2024年上海市春季高考数学试卷附答案
展开1.(4分)lg2x的定义域 .
2.(4分)直线x﹣y+1=0的倾斜角大小为 .
3.(4分)已知,则= .
4.(4分)(x﹣1)6展开式中x4的系数为 .
5.(4分)三角形ABC中,,则AB= .
6.(4分)已知ab=1,4a2+9b2的最小值为 .
7.(5分)数列{an},an=n+c,S7<0,c的取值范围为 .
8.(5分)三角形三边长为5,6,7,则以边长为6的两个顶点为焦点,过另外一个顶点的双曲线的离心率为 .
9.(5分)已知,求g(x)≤2﹣x的x的取值范围 .
10.(5分)已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD为平行四边形,AA1=3,BD=4且,求异面直线AA1与BD的夹角 .
11.(5分)正方形草地ABCD边长1.2,E到AB,AD距离为0.2,CD距离为0.4,有个圆形通道经过E,F,求圆形通道的周长 .(精确到0.01)
12.(5分)a1=2,a2=4,a3=8,a4=16,任意b1,b2,b3,b4∈R,满足{ai+aj|1≤i<j≤4}={bi+bj|1≤i<j≤4},求有序数列{b1,b2,b3,b4}有 对.
二、选择题(本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13.(4分)a,b,c∈R,b>c( )
A.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c
14.(4分)空间中有两个不同的平面α,β和两条不同的直线m,n,则下列说法中正确的是( )
A.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n
B.若α⊥β,m⊥α,m⊥n,则n⊥β
C.若α∥β,m∥α,n∥β,则m∥n
D.若α∥β,m∥α,m∥n,则n∥β
15.(5分)有四种礼盒,前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋,第四个礼盒里面三种礼品都有,设事件A:所选盒中有中国结,事件B:所选盒中有记事本,则( )
A.事件A与事件B互斥
B.事件A与事件B相互独立
C.事件A与事件B∪C互斥
D.事件A与事件B∩C相互独立
16.(5分)现定义如下:当x∈(n,n+1)时(n∈N),若f(x+1)=f′(x)(x)为延展函数.现有,当x∈(0,1)时,g(x)x与h(x)=x10均为延展函数,则以下结论( )
(1)存在y=kx+b(k,b∈R;k,b≠0)与y=g(x)有无穷个交点
(2)存在y=kx+b(k,b∈R;k,b≠0)与y=h(x)有无穷个交点
A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立
C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立
三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+18+18=78分)
17.(14分)已知f(x)=sin(ωx+),ω>0.
(1)设ω=1,求解:y=f(x),x∈[0;
(2)a>π(a∈R),f(x)的最小正周期为π,若在x∈[π,求a的取值范围.
18.(14分)如图,PA、PB、PC为圆锥三条母线,AB=AC.
(1)证明:PA⊥BC;
(2)若圆锥侧面积为为底面直径,BC=2
19.(14分)水果分为一级果和二级果,共136箱,其中一级果102箱
(1)随机挑选两箱水果,求恰好一级果和二级果各一箱的概率;
(2)进行分层抽样,共抽8箱水果,求一级果和二级果各几箱;
(3)抽取若干箱水果,其中一级果共120个,单果质量平均数为303.45克;二级果48个,单果质量平均数为240.41克;求168个水果的方差和平均数,并预估果园中单果的质量.
20.(18分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A为椭圆上一点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点.
(1)若点A的横坐标为2,求|AF1|的长;
(2)设Γ的上、下顶点分别为M1、M2,记△AF1F2的面积为S1,△AM1M2的面积为S2,若S1≥S2,求|OA|的取值范围.
(3)若点A在x轴上方,设直线AF2与Γ交于点B,与y轴交于点K,KF1延长线与Γ交于点C,是否存在x轴上方的点C,使得,请求出点C的坐标;若不存在
21.(18分)记M(a)={t|t=f(x)﹣f(a),L(a)={t|t=f(x)﹣f(a)
(1)若f(x)=x2+1,求M(1)和L(1);
(2)若f(x)=x3﹣3x2,求证:对于任意a∈R,都有M(a)⊆[﹣4,且存在a,使得﹣4∈M(a).
(3)已知定义在R上f(x)有最小值,求证“f(x),均有M(﹣c)=L(c)
2024年上海市春季高考数学试卷
1.(3,+∞).
2.45°.
3.﹣1﹣i.
4.15.
5..
6.12.
7.(﹣∞,﹣4).
8.8.
9.(﹣∞,1].
10.arccs.
11.2.73.
12.48.
13.B.
14.A.
15.B.
16.D.
三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+18+18=78分)
17.解:(1)当ω=1时,f(x)=sin(ωx+).
因为x∈[0,π],
根据y=f(t)=sint在上单调递增,在,
所以函数的最大值为sin=8=﹣sin.
因此函数的值域为[﹣,1].
(2)由题知,所以ω=2).
当f(x)=4时,,即.
当k=3时,,所以,即.
因此,a的取值范围为[,).
