2025高考数学一轮知识必备练习第三章一元函数的导数及其应用3.2导数在研究函数中的应用第2课时函数的极值与最大小值

这是一份2025高考数学一轮知识必备练习第三章一元函数的导数及其应用3.2导数在研究函数中的应用第2课时函数的极值与最大小值，共3页。
借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.函数的极值
（1）函数极值的定义：如图，函数在点的函数值比它在点附近其他点处的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧.类似地，函数在点处的函数值比它在点附近其他点处的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧.我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
（2）函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数在某一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件.可导函数在处取极大（小）值的充分条件是：
① ;
②在附近的左侧,右侧.
（3）导数求极值的方法：解方程，当时,如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.
2.函数的最大（小）值
（1）函数最大（小）值的再认识.
①一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
②若函数在上单调递增，则为函数在上的最小值，为函数在上的最大值；若函数在上单调递减,则为函数在上的最大值，为函数在上的最小值.
（2）导数求最值的一般步骤.
设函数在上连续，在内可导，求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数在区间内的极值；
②将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 函数的极大值不一定比极小值大.（ √ ）
（2） 对于可导函数，是为极值点的充要条件.（ × ）
（3） 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.（ √ ）
（4） 函数在内单调,则函数在内一定没有极值.（ √ ）
（5） 有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值. （ × ）
2. 函数的导函数为，则函数有（ C ）
A. 最小值B. 最小值C. 极大值D. 极大值
解：令，解得，即函数 的单调递增区间为.
令，解得 或；
令，解得 或.
即函数 的单调递减区间为，.
所以函数 有极大值.故选.
3. （教材题改编）已知函数的导函数的图象如图所示，则（ B ）
A. 函数有2个极大值点，2个极小值点
B. 函数有1个极大值点，1个极小值点
C. 函数有3个极大值点，1个极小值点
D. 函数有1个极大值点，3个极小值点
解：由 的图象，可知
当 时，，所以 单调递增；当 时，，所以 单调递减；当 时，，所以 单调递增.
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值.故选.
4. 函数在区间上的最小值是 （ D ）
A. 4B. 0C. 2D.
解：令，解得 或.
,,，
故函数 在 上的最小值为.故选.