2024年山东省济南市章丘区博雅新世纪实验学校中考数学模拟试卷

这是一份2024年山东省济南市章丘区博雅新世纪实验学校中考数学模拟试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）实数﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023B．﹣2023C．D．﹣
2．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金1100亿元．数据“1100亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×1012B．1.1×1011C．11×1010D．0.11×1012
4．（4分）下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）若方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根．则c的值不可能是（ ）
A．10B．6C．3D．﹣5
6．（4分）一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y3＞y2＞y1C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2
8．（4分）我校举办“校园好声音”比赛，决定从两名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AC为直径，半径OD∥BC，连接OB，AD．若∠AOB＝140°，则∠BAD的度数为（ ）
A．75°B．70°C．55°D．50°
10．（4分）如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜B．＜m＜3C．1＜m＜3D．＜m＜1
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
11．（4分）因式分解：3m2﹣3＝ ．
12．（4分）现有一个不透明的袋子中装有除颜色不同之外，质地均匀的小球，白球8个，若干个红球．现从中摸出一球，摸到红球的概率为，则袋中有红球 个．
13．（4分）计算：＝ ．
14．（4分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 ．
15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E．已知，则阴影部分的面积为 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合并相交于点O．已知下列结论：①四边形BFDE是菱形；②△EOD∽△DCB；③若∠ABE＝30°，则DE＝2CF；④BD⋅EF＝AE⋅AB．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17．计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．如图，已知平行四边形ABCD中，F、G是AB边上的两个点，且FC平分∠BCD，GD平分∠ADC，FC与GD相交于点E，求证：AF＝GB．
20．2022年4月29日，湖北日报联合夏风教室发起“劳动最光荣，加油好少年”主题活动．某校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如下不完整的统计图（如图）．请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？
（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受．请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率．
21．如图，已知AC、AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B、C两点，AD过圆心O且与⊙O交于E、D两点，OB平分∠AOC．
（1）求证：△ACD∽△ABO；
（2）过点E的切线交AC于F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．[提示：（+1）（﹣1）＝1]
22．我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
23．某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，B种纪念品每件进价是A种纪念品每件进价的1.5倍，用600元购买A种纪念品的数量比用同样金额购买B种纪念品的数量多10件．
（1）求A、B两种纪念品的每件进价分别为多少元？
（2）若该商店A种纪念品每件售价25元，B种纪念品每件售价37元，该商店准备购进A、B两种纪念品共40件，且A种纪念品不少于30件，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大利润为多少元？
24．如图，反比例函数y＝的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B（﹣1，a），射线AC与x轴交于点E，与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求DC的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△APE与△ACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．
25．在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．
（1）如图1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的长；
（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若AB＝4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′D+A′C最小时，求S△A′BC．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），点P是抛物线上的动点（不与点A，B，C重合）．设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）若点P在第三象限，且tan∠CPD＝2，求m的值；
（3）连接PC，直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求m的值．
2024年山东省济南市章丘区博雅新世纪实验学校中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）实数﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023B．﹣2023C．D．﹣
【分析】利用绝对值的意义求解．
【解答】解：因为负数的绝对值等于它的相反数；
所以，﹣2023的绝对值等于2023．
