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2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何7.5空间向量与立体几何第1课时空间向量及基本应用
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这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何7.5空间向量与立体几何第1课时空间向量及基本应用，共11页。试卷主要包含了空间向量的线性运算，共线、共面向量定理及其应用，空间向量数量积，向量法证明平行、垂直等内容，欢迎下载使用。
例1
（1） 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若的坐标为，则的坐标是 .
解：根据向量 的坐标,可得，，所以.故填 .
（2） 如图所示的空间四边形，其对角线为，，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，则用向量，,表示向量正确的是（ C ）
A. B.
C. D.
解：.故选.
【点拨】用基向量表示指定向量的步骤：①结合已知向量和所求向量观察图形；②将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中；③利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
变式1
（1） 已知空间向量，，则（ A ）
A. B. C. D.
解：.故选 .
（2） 如图,在平行六面体中，,相交于，为的中点，设，，，则（ C ）
A. B.
C. D.
解:由已知,得,,，.故选.
考点二 共线、共面向量定理及其应用
例2 如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点.
（1） 求证：，，，四点共面.
证明：如图，连接，
则，由共面向量定理的推论知，，，四点共面.
（2） 求证：平面.
[答案]因为，所以.又 平面， 平面，所以 平面.
（3） 设是和的交点，求证：对空间任一点，有.
[答案]
如图，找一点，并连接，，，，，，.
由（2）知，同理，所以，即.所以四边形 是平行四边形.
所以，交于一点 且被 平分.
故
.
【点拨】对空间三点，，，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：；②对空间任一点，存在实数，使；③对空间任一点，或，这里.对空间四点，，，，可通过证明下列结论成立来证明四点共面：；②对空间任一点，；③对空间任一点，，其中；.
变式2
（1） 如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足，．判断向量是否与向量，共面．
解：因为，，
所以
，
所以由共面向量定理知向量 与向量，共面．
（2） 已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足．
① 判断，，三个向量是否共面；
解：由已知,得，
所以．
即，
所以，，共面．
② 判断点是否在平面内．
[答案]
由①知，，共面且过同一点，
所以，，，四点共面，从而点 在平面 内．
考点三 空间向量数量积
例3
（1） 已知，，若，则28.
解：由题,知，所以，.则.故填28.
（2） 已知三棱锥的各棱长均为1，且是的中点，则（ D ）
A. B. C. D.
解：如图,由题意，知,是 的中点，故，.故.故选.
【点拨】 空间向量数量积有两种计算方法：①设，，则；②已知两个非零空间向量，，则，.
变式3
（1） 若，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 .
解：设向量，的夹角为 .
因为，，所以.由同角三角函数的关系，得，
所以以，为邻边的平行四边形面积为.故填.
（2） 在空间四边形中，的值（ B ）
A. 恒等于B. 恒等于0
C. 与有关D. 与和有关
解：如图，令，，，则.故选.
考点四 向量法证明平行、垂直
例4 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面 底面，且，设，分别为，的中点.求证：
（1） 平面；
证明：如图，取 的中点，连接，.
因为，所以.
因为侧面 底面，平面 平面，所以 平面.
又，分别为，的中点，所以.
又 是正方形，所以.
因为，所以，.
以 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，0,，，，，，0,，,0，，，,，，,.
因为 为 的中点，所以.
易知平面 的一个法向量为.
因为，且，0，，所以 平面.
（2） 平面.
[答案]
因为，，
所以，
所以，所以.
又，，所以 平面.
【点拨】 证明平行与垂直，一是方向向量与法向量的计算要准确，二是位置关系与向量关系的转化要准确.
变式4 如图，在直三棱柱中， ，，，点在线段上，且，，，分别为，，的中点.求证：
（1） 平面 平面；
证明：以 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，.
设，则，，1，，.
[答案]
因为，，，所以，.所以，，即，.
又，所以 平面.
因为 平面，所以平面 平面.
