2025高考数学一轮知识必备练习第五章平面向量与复数5.3平面向量的数量积及平面向量的应用

这是一份2025高考数学一轮知识必备练习第五章平面向量与复数5.3平面向量的数量积及平面向量的应用，共5页。试卷主要包含了能用坐标表示平面向量垂直的条件等内容，欢迎下载使用。

1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.
2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
3.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
4.能用坐标表示平面向量垂直的条件.
5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.向量的数量积
（1）向量数量积的定义.
①向量的夹角：已知两个非零向量,，是平面上的任意一点，作,（如图所示），则叫做向量与的夹角.
②向量的平行与垂直：当时，与同向；当 时，与反向；如果与的夹角是，我们说与垂直，记作.
③向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做向量与的数量积（或内积），记作，即 .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（2）向量的投影.
①定义：如图，设,是两个非零向量，,，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为 ，则向量在向量上的投影向量是 .
（3）向量数量积的性质.
设,是非零向量，它们的夹角是 ，是与方向相同的单位向量，则
① .
② .
③当与同向时， ；当与反向时， .特别地， 或 .
④ .
（4）向量数量积运算的运算律.
对于向量,,和实数 ，有
① ；
② ;
③ .
（5）数量积的坐标表示.
设，，则
； ； .
.
.
④设 是与的夹角，则
.
2.平面几何中的向量方法
（1）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
③把运算结果“翻译”成几何关系.
（2）常用充要条件.
为重心的一个充要条件：.
为外心的一个充要条件：.
为垂心的一个充要条件：.
常用结论
1.数量积的有关结论
（1）.
（2）.
（3）且.
2.平面向量与平面几何综合的有关结论
（1）若，为非零向量，则给出，等价于已知；给出，等价于已知是钝角或两向量反向共线；给出，等价于已知是锐角或两向量同向共线.
（2）给出，等价于已知是的角平分线.
（3）在中，给出，等价于已知是菱形；给出，等价于已知是矩形.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.（ √ ）
（2） 由可得或.（ × ）
（3） 若且,则.（ × ）
（4） .（ × ）
（5） 若，则和的夹角为锐角；若，则和的夹角为钝角.（ × ）
2. 若向量，满足，与的夹角为 ，则（ A ）
A. B. C. 0D. 2
解：由题意，得.故选.
3. 已知向量，满足，，，则（ B ）
A. 4B. C. 6D. 8
解：.故选.
4. 若,,,则0;3.
解：,所以,.故填;3.