2025版高考数学一轮总复习阶段训练6第七章立体几何（附解析）

这是一份2025版高考数学一轮总复习阶段训练6第七章立体几何（附解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列命题错误的是（ B ）
A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
B. 两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 用平面截圆柱得到的截面可能是圆和矩形
D. 棱柱的面中，至少有两个面互相平行
解：对于，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故 正确.
对于，棱台指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何体，其侧棱的延长线需交于一点，故 错误.
对于，用平面截圆柱得到的截面可能是圆和矩形，也可能是椭圆，故 正确.
对于，棱柱的面中，至少上、下两个面互相平行，故 正确.
故选.
2. 若 ， 是两个不同平面，，是两条不同直线，为使命题“ ， ， ， ”成为真命题，横线上应填入（ C ）
A. B. C. D.
解：由题意,得 平行于 与 的交线，因此填入 ，即有，符合题意.故选.
3. 空间四边形中，若，，则（ D ）
A. 平面 平面B. 平面 平面
C. 平面 平面D. 平面 平面
解：因为，，，, 平面，所以 平面．又 平面，所以平面 平面．故选.
4. 一个正方体的展开图如图所示，，，，为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ D ）
A. B. 与相交
C. D. 与所成的角为
解：把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可得，，不正确.图2中，，为 与 所成的角，为等边三角形，所以 .所以正确选项为.故选.
5. 如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为和，高为．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．若不考虑材料厚度，则该“升”的“平升”约可装（ C ）
A. B. C. D.
解：由台体的体积公式，可知，.故选 ．
6. 如图,在正方形中，，分别为边，的中点，连接，，，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥的外接球半径与内切球半径的比值为（ C ）
A. B. C. D.
解：由题意,知，，两两互相垂直，故该三棱锥的外接球，即为以，，为棱的长方体的外接球．
设正方形 的边长为2，外接球半径为.则，，，故，则.
，三棱锥 的表面积.
设内切球球心为，则，所以.则.
故选.
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
7. [2022年全国乙卷改编]在正方体中，，分别为,的中点，则（ BC ）
A. 平面B. 平面 平面
C. 平面D. 平面平面
解：对于，如图1，易证 平面.平面 平面,而过点 有且只有一个平面与 垂直,故 错误.
对于，如图1,在正方体 中，且 平面.又 平面，所以.因为,分别为,的中点，所以，所以.又，所以 平面.又 平面，所以平面 平面，故 正确.
图1
对于，如图2，易得四边形 为平行四边形,则.又,所以.因为 平面, 平面,所以 平面,故 正确.
图2
对于，如图2，取 的中点，显然四边形 为平行四边形，则 由于 平面,且 平面，所以平面 平面 不成立，错误.
故选 .
8. 已知甲、乙两个圆锥侧面展开图的面积相等，母线长分别为和，底面半径分别为和，高分别为和，表面积分别为和，若，则（ BCD ）
A. B. C. D.
解：依题意，得.又，所以，故 错误.
因为，所以甲圆锥的底面积小于乙圆锥的底面积.又两圆锥的侧面积相等，所以，故 正确.
因为，，所以，，所以，故 正确.
因为，所以，所以，故 正确.
故选.
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分.
9. 在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为 .
解：由题意，知 为长方体，所以，且,,共线，即 为体对角线.
所以异面直线 与 所成角为.而，所以在 中，，故.故填 .
10. 如图，在长方体中,若，，则二面角的大小为 ．
解：如图，连接 交 于点，连接.易知四边形 为正方形.
因为,所以.
又 为 的中点，所以.
又因为，所以 是二面角 的平面角．
易得 平面,则.
在 中，，，
则，
所以.
由图，可知二面角 为锐二面角，所以 .
故填 .
四、解答题：本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
11. （13分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面 平面，，，，分别为，的中点.求证：
（1） ；
证明：因为，为 的中点，所以.因为底面 为矩形，所以，所以.
（2） 平面 平面；
[答案]
因为底面 为矩形，所以.
又平面 平面，平面 平面， 平面，所以 平面.
因为 平面，所以.
又，，所以 平面.
因为 平面，所以平面 平面.
（3） 平面.
[答案]
如图，取 的中点，连接，.
因为，分别为，的中点，所以，.
因为四边形 为矩形，且 为 的中点，所以，.
所以，，所以四边形 为平行四边形，所以.
又因为 平面， 平面，所以 平面.
12. （15分）如图，四边形是边长为2的菱形， ，将沿直线折起到的位置，使.
（1） 证明：.
解：证明:如图，连接,与 交于点，连接.
因为四边形 是菱形，所以，即.由翻折性质,可知.
因为， 平面， 平面，所以 平面，所以.
（2） 求与平面所成角的余弦值,及点到平面的距离.
[答案]
设点 到平面 的距离为，点 到平面 的距离为,三棱锥 的体积为.
由，得.
由已知可得.
因为，，所以，所以 ，所以.
则 与平面 所成角的余弦值为.
因为 是边长分别为2，2，3的等腰三角形，所以.
则.
所以点 到平面 的距离为.