（2） 平面平面.
[答案]
因为，，，所以，.
所以，.
因为，所以 平面.
又由（1）知 平面，所以平面 平面.
例1
（1） 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若的坐标为，则的坐标是 .
解：根据向量 的坐标,可得，，所以.故填 .
（2） 如图所示的空间四边形，其对角线为，，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，则用向量，,表示向量正确的是（ C ）
A. B.
C. D.
解：.故选.
【点拨】用基向量表示指定向量的步骤：①结合已知向量和所求向量观察图形；②将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中；③利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
变式1
（1） 已知空间向量，，则（ A ）
A. B. C. D.
解：.故选 .
（2） 如图,在平行六面体中，,相交于，为的中点，设，，，则（ C ）
A. B.
C. D.
解:由已知,得,,，.故选.
考点二 共线、共面向量定理及其应用
例2 如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点.
（1） 求证：，，，四点共面.
证明：如图，连接，
则，由共面向量定理的推论知，，，四点共面.
（2） 求证：平面.
[答案]因为，所以.又 平面， 平面，所以 平面.
（3） 设是和的交点，求证：对空间任一点，有.
[答案]
如图，找一点，并连接，，，，，，.
由（2）知，同理，所以，即.所以四边形 是平行四边形.
所以，交于一点 且被 平分.
故
.
【点拨】对空间三点，，，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：；②对空间任一点，存在实数，使；③对空间任一点，或，这里.对空间四点，，，，可通过证明下列结论成立来证明四点共面：；②对空间任一点，；③对空间任一点，，其中；.
变式2
（1） 如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足，．判断向量是否与向量，共面．
解：因为，，
所以
，
所以由共面向量定理知向量 与向量，共面．
（2） 已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足．
① 判断，，三个向量是否共面；
解：由已知,得，
所以．
即，
所以，，共面．
② 判断点是否在平面内．
[答案]
由①知，，共面且过同一点，
所以，，，四点共面，从而点 在平面 内．
考点三 空间向量数量积
例3
（1） 已知，，若，则28.
解：由题,知，所以，.则.故填28.
（2） 已知三棱锥的各棱长均为1，且是的中点，则（ D ）
A. B. C. D.
解：如图,由题意，知,是 的中点，故，.故.故选.
【点拨】 空间向量数量积有两种计算方法：①设，，则；②已知两个非零空间向量，，则，.
变式3
（1） 若，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 .
解：设向量，的夹角为 .
因为，，所以.由同角三角函数的关系，得，
所以以，为邻边的平行四边形面积为.故填.
（2） 在空间四边形中，的值（ B ）
A. 恒等于B. 恒等于0
C. 与有关D. 与和有关
解：如图，令，，，则.故选.
考点四 向量法证明平行、垂直
例4 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面 底面，且，设，分别为，的中点.求证：
（1） 平面；
证明：如图，取 的中点，连接，.
因为，所以.
因为侧面 底面，平面 平面，所以 平面.
又，分别为，的中点，所以.
又 是正方形，所以.
因为，所以，.
以 为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，0,，，，，，0,，,0，，，,，，,.
因为 为 的中点，所以.
易知平面 的一个法向量为.
因为，且，0，，所以 平面.
（2） 平面.
[答案]
因为，，
所以，
所以，所以.
又，，所以 平面.
【点拨】 证明平行与垂直，一是方向向量与法向量的计算要准确，二是位置关系与向量关系的转化要准确.
变式4 如图，在直三棱柱中， ，，，点在线段上，且，，，分别为，，的中点.求证：
（1） 平面 平面；
证明：以 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，.
设，则，，1，，.
[答案]
因为，，，所以，.所以，，即，.
又，所以 平面.
因为 平面，所以平面 平面.
（2） 平面平面.
[答案]
因为，，，所以，.
所以，.
因为，所以 平面.
又由（1）知 平面，所以平面 平面.
