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2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数2.7函数的应用第2课时函数模型及其应用
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这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数2.7函数的应用第2课时函数模型及其应用，共6页。试卷主要包含了用函数图象刻画变化过程，已知函数模型解决实际问题，建立函数模型解决实际问题等内容，欢迎下载使用。
例1
（1） （2020年全国Ⅰ卷）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到如下的散点图：
由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（ D ）
A. B. C. D.
解：由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是.另外也可以通过分析 中函数图象特征（结合图象变换）知其不可能呈现题中形式.故选.
（2） 某地一天内的气温（单位：）与时刻（单位：）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象是（ D ）
A. B.
C. D.
解：当 时，最高温度不变，最低温度减小，所以温差变大，排除；当 时，前面一段温差不变，后面一段最高温度增大，所以温差变大，排除，故选.
【点拨】 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法.①构建函数模型法.当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.②验证法.根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况（或误差更大者）.
变式1
（1） 三个变量,,随着变量的变化情况如下表：
则关于分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为（ C ）
A. ,,B. ,,C. ,,D. ,,
解：由表，可知 随着 的增大而迅速增大，是指数函数型变化；随着 的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型变化；相对于 的增长要慢一些，相当于 增长要快一些，故 是直线型函数的变化．故选.
（2） 图中实线是某景点收支差额关于游客量的图象，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图象用虚线表示，以下能说明该事实的是（ D ）
A. B.
C. D.
解：对于，当 时，虚线 值减小，说明成本提高了，不满足题意，错误.对于，两函数图象平行，说明票价不变，不合题意，错误.对于，当 时，值不变，说明成本不变，不满足题意，错误.对于，当 时，虚线 值变大，说明成本减小.又虚线的倾斜角变大，说明提高了门票的价格，符合题意，正确.故选.
考点二 已知函数模型解决实际问题
例2 如图是一款民用四旋翼无人机，要直线飞往外的某山谷上空进行航拍.起飞后其飞行距离（单位：）与飞行时间（单位：）近似满足函数关系（ 为自然对数的底数，，为常数）.若该无人机起飞后的飞行距离为，的飞行距离为，预测该无人机到达目标点大约需要飞行（ D ）
A. B. C. D.
解：由题意，得 所以，所以令，即，所以，解得.故选.
【点拨】 生活中遇到的实际问题，其运算往往不简洁，故由所给函数模型解决跨学科领域的交汇问题（常涉及近似计算）是近几年高考热点问题，解此类问题的步骤：①仔细审题，认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；②根据已知条件，利用待定系数法确定模型中的待定系数；③利用该模型求解实际问题.
变式2 点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离（单位： ）的关系式为（单位： ）,为基准距离，取，则从变化到时，衰减量的增加值约为（ C ）
A. B. C. D.
解：.当 从 变化到 时，衰减量的增加值约为.故选.
考点三 建立函数模型解决实际问题
例3 某月饼制造商为了提高2023年中秋节的产品销量，在中秋前夕推出一款新产品，生产该新产品的固定成本为20 000元，每生产一件该新产品需要增加投入100元，根据统计数据，总收益（单位： 元）与月产量（单位： 件）满足
（注：总收益 总成本 利润）
（1） 请将利润（单位： 元）表示成关于月产量（单位： 件）的函数；
解：依题意，总成本是 元，
，即
（2） 当月产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
[答案]
由（1）知，当 时，，
所以当 时，；
当 时，.
故当月产量为300件时，利润最大，最大利润为25 000元.
【点拨】解决函数应用问题的解题步骤.
变式3
（1） 2023年，通过市场调查得到某地肉价在四个月的市场平均价（单位：元/斤）与时间（单位：月）的数据如下：
现有三种函数模型：，，，找出你认为最适合的函数模型，并利用该模型估计2023年12月份的肉价的市场平均价为（ A ）
A. 28元/斤B. 25元/斤C. 23元/斤D. 21元/斤
解：第二组数据近似为，第四组数据近似为，根据四组数据，，，，可得 先增后减，而 和 都是单调函数，不符合要求.所以选，由第二组数据，和第四组数据，可得 的图象关于 对称.故当 时，.故选.
（2） （教材题改编）某地核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率约为.专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时原有的锶90还剩约（ C ）
A. B. C. D.
解：设 年后的锶90的剩余含量为，则，所以.将上式两边取常用对数，得,所以故选.