故选：A．
【点评】本题考查绝对值的含义．即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，可得选项D的图形．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．（4分）据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金1100亿元．数据“1100亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1.1×1012B．1.1×1011C．11×1010D．0.11×1012
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：1100亿＝110000000000＝1.1×1011．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（4分）下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．
5．（4分）若方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根．则c的值不可能是（ ）
A．10B．6C．3D．﹣5
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出c的范围，即可作出判断．
【解答】解：∵方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即（﹣c）2﹣4×1×4＝c2﹣16＞0，
整理得：（c+4）（c﹣4）＞0，
解得：c＞4或c＜﹣4，
则c的值不可能是3．
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
6．（4分）一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球，1个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：画树状图如下：
总计有6种可能结果，其中我们关注的事件两个都是红球的情况有2种，
∴随机摸出两个球，恰好都是红球的概率为：＝．
故选：B．
【点评】此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（4分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y3＞y2＞y1C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2
【分析】根据k＞0，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较．
【解答】解：∵k＞0，
∴反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小，
∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴点A在第三象限，B、C在第一象限，
∴y1＜y3＜y2；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
8．（4分）我校举办“校园好声音”比赛，决定从两名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】列举出所有等可能的情况数，让选出的恰为一男一女的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中一男一女的情况有8种，
则选出的恰为一男一女的概率是＝．
故选：D．
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率，解答此题的关键是用树形法列举出所有可能的情况，再根据概率公式解答．
9．（4分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AC为直径，半径OD∥BC，连接OB，AD．若∠AOB＝140°，则∠BAD的度数为（ ）
A．75°B．70°C．55°D．50°
【分析】先求出，∠BOC＝40°，得出∠BOD＝110°，然后再根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵＝，∠AOB＝140°，
∴，∠BOC＝180°﹣∠AOB＝40°，
∵OD∥BC，
∴∠DOC＝∠C＝70°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝40°+70°＝110°．
∵＝，
∴，
故选：C．
【点评】此题考查平行线的性质，圆周角定理，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
10．（4分）如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜B．＜m＜3C．1＜m＜3D．＜m＜1
【分析】根据图象可以判断当直线y＝﹣x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，求出两个临界值即可．
【解答】解：y＝2x2﹣8x+6，
令y＝0，
即2x2﹣8x+6＝0，
解得x＝1或3，
则A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移两个单位得到C2，
则C2的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6（3≤x≤5），
由图象知当直线y＝﹣x+m在过B点和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，
∴①当y＝﹣x+m与C2相切时，
令y＝﹣x+m＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6，
即2x2﹣15x+30﹣m＝0，
∴△＝8m﹣15＝0，
解得m＝，
②当y＝﹣x+m'过点B时，
即0＝﹣3+m'，
解得m'＝3，
综上，当＜m＜3时，直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数和一次函数的知识，正确找出临界值是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
11．（4分）因式分解：3m2﹣3＝ 3（m﹣1）（m+1） ．
【分析】首先提公因式3，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝3（m2﹣1）＝3（m﹣1）（m+1），
故答案为：3（m﹣1）（m+1）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12．（4分）现有一个不透明的袋子中装有除颜色不同之外，质地均匀的小球，白球8个，若干个红球．现从中摸出一球，摸到红球的概率为，则袋中有红球 16 个．
