2025高考数学一轮考点突破训练第一章集合与常用逻辑用语不等式1.5二次函数与一元二次方程不等式第1课时二次函数

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第一章集合与常用逻辑用语不等式1.5二次函数与一元二次方程不等式第1课时二次函数，共7页。试卷主要包含了二次函数的解析式，二次函数的图象，二次函数的单调性，二次函数的最值等内容，欢迎下载使用。
例1 已知二次函数满足,，且的最大值是8,求二次函数的解析式.
解：（方法一）（利用一般式）
设,
由题意，得 解得
所以所求二次函数为.
（方法二）（利用顶点式）
设.因为,
所以抛物线的对称轴为,
所以,又根据题意，函数有最大值，且最大值为8，所以,所以.
因为,即.解得.
所以.
（方法三）（利用零点式）
由已知 的两根为,,即 的两个零点为2,,
故可设,
即.
又函数有最大值，且,即,
解得，
所以所求函数解析式为.
【点拨】 根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，方法如下：
变式1
（1） 已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（ C ）
A. B.
C. D.
解：设，代入，得.则.故选 .
（2） 若函数（常数，）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式 .
解：因为 的值域为，所以，.由 是偶函数，知 的图象关于 轴对称，所以,，所以.又 的值域为，所以.故.故填.
考点二 二次函数的图象
例2 【多选题】如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为.则下面四个结论中正确的是（ AD ）
A. B. C. D.
解:因为图象与 轴交于两点，所以，即，正确.对称轴为，即，，错误.结合图象，当 时，，即，错误.由对称轴为 知，.又函数图象开口向下，所以，所以，即，正确.故选.
【点拨】 ①对于函数，若是二次函数，就隐含，当题目未说明是二次函数时，就要分和两种情况讨论.②在二次函数中，的正负决定抛物线开口的方向（的大小决定开口大小），确定抛物线在轴上的截距，与确定顶点的横坐标（或对称轴的位置）.
变式2 抛物线的顶点在第一象限，与轴的两个交点分别位于原点两侧，则，，的符号为（ B ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
解:由题意，知抛物线开口向下，故.由抛物线与 轴的两个交点分别位于原点两侧，得，所以.再由顶点在第一象限，得，所以.故选.
考点三 二次函数的单调性
例3
（1） 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ D ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
解：①当 时，函数 为一次函数，在 上单调递增.②当 时，依题意，知 且对称轴，解得.又，故.综上，.故选 .
（2） 若二次函数，满足，则下列不等式成立的是 （ B ）
A. B.
C. D.
解：因为，所以 图象的对称轴为.又因为，所以.又，所以.故选.
【点拨】 二次函数的单调性由其图象开口方向及对称轴位置确定，若二次项系数含参数，则往往还需要讨论其正负（开口方向）.
变式3
（1） 若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围为 .
解：由于函数 的图象开口向上，对称轴是，所以要使 在 上是单调函数，应有 或，即 或.故填 .
（2） 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
解：令.由题意，知函数 在区间 上单调递增，所以，则.故选.
考点四 二次函数的最值
例4
（1） 若函数的定义域为，值域为,，则的取值范围是 .
解：函数 图象的对称轴为，且，.由二次函数的图象，知 的取值范围为,.故填 , .
（2） 已知函数在区间上的最大值为2，则的值为（ D ）
A. 2B. 或C. 2或D. 或2
解：函数 图象的对称轴为直线，开口向下.
①当 时，在区间 上单调递减，所以.由，得.
②当 时，在区间 上单调递增，在 上单调递减，所以.由，解得 或.因为，所以两个值都不满足.
③当 时，在区间 上单调递增，所以，所以.
综上，或.故选.
【点拨】 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.要注意数形结合思想讨论，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”（作草图），再“定量”（看图求解），事半功倍.在闭区间上的基本最值如下表.
变式4
（1） 若函数在区间上有最大值3，最小值2，则实数的取值范围为 .
解：作出函数 的图象如图所示.
由图象，知要使函数在 上取得最小值2，则.当 时，；当 时，，所以要使函数取得最大值3，则，故所求 的取值范围为.故填.
（2） 若函数在上存在最小值2，求实数的值.
解：，图象的对称轴为直线
当，即 时，如图1，在 上单调递减，不存在最小值.
当，即 时，如图2，在 上单调递减，在 上单调递增，此时.
当，即 时，如图3，在 上单调递增，此时.由，解得.
综上，.条件



图象



最大、最小值
；

,；

；