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2025高考数学一轮考点突破训练第八章平面解析几何8.5椭圆第1课时椭圆的标准方程与简单几何性质
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这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第八章平面解析几何8.5椭圆第1课时椭圆的标准方程与简单几何性质，共8页。
例1
（1） 已知的两个顶点分别为，，的周长为18，则点的轨迹方程为（ A ）
A. B.
C. D.
解：由题意,得，
所以点 的轨迹是以，为焦点的椭圆.
设其标准方程为，则，，从而.
又，，三点不共线，所以点 不在 轴上.
故点 的轨迹方程为.故选.
（2） 过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 .
解：（方法一）依题意，设所求椭圆方程为.将点 代入可得，解得（舍去）.所以所求椭圆的标准方程为.
（方法二）椭圆 的焦点为，，即.
由椭圆的定义，知，解得.
由 可得.所以所求椭圆的标准方程为.故填.
【点拨】①椭圆即点集，在运用椭圆的定义时，要注意“”这个条件.②求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于，的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为，求出，的值即可.
变式1
（1） （教材习题）如图所示，圆的半径为定长,是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（ A ）
A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆
解：如图,连接.由已知,得.所以.又因为点 在圆内，所以.
根据椭圆的定义，知点 的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆.故选.
（2） 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,，，，则椭圆的方程为 .
解：依题意，设椭圆方程为.
由 解得
所以椭圆的方程为.故填.
命题角度2 椭圆的焦点三角形
例2 已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且 .若的面积为，则3.
解：因为， ，所以，即.
所以.
所以.
又因为，所以.或直接由公式得.故填3.
【点拨】焦点三角形中,利用定义可求其周长,利用意义和余弦定理可求,,通过整体代入可求其面积.
变式2
（1） 已知椭圆上的一点到焦点的距离为6，是的中点，为坐标原点，则（ C ）
A. 2B. 4C. 7D. 14
解：如图所示，设椭圆的另一焦点为.
因为，分别是 和 的中点，所以.
由椭圆的方程,得,所以，所以，所以.
故选.
（2） [2023年全国甲卷]设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ B ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
解：根据题意，可得.又，，所以.故选.
考点二 椭圆的简单几何性质
命题角度1 求椭圆的离心率
例3 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个顶点，且，则椭圆的离心率（ A ）
A. B. C. D.
解：由题意,得，.
在 中，由余弦定理，得，
可得，即离心率.故选.
【点拨】求椭圆的离心率关键在于构造关于，，的方程，通过代入消去得关于,的齐次式，再转化为关于的方程.求椭圆离心率的取值范围，则往往要借助椭圆的几何性质及平面几何的知识构造不等式.
变式3
（1） [2023年新课标Ⅰ卷]设椭圆，的离心率分别为，.若，则（ A ）
A. B. C. D.
解：由椭圆,可得，，所以.所以椭圆 的离心率为.
因为，所以，所以.
所以，解得.故选.
（2） 已知椭圆的右焦点为，点和所连线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ A ）
A. B. C. D.
解：设,则线段 的中点坐标为,.代入椭圆方程，得,整理得,即.解得 或（舍去）.故选.
命题角度2 与椭圆有关的最值（范围）问题
例4
（1） 已知是椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为 ，最小值为 .
解：由题意，知，，，.
设椭圆右焦点为，则，所以.如图，当,,三点共线时，取到最大值，或者最小值.
所以 的最大值为，最小值为故填；.
（2） [2021年全国乙卷]设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（ A ）
A. B. C. D. 2
解：（方法一）设点.因为,,所以.而,所以当 时，的最大值为.
（方法二）依题意，知,点 在 上.
设,,
所以
,
当 时，取得最大值，且最大值为.
故选.
【点拨】椭圆中距离的最值问题一般有三种解法.①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解（适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率等情况）根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题（适用于定点在椭圆的对称轴上等情况）用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角函数最值问题求解，不可轻视这种方法.
变式4
（1） [2021年新课标Ⅰ卷]已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（ C ）
A. 13B. 12C. 9D. 6
解：,，则，所以，当且仅当 时等号成立.故 的最大值为9.故选.
（2） 已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于，两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ B ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
解：设 为椭圆的左焦点，连接，，则四边形 为平行四边形，所以，所以.
