2025版高考数学一轮总复习单元检测第六章数列（附解析）

这是一份2025版高考数学一轮总复习单元检测第六章数列（附解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知数列满足，，则（ C ）
A. 5B. 7C. 9D. 11
解：由题意，得,.
故选.
2. 已知为等差数列，，，则公差（ D ）
A. 9B. 6C. 4D. 3
解：由等差数列的性质,可得，则.
故选.
3. 已知正项等比数列满足，，则公比（ A ）
A. 或B. C. D. 2或
解：因为,,所以.得,得 或.又，所以 或.
故选.
4. 已知数列为等比数列，若，则的值为（ C ）
A. 10B. 20C. 100D. 200
解：.
故选.
5. 已知数列的前项和，且是与的等比中项，则（ C ）
A. 39B. 40C. 41D. 42
解：由题意,当 时，.故.又 是 与 的等比中项，所以，且.则.因为，所以,所以.
故选.
6. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ C ）
A. B. C. D.
解：由，得，则.
故选.
7. 设正项等比数列的前项和为，若，则的值为（ D ）
A. 20B. 30C. 79D. 91
解：（方法一）在正项等比数列 中，，，成等比数列，即，，成等比数列，所以，所以，所以.
（方法二）设 的公比为，显然，则由，得，解得.
所以.
（方法三）设 的公比为.由，得，所以，所以.所以.
故选.
8. 记是公比不为1的等比数列的前项和.设甲：，，成等差数列,乙：，，成等差数列,,,,则甲是乙的（ C ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：设等比数列 的首项为，公比为.
若，，成等差数列，则,所以.
化简得，则，即.
所以，，成等差数列.充分性满足.
若，，成等差数列，则，即.
所以,即.
所以，，成等差数列.必要性满足.
综上所述，甲是乙的充要条件.
故选.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列是递增数列，是其公比，下列说法正确的是（ BD ）
A. B. C. D.
解：递增的等比数列包括两种情况,且 和 且.故，.
故选.
10. 设等差数列的公差为，前项和为，若，，，则下列结论正确的是（ BCD ）
A. 数列是递增数列B.
C. D. ，， ，中最大的是
解：对于,,因为，且，所以，.又，所以 解得.所以等差数列 是递减数列，即 错误，正确.
对于,因为，所以，即 正确.
对于,因为等差数列 是递减数列，且，，则，所以,且，即 正确.
故选.
11. 设数列满足,，则（ ACD ）
A. 是递减数列B. 是等比数列
C. D. 当时，
解：因为,，所以.
则，所以，即.
所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列，故 不正确.
，故，所以 是递减数列，故 正确.
，所以，故 正确.
当 时，，故 正确.
故选.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等比数列的前项和满足，且，则9.
解：因为，所以，即.故公比.由等比数列的通项公式,得.
故填9.
13. 《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知；自长排来差三岁，共年二百又零七；借问长儿多少岁？各儿岁数要详推.”在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为11.
解：由题意，得九个儿子的岁数按从幼到长，构成公差 为3的等差数列.前9项的和，解得.
故填11.
14. 将数列与的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列，则2022.
解：数列 的第684项为，数列 的第10项为，第11项为.
又数列 的第674项为，则数列 的前684项中包含数列 的前10项，及数列 的前674项，所以.
故填2 022.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）已知等差数列为递增数列，其前3项和为，前3项积为8.
（1） 求数列的通项公式；
解：设等差数列 的公差为，.
因为等差数列 的前3项和为，前3项积为8，所以
解得 或
因为，所以，.所以.
（2） 求数列的前项和.
[答案]
因为，所以.
所以.
16. （15分）已知等比数列的公比与等差数列的公差相等，且，.
（1） 求，的通项公式；
解：设 的公比为，的公差为.
因为，所以，解得.而，则.
又，，所以.
所以，.
（2） 若，求数列的前项和.
[答案]
由（1），可知.
令数列 的前 项和为，
则，
.
两式相减，得，
则.
所以数列 的前 项和为.
17. （15分）已知数列的前项和为.
（1） 求数列的通项公式；
解：当 时，,当 时，,将 代入上式验证显然适合，所以.
（2） 数列,表示不超过的最大整数，求的前2 024项和.
[答案]
因为,,,，
所以
所以.
18. （17分）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列.
（1） 求数列和数列的通项公式；
解：数列 是以 为首项，为公比的等比数列，数列 是以 为首项，为公差的等差数列，则，
（2） 为了确定处理生活垃圾的预算，求从今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨，，，）.
[答案]
设今年起 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为.
则


.
当 时，，
所以今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.4万吨.
19. （17分）已知各项均不为零的数列的前项和为，且满足．
（1） 证明：数列是等比数列.
证明：由题意，知.
当 时，.
两式相减，得，即.
又因为数列 的各项均不为零，所以数列 是公比为2的等比数列．
（2） 若，，成等差数列，记，数列的前项和为，求证：．
[答案]
由，，成等差数列，可得，即，解得.
所以，.
则.
所以.
又，所以数列 递增.故．