2025高考数学一轮知识必备练习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算

这是一份2025高考数学一轮知识必备练习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算，共5页。

2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.
4.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.
5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
3.向量共线定理
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 .
常用结论
1.加法运算的推广
（1）加法运算的推广：.
（2）向量三角不等式：.两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“ ”成立；两向量共线时，可得出“”成立（分同向、反向两种不同情形）.
2.线性运算重要结论
（1）若为线段的中点，为平面内任一点，则.
（2）若为的重心,则.
（3）若（ ， 为实数），则点，，共线的充要条件是.
（4）如图,中,,,则,特别地,为的中点时,.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 相等向量的起点和终点分别相同.（ × ）
（2） 与是否相等与，的方向无关.（ √ ）
（3） 零向量与任一向量平行.（ √ ）
（4） 若向量与向量是共线向量，则，，，四点共线.（ × ）
（5） 当两个向量，共线时，一定有，反之亦成立. （ × ）
2. （教材题改编）下列说法正确的是（ D ）
A. 单位向量都相等B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
解：对于，单位向量的模相等，但方向不一定相同，所以错误.
对于，当 时， 与 不一定相等,所以错误.
对于，当 时，不一定有，因为 需 且 与 同向，所以错误.
对于，，则，正确.故选.
3. 【多选题】（教材题改编）下列选项中，向量,一定共线的有 （ ABC ）
A. ,B. ,
C. ,D. ,
解：对于，.
对于，.
对于，.故，，符合题意.
对于，若，,不共线，则 无解，不合题意.
故选.
4. 如图，正六边形中，（ D ）
A. B. C. D.
解：将 平移到，平移到，故.故选.
名称
定义
说明
向量
既有大小又有方向的量叫做向量
平面向量是自由向量
有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母,,，表示
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度
向量的模
向量的大小称为向量的长度（或称模），记作
向量的模是数量
零向量
长度为 的向量叫做零向量，记作
—
单位向量
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量
是非零向量，则是单位向量
平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量
规定：零向量与任意向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小
相反向量
与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作
的相反向量仍是
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律（性质）
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
交换律：.并规定：.结合律：. ,当且仅当,方向相同时等号成立
减法
求两个向量差的运算

数乘
求实数与向量的积的运算
是一个向量，其长度： .
其方向：当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，
设 ，，则
；
；