2025高考数学一轮课时作业第一章集合与常用逻辑用语不等式1.2常用逻辑用语（附解析）

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1. 已知命题，使得，则为（ C ）
A. ，都有B. ，使得
C. ，都有D. ，使得
解：因为，使得，所以 为：，都有.故选.
2. [2023年天津卷]“”是“”的（ B ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
解：由，得.当 时，不成立，充分性不成立.
由，得.即，显然 成立，必要性成立.
所以前者是后者的必要不充分条件.故选.
3. 已知命题高三（1）班所有的男生都爱踢足球，则命题为（ B ）
A. 高三（1）班至多有一个男生爱踢足球
B. 高三（1）班至少有一个男生不爱踢足球
C. 高三（1）班所有的男生都不爱踢足球
D. 高三（1）班所有的女生都爱踢足球
解：命题 是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，结合选项，知 正确.故选.
4. 设是定义域为的函数，且“，”为假命题，则下列命题为真的是（ C ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
解：因为命题“,”为假命题，所以其否定命题“,”为真命题.故选.
5. 命题“对于任意无理数，都有是有理数”的否定是（ C ）
A. 对于任意有理数，都有是有理数B. 对于任意无理数，都有是无理数
C. 存在无理数，使得是无理数D. 存在无理数，使得是有理数
解：因为命题“对于任意无理数，都有 是有理数”是全称量词命题，所以其否定为“存在无理数，使得 是无理数”.故选.
6. [2023年北京卷]若，则“”是“”的（ C ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：（方法一）因为，所以 等价于，即，亦即.故前者是后者的充要条件.
（方法二）充分性：因为，所以.又，所以.故充分性成立.
必要性：因为，且，
所以，即.所以.故必要性成立.
所以前者是后者的充要条件.故选.
7. 【多选题】下列各项中，是的充分不必要条件的是（ AC ）
A. ；
B. ；
C. 四边形为菱形；四边形的对角线垂直
D. ；
解：对于，当 时，可得，即充分性成立；反之,当，可得，所以必要性不成立，所以 是 的充分不必要条件，所以 正确.
对于，当 时，可得，即充分性成立；反之,当 时，可得，所以必要性成立，所以 是 的充要条件，所以 不正确.
对于，由四边形为菱形，可得四边形的对角线垂直，即充分性成立；反之,当四边形的对角线垂直，四边形不一定是菱形，所以必要性不成立，所以 是 的充分不必要条件，所以 正确.
对于，当，且 时，可得，即充分性不成立，反之，当，且 时，可得；当 时，可得，即必要性不成立，所以 是 的既不充分也不必要条件，所以 不正确.故选.
8. 求证：数列是等差数列的充要条件是，其中，是常数．
证明：充分性：若，则 为常数，所以数列 是等差数列.充分性成立.
必要性：若数列 是等差数列，设公差为，则.令,，则.必要性成立.
所以数列 是等差数列的充要条件是，其中，是常数．
【综合运用】
9. [2021年浙江卷]已知非零向量，，，则“”是“”的（ B ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
解：充分性不成立.若 且，则，但与不一定相等，故不能推出.
必要性成立.由，可得，则，即，所以 可以推出.
综上所述，“”是“”的必要不充分条件．故选．
10. 【多选题】下列命题中的真命题是（ ACD ）
A. ，B. ，
C. ，，使得D. ，使得
解：对于，因为，根据指数函数的值域为，即，故 正确.
对于，当 时，，故 错误.
对于，当,时，，故 正确.
对于，因为 的值域为，所以,使得，故 正确.故选.
11. 已知命题“，”为假命题，则实数的可能取值是（ D ）
A. 1B. 0C. D. 4
解：由题意，知命题“，”为真命题.所以，.令,，显然 在 上单调递增.当 时，有最小值，即，所以.故选.
12. 设是公比大于1的等比数列的前项和，则“数列递增”是“数列递增”的（ C ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：若数列 递增，则.所以.又，所以.则,，即，因此数列 递增，满足充分性.
若数列 递增，则，所以.又，所以.因此，即数列 递增.所以必要性成立．所以前者是后者的充要条件．故选.
【拓广探索】
13. 孟加拉虎，又名印度虎，世界第二大虎亚种，是目前数量最多，分布最广的虎亚种．孟加拉虎有四种变种，分别是白虎（全身白色，有深褐色或黑色斑纹），雪虎（全身白色，有淡淡的棕色斑纹），金虎（全身金黄色，有黑色斑纹），纯白虎（全身白色，没有斑纹）．已知甲是一只孟加拉虎，则“甲全身白色”是“甲是纯白虎”的（ B ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：由“甲是纯白虎”可推出“甲全身白色”，由“甲全身白色”不能推出“甲是纯白虎”.所以前者是后者的必要不充分条件．故选.