⅱ卷]曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， .
解：当 时，，设切点为.由，得.所以切线方程为.
又切线过坐标原点，得，解得，所以切线方程为，即.
由对称性，可知当 时，过原点的切线方程为.故填；.
8. 已知函数.
（1） 求这个函数图象上垂直于直线的切线方程；
解：设,则.
因为切线与 垂直，所以切线斜率为1.
令，得.
又，即切点为，
所以切线方程为.
（2） 求这个函数图象过点的切线方程.
[答案]
设切点为.由（1）知,
切线方程为.
因为切线过点，
所以，
解得 或.则，.
因此切线方程为 或，
即 或.
【综合运用】
9. 若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为（ A ）
A. B. C. D.
解：设.函数 的导数为，函数 的导数为.
则曲线 在 处的切线方程为，即.
同理,曲线 在 处的切线方程为.
由题意，知 解得 故选.
10. 【多选题】已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与平行的是（ ACD ）
A. B. C. D.
解：，，则，当且仅当，即 时,等号成立.则切线 的斜率.易知选项，，中直线的斜率大于，符合题意.故选.
11. 已知函数，若曲线存在两条过点的切线，则的取值范围是 ．
解：.设切点坐标为,，则切线方程为.因为切线过点，所以，整理得.因为曲线 存在两条过点 的切线，所以方程 有两个不等实根，即，解得 或.故填.
12. 设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1） 求的解析式.
解：切线方程 可化为.
当 时，.又，
于是 解得
故.
（2） 证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
证明：设 为曲线上任一点，
由，知曲线在点 处的切线方程为，
即.
令，得，
从而得切线与直线 的交点坐标为，.
令，得，
从而得切线与直线 的交点坐标为.
所以点 处的切线与直线，所围成的三角形的面积为.
故曲线 上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
【拓广探索】
13. 点在直线上，点在曲线上，则的最小值为 （ A ）
A. B. 1C. D. 2
解：设平行于直线 的直线 与曲线 相切，则两平行线间的距离即为 的最小值.
设直线 与曲线 的切点为，则由切点在直线 上，可得.
又,即，则，，则直线.所以 的最小值为.故选.
1. 下列求导运算错误的是 （ D ）
A. B.
C. D.
解：，所以不正确.故选.
2. 一质点作直线运动，由始点起经过后的位移为，则速度为0的时刻是（ D ）
A. 末B. 末C. 末与末D. 末与末
解：.由导数的物理意义，可知速度为0的时刻就是 的时刻.解方程，得 或.故选.
3. 函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是 （ A ）
A. B.
C. D.
解：由题图，知，即.故选.
4. 已知曲线在点处的切线和直线垂直，则实数的值为（ C ）
A. 1B. 2C. D.
解：.
曲线 在点 处的切线斜率为.由题意,可得，即.故选.
5. 曲线在点处的切线方程为（ A ）
A. B. C. D.
解：因为，所以所求切线的斜率.故该切线的方程为,即.故选.
6. 【多选题】下列命题正确的是（ BD ）
A. 若，则函数在处无切线
B. 曲线的切线与曲线可以有两个公共点
C. 若曲线在处的切线方程为，则当时，
D. 若函数的导数，且，则的图象在处的切线方程为
解：对于，若，则函数 在 处的切线斜率为0，故 错误.
对于，曲线 的切线与曲线可以有两个公共点，例如曲线 在 处的切线为，与曲线还有一个公共点，故 正确.
对于，因为曲线 在 处的切线方程为，所以.则，故 错误.
对于，因为，所以.又，所以切点坐标为，斜率为.所以切线方程为，即，故 正确．
故选．
7. [2022年新课标Ⅱ卷]曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， .
解：当 时，，设切点为.由，得.所以切线方程为.
又切线过坐标原点，得，解得，所以切线方程为，即.
由对称性，可知当 时，过原点的切线方程为.故填；.
8. 已知函数.
（1） 求这个函数图象上垂直于直线的切线方程；
解：设,则.
因为切线与 垂直，所以切线斜率为1.
令，得.
又，即切点为，
所以切线方程为.
（2） 求这个函数图象过点的切线方程.
[答案]
设切点为.由（1）知,
切线方程为.
因为切线过点，
所以，
解得 或.则，.
因此切线方程为 或，
即 或.
【综合运用】
9. 若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为（ A ）
A. B. C. D.
解：设.函数 的导数为，函数 的导数为.
则曲线 在 处的切线方程为，即.
同理,曲线 在 处的切线方程为.
由题意，知 解得 故选.
10. 【多选题】已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与平行的是（ ACD ）
A. B. C. D.
解：，，则，当且仅当，即 时,等号成立.则切线 的斜率.易知选项，，中直线的斜率大于，符合题意.故选.
11. 已知函数，若曲线存在两条过点的切线，则的取值范围是 ．
解：.设切点坐标为,，则切线方程为.因为切线过点，所以，整理得.因为曲线 存在两条过点 的切线，所以方程 有两个不等实根，即，解得 或.故填.
12. 设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1） 求的解析式.
解：切线方程 可化为.
当 时，.又，
于是 解得
故.
（2） 证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
证明：设 为曲线上任一点，
由，知曲线在点 处的切线方程为，
即.
令，得，
从而得切线与直线 的交点坐标为，.
令，得，
从而得切线与直线 的交点坐标为.
所以点 处的切线与直线，所围成的三角形的面积为.
故曲线 上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
【拓广探索】
13. 点在直线上，点在曲线上，则的最小值为 （ A ）
A. B. 1C. D. 2
解：设平行于直线 的直线 与曲线 相切，则两平行线间的距离即为 的最小值.
设直线 与曲线 的切点为，则由切点在直线 上，可得.
又,即，则，，则直线.所以 的最小值为.故选.
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