1
3
5
7
9
11
5
25
45
65
85
105
5
29
245
2 189
19 685
177 149
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.4
8
9
10
11
28.00
33.99
36.00
34.02
例1
（1） （2020年全国Ⅰ卷）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到如下的散点图：
由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（ D ）
A. B. C. D.
解：由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是.另外也可以通过分析 中函数图象特征（结合图象变换）知其不可能呈现题中形式.故选.
（2） 某地一天内的气温（单位：）与时刻（单位：）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象是（ D ）
A. B.
C. D.
解：当 时，最高温度不变，最低温度减小，所以温差变大，排除；当 时，前面一段温差不变，后面一段最高温度增大，所以温差变大，排除，故选.
【点拨】 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法.①构建函数模型法.当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.②验证法.根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况（或误差更大者）.
变式1
（1） 三个变量,,随着变量的变化情况如下表：
则关于分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为（ C ）
A. ,,B. ,,C. ,,D. ,,
解：由表，可知 随着 的增大而迅速增大，是指数函数型变化；随着 的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型变化；相对于 的增长要慢一些，相当于 增长要快一些，故 是直线型函数的变化．故选.
（2） 图中实线是某景点收支差额关于游客量的图象，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图象用虚线表示，以下能说明该事实的是（ D ）
A. B.
C. D.
解：对于，当 时，虚线 值减小，说明成本提高了，不满足题意，错误.对于，两函数图象平行，说明票价不变，不合题意，错误.对于，当 时，值不变，说明成本不变，不满足题意，错误.对于，当 时，虚线 值变大，说明成本减小.又虚线的倾斜角变大，说明提高了门票的价格，符合题意，正确.故选.
考点二 已知函数模型解决实际问题
例2 如图是一款民用四旋翼无人机，要直线飞往外的某山谷上空进行航拍.起飞后其飞行距离（单位：）与飞行时间（单位：）近似满足函数关系（ 为自然对数的底数，，为常数）.若该无人机起飞后的飞行距离为，的飞行距离为，预测该无人机到达目标点大约需要飞行（ D ）
A. B. C. D.
解：由题意，得 所以，所以令，即，所以，解得.故选.
【点拨】 生活中遇到的实际问题，其运算往往不简洁，故由所给函数模型解决跨学科领域的交汇问题（常涉及近似计算）是近几年高考热点问题，解此类问题的步骤：①仔细审题，认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；②根据已知条件，利用待定系数法确定模型中的待定系数；③利用该模型求解实际问题.
变式2 点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离（单位： ）的关系式为（单位： ）,为基准距离，取，则从变化到时，衰减量的增加值约为（ C ）
A. B. C. D.
解：.当 从 变化到 时，衰减量的增加值约为.故选.
考点三 建立函数模型解决实际问题
例3 某月饼制造商为了提高2023年中秋节的产品销量，在中秋前夕推出一款新产品，生产该新产品的固定成本为20 000元，每生产一件该新产品需要增加投入100元，根据统计数据，总收益（单位： 元）与月产量（单位： 件）满足
（注：总收益 总成本 利润）
（1） 请将利润（单位： 元）表示成关于月产量（单位： 件）的函数；
解：依题意，总成本是 元，
，即
（2） 当月产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
[答案]
由（1）知，当 时，，
所以当 时，；
当 时，.
故当月产量为300件时，利润最大，最大利润为25 000元.
【点拨】解决函数应用问题的解题步骤.
变式3
（1） 2023年，通过市场调查得到某地肉价在四个月的市场平均价（单位：元/斤）与时间（单位：月）的数据如下：
现有三种函数模型：，，，找出你认为最适合的函数模型，并利用该模型估计2023年12月份的肉价的市场平均价为（ A ）
A. 28元/斤B. 25元/斤C. 23元/斤D. 21元/斤
解：第二组数据近似为，第四组数据近似为，根据四组数据，，，，可得 先增后减，而 和 都是单调函数，不符合要求.所以选，由第二组数据，和第四组数据，可得 的图象关于 对称.故当 时，.故选.
（2） （教材题改编）某地核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率约为.专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时原有的锶90还剩约（ C ）
A. B. C. D.
解：设 年后的锶90的剩余含量为，则，所以.将上式两边取常用对数，得,所以故选.
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