不妨取，因为点 到直线 的距离不小于，所以，解得.
所以离心率.
所以,.故选.
例1
（1） 已知的两个顶点分别为，，的周长为18，则点的轨迹方程为（ A ）
A. B.
C. D.
解：由题意,得，
所以点 的轨迹是以，为焦点的椭圆.
设其标准方程为，则，，从而.
又，，三点不共线，所以点 不在 轴上.
故点 的轨迹方程为.故选.
（2） 过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 .
解：（方法一）依题意，设所求椭圆方程为.将点 代入可得，解得（舍去）.所以所求椭圆的标准方程为.
（方法二）椭圆 的焦点为，，即.
由椭圆的定义，知，解得.
由 可得.所以所求椭圆的标准方程为.故填.
【点拨】①椭圆即点集，在运用椭圆的定义时，要注意“”这个条件.②求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于，的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为，求出，的值即可.
变式1
（1） （教材习题）如图所示，圆的半径为定长,是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（ A ）
A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆
解：如图,连接.由已知,得.所以.又因为点 在圆内，所以.
根据椭圆的定义，知点 的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆.故选.
（2） 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,，，，则椭圆的方程为 .
解：依题意，设椭圆方程为.
由 解得
所以椭圆的方程为.故填.
命题角度2 椭圆的焦点三角形
例2 已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且 .若的面积为，则3.
解：因为， ，所以，即.
所以.
所以.
又因为，所以.或直接由公式得.故填3.
【点拨】焦点三角形中,利用定义可求其周长,利用意义和余弦定理可求,,通过整体代入可求其面积.
变式2
（1） 已知椭圆上的一点到焦点的距离为6，是的中点，为坐标原点，则（ C ）
A. 2B. 4C. 7D. 14
解：如图所示，设椭圆的另一焦点为.
因为，分别是 和 的中点，所以.
由椭圆的方程,得,所以，所以，所以.
故选.
（2） [2023年全国甲卷]设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ B ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
解：根据题意，可得.又，，所以.故选.
考点二 椭圆的简单几何性质
命题角度1 求椭圆的离心率
例3 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个顶点，且，则椭圆的离心率（ A ）
A. B. C. D.
解：由题意,得，.
在 中，由余弦定理，得，
可得，即离心率.故选.
【点拨】求椭圆的离心率关键在于构造关于，，的方程，通过代入消去得关于,的齐次式，再转化为关于的方程.求椭圆离心率的取值范围，则往往要借助椭圆的几何性质及平面几何的知识构造不等式.
变式3
（1） [2023年新课标Ⅰ卷]设椭圆，的离心率分别为，.若，则（ A ）
A. B. C. D.
解：由椭圆,可得，，所以.所以椭圆 的离心率为.
因为，所以，所以.
所以，解得.故选.
（2） 已知椭圆的右焦点为，点和所连线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ A ）
A. B. C. D.
解：设,则线段 的中点坐标为,.代入椭圆方程，得,整理得,即.解得 或（舍去）.故选.
命题角度2 与椭圆有关的最值（范围）问题
例4
（1） 已知是椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为 ，最小值为 .
解：由题意，知，，，.
设椭圆右焦点为，则，所以.如图，当,,三点共线时，取到最大值，或者最小值.
所以 的最大值为，最小值为故填；.
（2） [2021年全国乙卷]设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（ A ）
A. B. C. D. 2
解：（方法一）设点.因为,,所以.而,所以当 时，的最大值为.
（方法二）依题意，知,点 在 上.
设,,
所以
,
当 时，取得最大值，且最大值为.
故选.
【点拨】椭圆中距离的最值问题一般有三种解法.①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解（适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率等情况）根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题（适用于定点在椭圆的对称轴上等情况）用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角函数最值问题求解，不可轻视这种方法.
变式4
（1） [2021年新课标Ⅰ卷]已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（ C ）
A. 13B. 12C. 9D. 6
解：,，则，所以，当且仅当 时等号成立.故 的最大值为9.故选.
（2） 已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于，两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ B ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
解：设 为椭圆的左焦点，连接，，则四边形 为平行四边形，所以，所以.
不妨取，因为点 到直线 的距离不小于，所以，解得.
所以离心率.
所以,.故选.
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