【分析】首先设红球有x个，利用概率公式即可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：设红球有x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝16，
经检验x＝16是方程的解．
故答案为：16．
【点评】此题考查了概率公式的应用．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（4分）计算：＝ a+2 ．
【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝
＝
＝a+2．
故答案为：a+2．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（4分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 62°或118° ．
【分析】由切线的性质求得∠PAO＝∠PBO＝90°，由多边形内角和定理求得∠AOB＝124°，根据圆周角定理即可求得答案．
【解答】解：如图，连接CA，BC，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°，
由圆周角定理知，∠ACB＝∠AOB＝62°．
当点C在劣弧AB上时，
由圆内接四边形的性质得∠ACB＝118°，
故答案为：62°或118°．
【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关定理是解决问题的关键．
15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E．已知，则阴影部分的面积为 ．
【分析】连接OD，证S△OCE＝S△ODE即可得S阴＝S扇ODB，利用扇形面积公式即可求解．
【解答】解：如图：连接OD，
∵AO是⊙O的半径，CD⊥AB于点E，
∴，
又∵OD和OC为⊙O的半径，即OD＝OC，
∴△ODE≌△OCE（HL），
∴S阴＝S扇ODB．
设⊙O半径为r，在Rt△OED中，OD2＝OE2+DE2，
∴，
解得r＝4，
∴OE＝2，
∴，
∴∠DOE＝60°，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出∠EOD＝60°是解题关键．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合并相交于点O．已知下列结论：①四边形BFDE是菱形；②△EOD∽△DCB；③若∠ABE＝30°，则DE＝2CF；④BD⋅EF＝AE⋅AB．
其中正确的结论是 ①②③ （填写所有正确结论的序号）．
【分析】首先根据矩形的性质得到AB∥CD，进而得到∠DEF＝∠BFE，然后根据折叠的性质得到BF＝DF，BE＝DE，∠BFE＝∠DFE，等量代换得到∠DEF＝∠DFE，进而得到BE＝DE＝DF＝BF，证明出四边形BFDE是菱形，即可判断①；根据矩形的性质和折叠的性质得到∠ADB＝∠DBC，∠DOE＝90°＝∠C，即可证明出△EOD∽△DCB，进而判断②；根据三角形内角和定理得到∠AEB＝90°﹣30°＝60°，然后由菱形的性质得到BE∥DF，DE＝DF，进而求出∠FDC＝90°﹣∠ADF＝30°，然后利用含30°角直角三角形的性质和等量代换得到DE＝2CF，即可判断③；首先根据题意得到，，然后假设BD⋅EF＝AE⋅AB，得到2DE＝AE，然后由题意得到2DE≠AE，进而判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合并相交于点O，
∴BF＝DF，BE＝DE，∠BFE＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF，
∴BE＝DE＝DF＝BF，
∴四边形BFDE是菱形，故①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合并相交于点O，
∴∠DOE＝90°＝∠C，
∴△EOD∽△DCB，故②正确；
∵∠ABE＝30°，∠A＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣30°＝60°，
∵四边形BFDE是菱形，
∴BE∥DF，DE＝DF，
∴∠ADF＝∠AEB＝60°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FDC＝90°﹣∠ADF＝30°，
∵∠C＝90°，
∴DF＝2CF，
∵DE＝DF，
∴DE＝2CF，故③正确；
∵，，
若BD⋅EF＝AE⋅AB，
∴S菱形＝S△ABE，
∴，
∴2DE＝AE，
而由题意的，2DE≠AE，故④错误．
综上所述，其中正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
【点评】此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，菱形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17．计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝1+4×﹣2+3
＝1+2﹣2+3
＝4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式的解集为：＜x≤3，
在数轴上表示为：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
19．如图，已知平行四边形ABCD中，F、G是AB边上的两个点，且FC平分∠BCD，GD平分∠ADC，FC与GD相交于点E，求证：AF＝GB．
【分析】由平行四边形的性质及角平分线的性质不难得出AG＝AD，BF＝BC，再由AD＝BC，即可求解．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，
∵DG、CF分别平分∠ADC、∠BCD，
∴∠ADG＝∠CDG，∠DCF＝∠BCF，
又∵∠CDG＝∠AGD，∠DCF＝∠BFC，
∴∠ADG＝∠AGD，∠BCF＝∠BFC，
∴AG＝AD，BF＝BC，
又∵AD＝BC，
∴AG＝BF，
∴AF＝GB．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，注意掌握平行四边形的性质是关键．
20．2022年4月29日，湖北日报联合夏风教室发起“劳动最光荣，加油好少年”主题活动．某校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如下不完整的统计图（如图）．请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 200 名学生，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？
（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受．请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率．
【分析】（1）从两个统计图中可知，样本中参与“做饭”的有40人，占调查人数的20%，由频率＝可以求出调查人数，进而求出参与“扫地”的频数，补全条形统计图；
