2025高考数学一轮考点突破训练第八章平面解析几何8.7抛物线

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第八章平面解析几何8.7抛物线，共6页。试卷主要包含了抛物线的定义及标准方程，抛物线的几何性质，直线与抛物线等内容，欢迎下载使用。

例1
（1） 【多选题】经过点的抛物线的标准方程为（ AC ）
A. B. C. D.
解：若抛物线的焦点在 轴上，设抛物线的方程为.因为抛物线经过点，所以，解得.所以抛物线的方程为.若抛物线的焦点在 轴上，设抛物线的方程为.因为抛物线经过点，所以，解得.所以抛物线的方程为.故选 .
（2） 已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为（ A ）
A. B. C. D.
解：抛物线 的准线方程.
因为抛物线 上的点 到其焦点的距离为2，所以，所以.
即该抛物线的标准方程为.故选 .
（3） 设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若，则的最小值为4.
解：如图，过点 作 垂直准线于点，交抛物线于点，则 则有，即 的最小值为4.故填4.
【点拨】求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
变式1
（1） 已知动圆与定圆外切，且和直线相切，则动圆圆心的轨迹是（ D ）
A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
解：设动圆的圆心为点，半径为,则.又点 到直线 的距离等于，所以点 到直线 的距离为.所以.根据抛物线的定义，知动圆圆心的轨迹为抛物线.故选 .
（2） 若点,在抛物线上,是坐标原点,正三角形的面积为,则该抛物线的方程是（ A ）
A. B. C. D.
解：根据对称性,可知 轴,由于正三角形 的面积是,故.故,正三角形 的高为.故可设点 的坐标为,代入抛物线方程得,解得.故所求抛物线的方程为.故选 .
（3） 已知是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，点不在直线上，则的周长的最小值是（ C ）
A. 4B. 6C. D.
解：抛物线 的焦点，准线为.
如图,过点 作 准线 于点，则 的周长为.又，可知当,,三点共线时周长最小，为.故选.
考点二 抛物线的几何性质
例2 【多选题】设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点.若 ，且的面积为，则（ BCD ）
A. B. 是等边三角形
C. 点到准线的距离为3D. 抛物线的方程为
解：根据题意，作出图形如图所示.
因为 为半径的圆交 于，两点，所以.又，所以 为等边三角形，正确.
因为 ，轴，所以 ，所以，,解得，所以，所以 不正确.
焦点到准线的距离为，所以 正确.
抛物线的方程为，所以 正确.故选.
【点拨】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
变式2
（1） 设为坐标原点，直线与抛物线交于，两点.若，则的焦点坐标为（ D ）
A. B. C. ,D. ,
解：（方法一）因为抛物线 关于 轴对称，直线 关于 轴对称，所以，两点关于 轴对称.因为，所以，两点横、纵坐标的绝对值相等.不妨设点，将点 的坐标代入,得,解得.所以抛物线 的焦点坐标为,.
（方法二）将 代入抛物线方程,可得直线 与抛物线 的交点坐标为，.不妨设,,则,.因为，所以,解得.所以抛物线 的焦点坐标为,.
故选 .
（2） 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且满足，则 .
解：过 作准线的垂线，垂足为，则有，所以，.又，所以，即.故填.
考点三 直线与抛物线
例3 [2023年新课标Ⅱ卷]【多选题】设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（ AC ）
A. B.
C. 以为直径的圆与相切D. 为等腰三角形
解：对于，直线 过点，所以抛物线 的焦点为，所以，，故 正确.
对于，抛物线 的方程为，设，，由 消去 并化简,得，解得，.所以，故 错误.
对于，设 的中点为，点，，到直线 的距离分别为，，.因为，即点 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，故 正确.
对于，由题意,得，，所以，，，所以 不是等腰三角形，错误.
故选.
【点拨】解决直线与抛物线公共点（交点）问题，要注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.另外，抛物线的几何性质及导数工具等的应用往往能简化运算.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
变式3 [2022年新课标Ⅰ卷]【多选题】已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则（ BCD ）
A. 的准线为B. 直线与相切
C. D.
解：将点 的坐标代入抛物线方程,得，所以抛物线方程为，故准线方程为，故 错误.
，所以直线 的方程为 联立 可得，解得，故 正确.
设过点 的直线为，易知直线 的斜率存在，设其方程为，,.
联立 得，所以 所以 或，.
又，，所以，故 正确.
因为，，
所以，而，故 正确.故选.