2025高考数学一轮考点突破训练第六章数列专题突破11数列求和

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第六章数列专题突破11数列求和，共6页。试卷主要包含了等差、等比数列求和公式，常见数列的前 项和等内容，欢迎下载使用。

（1）等差数列前项和公式:
.
（2）等比数列前项和公式:

2.常见数列的前 项和
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
核心考点 精准突破
考点一 分组（并项）法求和
例1
（1） 已知数列则其前21项和为 .
解：.故填.
（2） 已知数列的前项和为，且满足，，则（ C ）
A. 0B. C. 1D.
解：.
故选.
【点拨】对一类既不是（或不明显是）等差数列，也不是（或不明显是）等比数列的数列，分组求和法就是将这类数列适当拆开，分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，最后将其合并的方法.并项求和法就是将若干项合并化简，使不易求和的问题得到解决的方法.
变式1
（1） 若数列的通项公式是，则3 036.
解：因为，所以.
所以.
故填3 036.
（2） 已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列.
① 求的通项公式；
解：设 的公差为.由题意，得，即，化简得.又，所以 或（舍去）.故.
② 设，求.
[答案]
由①知当 时，；当 时，.
当 时，.
当 时，


，
所以
考点二 错位相减法求和
例2 [2021年全国乙卷]设是首项为1的等比数列,数列满足.已知,,成等差数列.
（1） 求和的通项公式;
解：设 的公比为,则.
因为,,成等差数列,所以.
解得,故.
又,所以.
（2） 记和分别为和的前项和.证明：.
证明：因为,所以.
又,则.
两边同乘,得.两式相减,得.
所以.
则,故.
【点拨】 错位相减法适用于通项为等差、等比数列乘积的数列（常称“差比数列”）求和,是推导等比数列前项和公式所使用的方法.错位相减法的思维难度并不高，关键是要细心，要能找好两个式子之间的对应项并准确计算.
变式2 [2020年全国Ⅰ卷]设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项.
（1） 求的公比；
解：设 的公比为.由题意,得，,所以.因为,所以.
（2） 若，求数列的前项和.
[答案]
设 的前 项和为，，，,
.
，得,所以.
考点三 裂项相消法求和
例3 [2022年新课标Ⅰ卷]记为数列的前项和，已知,是公差为的等差数列.
（1） 求的通项公式；
解：因为，所以,所以.
又因为 是公差为 的等差数列，
所以,.
当 时，.
所以,
整理得,即.
所以.
显然对于 也成立.
所以 的通项公式为.
（2） 证明：.
证明:,
所以.
【点拨】 裂项相消求和问题是常考题型.裂项是通分的逆变形，裂项时需要注意两点：一是要注意裂项时对系数的调整;二是裂项后，从哪里开始相互抵消，前面留下哪些项，后面对应留下哪些项，应做好处理.等差数列相邻项乘积的倒数裂项是最常见的，即,其中,.除此之外，下面三种也比较常见.指数型：;对数型：;无理型：.
变式3 已知数列是公差大于0的等差数列，,且,,成等比数列.
（1） 求数列的通项公式;
解：设等差数列 的公差为.
由题意,得
即解得
所以.
（2） 设,数列的前项和为,若,求.
[答案]
.
所以.
由,解得.