（2）用样本中参与“洗衣服”的所占的百分比估计总体中参与“洗衣服”的百分比，进而求出相应的人数；
（3）用列表法表示从甲、乙、丙、丁四个人中选择2个人所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
【解答】解：（1）40÷20%＝200（名），200﹣40﹣50﹣30﹣20＝60（名），
故答案为：200，补全条形统计图如下：
（2）1200×＝300（名），
答：该校1200名学生中参与“洗衣服”的学生约有300名；
（3）从甲、乙、丙、丁四个人中选择2个人所有可能出现的结果情况如下：
共有12种可能出现的结果，其中甲、乙同时被抽中的有2种，
所以甲、乙同时被抽中的概率为＝．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．
21．如图，已知AC、AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B、C两点，AD过圆心O且与⊙O交于E、D两点，OB平分∠AOC．
（1）求证：△ACD∽△ABO；
（2）过点E的切线交AC于F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．[提示：（+1）（﹣1）＝1]
【分析】（1）由题意可得∠BOE＝∠AOC＝∠D，且∠A＝∠A，即可证△ACD∽△ABO；
（2）由切线的性质和勾股定理可求CD的长，由相似三角形的性质可求AE＝3，由平行线分线段成比例可得，即可求EF的值．
【解答】证明：（1）∵OB平分∠AOC
∴∠BOE＝∠AOC
∵OC＝OD
∴∠D＝∠OCD
∵∠AOC＝∠D+∠OCD
∴∠D＝∠AOC
∴∠D＝∠BOE，且∠A＝∠A
∴△ACD∽△ABO
（2）∵EF切⊙O于E
∴∠OEF＝90°
∵EF∥OC
∴∠DOC＝∠OEF＝90°
∵OC＝OD＝3
∴CD＝＝3
∵△ACD∽△ABO
∴
∴
∴AE＝3
∵EF∥OC
∴
∴
∴EF＝6﹣3
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，勾股定理，求出AE的长是本题的关键．
22．我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，
（2）由（1）的关系式，即y≥240，结合二次函数的性质即可求x的取值范围
（3）由题意可知，利润不超过80%即为利润率＝（售价﹣进价）÷进价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求．
【解答】解：
由题意
（1）y＝（x﹣5）（100﹣×5）＝﹣10x2+210x﹣800
故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+210x﹣800
（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，
∴y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5＝240
解得，x1＝8，x2＝13
∵﹣10＜0，抛物线的开口向下，
∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13
（3）∵每件文具利润不超过80%
∴，得x≤9
∴文具的销售单价为6≤x≤9，
由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5
∵对称轴为x＝10.5
∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大
∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280
即每件文具售价为9元时，最大利润为280元
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得．
23．某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，B种纪念品每件进价是A种纪念品每件进价的1.5倍，用600元购买A种纪念品的数量比用同样金额购买B种纪念品的数量多10件．
（1）求A、B两种纪念品的每件进价分别为多少元？
（2）若该商店A种纪念品每件售价25元，B种纪念品每件售价37元，该商店准备购进A、B两种纪念品共40件，且A种纪念品不少于30件，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大利润为多少元？
【分析】（1）设A种纪念品的进价为x元，B纪念品的进价为1.5元，根据600元购买A种纪念品的数量比用同样金额购买B种纪念品的数量多10件得出方程求出答案；
（2）设总利润为W元，根据利润＝每件利润×数量建立W与a之间的关系式，由一次函数的性质求出其解即可．
【解答】解：（1）设A种纪念品的进价为x元，则B纪念品的进价为1.5x元，由题意，得
＝+10，
解得：x＝20，
经检验得：x＝20是原方程的根，
故1.5x＝30，
答：A、B两种纪念品的进价分别为20元，30元；
（2）设购进A种纪念品a件，总利润为W元，由题意，得
W＝（25﹣20）a+（37﹣30）（40﹣a），
＝﹣2a+280．
∴k＝﹣2＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝30时，W最大＝220元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
24．如图，反比例函数y＝的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B（﹣1，a），射线AC与x轴交于点E，与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求DC的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△APE与△ACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据反比例函数y＝的图象经过点，即可得到结论；
（2）过点B作BM⊥AD于M，把B（﹣1，a）代入得，得到B（﹣1，2），求得AM＝BM＝2﹣1，得到∠DAC＝75°﹣45°＝30°，于是得到结论；
（3）如图，①当AP⊥x轴时，△APE∽△CDA，②当AP⊥AE时，△APE∽△DCA根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）过点B作BM⊥AD于M，把B（﹣1，a）代入得，
∴B（﹣1，2），
∴AM＝BM＝2﹣1，
∴∠BAM＝45°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°，
∴CD＝AD•tan∠DAC＝2×＝2；
（3）存在，
如图，∵OC＝CD﹣OD＝1，
∴OE＝OC＝，
①当AP⊥x轴时，△APE∽△CDA，则：OP1＝AD＝2，
∴P1（﹣2，0），
②当AP⊥AE时，△APE∽△DCA，∵AP1＝1，∠AP2P1＝90°﹣30°＝60°∴
则，
综上所述，满足条件点P的坐标为（﹣2，0），（﹣，0）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．