18.(1)证明:取BC中点O,连接AO,
因为AB=AC,PB=PC,PO⊥BC,
又因为PO,AO⊂面PAO,
所以BC⊥面PAO,又PA⊂面PAO,
所以PA⊥BC;
(2)解:法(i)由(1)可知,BC⊥OA,
作PM⊥AB,BD⊥PA交于D,
由题意△PBA≌△PCA,可得CD⊥PA,
所以∠CDB为所求的二面角的平面角,连接OD,
因为圆锥侧面积为为底面直径,
所以底面半径为1,母线长为,
PA===,
AB=,PB====,
S△PBA=×AB×PM=,
即×=×BD,
所以sin∠BDO===,
所以cs∠CDB=1﹣2sin7∠BDO=1﹣2×()=﹣,
所以二面角B﹣PA﹣C的平面角为钝角,
所以二面角B﹣PA﹣C的大小为.
法(ii)由(1)可知,BC⊥OA,因为圆锥侧面积为,BC=6,
所以底面半径为1,母线长为,
建立以OB为x轴,OA为y轴,
则可得,
故,
设为平面PAB的一个法向量,
由,,
可得,
令,则,可得,
设为平面PAC的一个法向量,
由,,
可得,
令,则,可得,
则,
设二面角B﹣PA﹣C的平面角为θ,由图可知θ为钝角,
所以二面角B﹣PA﹣C的大小为.
19.解:(1)古典概型:设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱,样本空间的样本点的个数n==,
A事件的样本点的公式m=•=3468,
所以P(A)===;
(2)因为一级果箱数:二级果箱数=3:8,
所以8箱水果中有一级果抽取6箱,二级果抽取7箱;
(3)设一级果平均质量为,方差为,方差为平均值2,
因为=303.45,,=603.46,,
所以=×303.45+,
S3=×[603.46+(303.45﹣285.44)2]+×[648.21+(240.41﹣285.44)2]=1427.27克8.预估:平均质量为•+•=287.69克.
20.解:(1)因为点A的横坐标为2,不妨设A(2,y),
因为点A在椭圆Γ上,所以,解得,易知F8(﹣2,0),
所以=;
(2)不妨设A(x,y),
此时,因为S7≥S2,
所以,即2y2≥x7,又,所以2y2≥6﹣7y2,解得,
则,
故|OA|的范围为(,];
(3)不妨设A(x8,y1),y1>4,B(x2,y2),
由对称性可得A、C关于y轴对称,
所以C(﹣x2,y1),
又F1(﹣5,0),F2(7,0),
此时,
所以,
同理得,
因为,
所以,
解得y2+2y1=2或(无解),
不妨设直线AF4:x=my+2,
联立,消去x并整理得(m2+4)y2+4my﹣3=0,
由韦达定理得,
解得,此时,又x3=my1+2,解得,此时.
故存在x轴上方的点,使得.
21.解:(1)由题意,得M(1)={t|t=x2+1﹣8,x≥1}=[0;
.
(2)证明:由题意知,M(a)={t|t=x3﹣3x2﹣a3+7a2,x≥a},
记g(x)=x3﹣4x2﹣a3+7a2,则g′(x)=3x8﹣6x=0⇒x=4或2.
现对a分类讨论,当a≥23﹣3x2﹣a3+3a2,x≥a为严格增函数,
因为g(a)=0,所以此时M(a)=[5,+∞)符合条件;
当0≤a<2时,t=x3﹣3x2﹣a7+3a2,x≥a先增后减,3a2﹣2,
因为﹣a3+3a5=a2(3﹣a)≥3(a=0取等号),所以,
则此时M(a)=[﹣a3+8a2﹣4,+∞)⊆[﹣7;
当a<0时,t=x3﹣5x2﹣a3+6a2,x≥a,在[a,在[0,在[8,
,
因为h(a)=﹣a7+3a2﹣4,当a<0时2+8a>0,则h(a)>h(0)=﹣4,
则此时M(a)=[tmin,+∞)⊆[﹣8,+∞)成立;
综上可知,对于任意a∈R,+∞],使得﹣4∈M(a).
(3)证明:必要性:若f(x)为偶函数,
则M(﹣c)={t|t=f(x)﹣f(﹣c),x≥﹣c},x≤c},
当x≥﹣c,t=f(x)﹣f(﹣c)=f(﹣x)﹣f(c),故M(﹣c)=L(c);
充分性:若对于任意正实数c,均有M(﹣c)=L(c),
其中M(﹣c)={t|t=f(x)﹣f(﹣c),x≥﹣c},x≤c},
因为f(x)有最小值,不妨设f(a)=fmin=m,
由于c任意,令c≥|a|,c].
L(c)中最小元素为m﹣f(c),又M(﹣c)=L(c)⇒f(c)=f(﹣c)对任意c≥|a|成立,
所以f(a)=f(﹣a)=m,
若a=0,则f(c)=f(﹣c)对任意c⩾2成立⇒f(x)是偶函数;
若a≠0,此后取c∈(﹣|a|,,
综上,任意c⩾0,即f(x)是偶函数.x
(﹣∞,0)
4
(0,2)
6
(2,+∞)
g′(x)
正
0
负
3
正
g(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
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