2025高考数学一轮知识必备练习第八章平面解析几何8.6双曲线

这是一份2025高考数学一轮知识必备练习第八章平面解析几何8.6双曲线，共3页。

2.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.双曲线的定义
（1）定义：一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
（2）等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程为 ，离心率为 .
2.直线与双曲线的位置关系
将直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为的形式，在的情况下考查方程的判别式.
（1）时，直线与双曲线有两个不同的公共点.
（2）时，直线与双曲线有一个公共点.
（3）时，直线与双曲线没有公共点.
当时，直线与双曲线的渐近线平行，若方程有解,则直线与双曲线有一个公共点.
注：直线与双曲线的关系中,一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.
常用结论
1.与双曲线定义及标准方程相关结论
（1）在双曲线定义中，当时，点的轨迹为以,为端点的两条射线；当时，轨迹不存在.
（2）已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.
（3）双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当,，时为椭圆，当时为双曲线.
（4）与双曲线有共同渐近线的双曲线系方程为.
（5）过已知两点的双曲线方程可设为.
2.与双曲线几何性质相关结论
（1）离心率，离心率越大，双曲线“张口”越大.
（2）焦点到渐近线的距离为.
（3）通径长为.
（4）为双曲线上一点，则，，的面积为.
（5）设,,是双曲线上的三个不同点,其中,两点关于原点对称,直线,的斜率存在且不为0,则直线与的斜率之积为（适用于焦点在轴上时）.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1） 双曲线标准方程中一定有.（ × ）
（2） 平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间距离）的点的轨迹是双曲线.（ × ）
（3） 平面内到点，的距离之差的绝对值等于4的点的轨迹是双曲线.（ × ）
（4） 方程表示焦点在轴上的双曲线.（ × ）
（5） 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.（ √ ）
2. （教材题改编）已知平面内两定点，，动点满足，则点的轨迹方程是（ D ）
A. B.
C. D.
解：由双曲线的定义，知点 的轨迹是双曲线的右支，故排除，.又由题意可知焦点在 轴上，且,,所以.故点 的轨迹方程为.故选.
[2022年北京卷]已知双曲线的渐近线方程为，则
.
解： 表示双曲线，则，即 可知焦点在 轴上，故渐近线方程为.所以，解得.故填.
4. [2023年北京卷]已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为 .
解：令双曲线 的实半轴长、虚半轴长分别为,.显然双曲线 的中心为原点，焦点在 轴上，半焦距.
由双曲线 的离心率为，得，解得.则.所以双曲线 的方程为.故填.