（1）如图1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的长；
（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若AB＝4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′D+A′C最小时，求S△A′BC．
【分析】（1）通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；
（2）通过作辅助线，构造全等三角形，设AC＝a，利用中位线定理，解直角三角形，用a的代数式表示CD和HG，即可得CD与HG的数量关系；
（3）构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定A'（4）的位置，继而求得相关三角形的面积．
【解答】解：（1）过D作DG⊥BC，垂足是G，如图1：
∵将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，
∴∠EBD＝90°，
∵∠ABE＝75°，
∴∠ABD＝15°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DBC＝30°，
∴在直角△BDG中有DG＝＝2，＝，
∵∠ACB＝45°，
∴在直角△DCG中，CG＝DG＝2，
∴BC＝BG+CG＝，
∴AC＝BC＝；
（2）线段DC与线段HG的数量关系为：HG＝，
证明：延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G作GM⊥AB于M，如图：
∴∠END＝90°，
由旋转可知∠EBD＝90°，
∴∠EDB＝45°
∴∠END＝∠EBD＝90°，
∴E，B，D，N四点共圆，
∴∠BNE＝∠EDB＝45°，∠NEB+∠BDN＝180°
∵∠BDC+∠BDN＝180°，∠BCD＝45°，
∴∠BEN＝∠BDC，
∴∠BNE＝45°＝∠BCD，
在△BEN和△BDC中，
，
∴△BEN≌△BDC（AAS），
∴BN＝BC，
∵∠BAC＝90°，
在等腰△BNC中，由三线合一可知BA是CN的中线，
∵∠BAC＝∠END＝90°，
∴EN∥AB，
∵A是CN的中点，
∴F是EC的中点，
∵G是BC的中点，
∴FG是△BEC的中位线，
∴FG∥BE，FG＝BE，
∵BE⊥BD，
∴FG⊥BD，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BFG＝60°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BGF＝75°，
设AC＝a，则AB＝a，
在Rt△ABD中，AD＝，BD＝BE＝，
∴FG＝BE，
∴FG＝，
∵GM⊥AB，
∴△BGM是等腰三角形，
∴MG＝MB＝，
在Rt△MFG中，∠MFG＝60°，
∴MF＝MG，
∴MF＝，
∴BF＝BM+MF＝，
在Rt△BFH中，∠BFG＝60°，
∴FH＝＝a，
∴HG＝FG﹣FH＝﹣a＝，
又∵CD＝＝，
∴＝，
∴HG＝；
（3）设AB＝a，则BC＝，取BC的中点N，连接A′D，A′C，A′N，连接DN，如图3，
由旋转可知A′B＝AB＝a，
∵＝＝，＝＝，
∴，
又∠A'BN＝∠CBA'，
∴△A′BN∽△CBA′，
∴＝，
∴A'N＝A'C，
根据旋转和两点之间线段最短可知，最小，即是A'D+A'N最小，此时D、A'、N共线，即A'在线段DN上，
设此时A'落在A''处，过A''作A''F⊥AB于F，连接AA''，如图4，
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴DN是△ABC的中位线，
∴DN∥AB，
∵AB⊥AC，
∴DN⊥AC，
∵∠A＝∠A''FA＝∠A''DA＝90°，
∴四边形A''FAD是矩形，
∴AF＝A''D，A''F＝AD＝2，
∵又A''B＝AB＝4，
设AF＝x，
在直角三角形A''FB中，A''B2＝A''F2+BF2，
∴42＝22+（4﹣x）2，
解得x＝．
∴此时S△A''BC＝S△ABC﹣S△AA''B﹣S△A''AC＝AB•AC﹣AB•A''F﹣AC•A''D＝×4×4﹣×4×2﹣×4×（4﹣2）＝4﹣4．
【点评】此题主要考查全等三角形判定，等腰三角形的三线合一，解直角三角形，四点共圆，几何最值的阿氏圆模型等知识，综合性强，难度较大，属于压轴题，解得关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），点P是抛物线上的动点（不与点A，B，C重合）．设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）若点P在第三象限，且tan∠CPD＝2，求m的值；
（3）连接PC，直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求m的值．
【分析】（1）利用待定系数解答即可；
（2）设，过点C作CG⊥PD于点G，得PG＝．利用，求出m的值；
（3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可．
【解答】解：（1）已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），
把点C（0，﹣4）代入，得c＝﹣4．
把点A（1，0）代入，得．
∴抛物线的函数解析式为．
（2）点P是抛物线上的动点（不与点A，B，C重合）．设点P的横坐标为m，则，
如图1，过点C作CG⊥PD于点G，
则∠PGC＝∠CGD＝90°．
∵C（0，﹣4），
∴OC＝4．
过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，
∴∠PDO＝90°．
又∵∠DOC＝90°，
∴四边形DOCG是矩形，
∴DG＝OC＝4，DO＝CG＝﹣m，
∴
＝．
∵点P在第三象限，且tan∠CPD＝2，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴m的值是．
（3）设．
对于，
当y＝0时，，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴B（﹣3，0）．
∵OC＝4，
∴由勾股定理得．
当点P在第三象限时，如图2，过点E作EF⊥y轴于点F，
则四边形DEFO是矩形，
∴EF＝DO＝﹣m．
∵点E与点E′关于PC对称，
∴∠ECP＝∠E′CP，CE＝CE′．
∵PE∥y轴，
∴∠EPC＝∠E′CP，
∴∠EPC＝∠ECP，
∴PE＝CE，
∴PE＝CE′，∴四边形PECE′是平行四边形，
∴四边形PECE′是菱形．
∵EF∥OA，
∴△CEF∽△CBO，
∴，
即，
∴．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（﹣3，0），C（0，﹣4）代入，
得，
解得，
∴直线BC的解析式为．
∴，
∴．
又，且PE＝CE，
∴．
解得（不合题意，舍去）．
当点P在第二象限时，如图3，
同理可得．
解得（不合题意，舍去）．
综上，m的值是或．
【点评】此题考查了二次函数综合题，数形结合和分类讨论是解题的关键．