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广东省佛山市禅城区明德中英文学校2023—2024学年八年级下学期数学期中测试
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这是一份广东省佛山市禅城区明德中英文学校2023—2024学年八年级下学期数学期中测试，共14页。试卷主要包含了剪纸艺术是中国优秀的传统文化等内容，欢迎下载使用。
1．剪纸艺术是中国优秀的传统文化．在下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
2．若分式2-xx+5有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣5B．x＝5C．x≠2D．x＝2
3．在数轴上表示不等式3x+32＞3的解集，下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．2x﹣4y＝2（x﹣2y）
C．x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1D．6x2y3＝2x2•3y3
5．一个多边形是五边形，它的内角和是（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
6．等腰三角形中，有一个内角为100°，则该等腰三角形的底角为（ ）
A．50°B．40°C．50°或40°D．100°
7．已知a＞b，则下列四个不等式不一定成立的是（ ）
A．ac2＞bc2B．ac2+1＞bc2+1
C．﹣a＜﹣bD．a-2＞b-2
8．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校10km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了20min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为x km/h，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．10x+13=103xB．10x=103x+13
C．10x+20=103xD．10x=103x+20
9．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（ ）
A．3B．2C．1D．1.5
10．如图，△A1B1C1中，A1B1＝3.5，A1C1＝2.5，B1C1＝2．点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；……；依此类推，则第2022个三角形的周长是（ ）
A．122015B．122016C．122017D．122018
二．填空题（共6小题,每题3分，共18分）
11．因式分解：2n3﹣18n＝ ．
12．分式12xy2，13x2的最简公分母是 ．
13．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝ 度．
14．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，若BD＝5，△ABC的周长为38，则△BCE的周长为 ．
15．一次函数y＝ax+b的图象经过（2，﹣1）和（3，0），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为 ．
16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
第13题图 第14题图 第16题图
三．解答题（共9小题，共72分）
（4分）17．解不等式组：x-1＞2xx-13≤x+19
（4分）18．化简求值aa2+2a+1÷(1-aa+1)，其中a＝2．
（6分）19．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣5，﹣3），C（0，﹣1）．将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形A1B1C1．
（1）画出平移后的三角形A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）求三角形ABC的面积．
（6分）20．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．求四边形ABCD的面积．
（8分）21．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF．
（1）求证DF∥BE；
（2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数．
（10分）22．垃圾分类齐参与，美好生活共创建．为巩固创文成果，某社区计划购买甲，乙两种型号的垃圾桶，已知每个甲型垃圾桶比每个乙型垃圾桶少40元，且300元购买甲型垃圾桶的数量与500元购买乙型垃圾桶的数量相同．
（1）求甲、乙两种型号的垃圾桶的单价；
（2）若需购买甲，乙两种型号的垃圾桶共100个，总费用不超过8500元，至少需购买甲型垃圾桶多少个？
（10分）23．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
（12分）24．【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝46，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+3b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝ ；
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4①表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个棱长为y的小正方体，小明由图2操作得到启发，请你根据分割如图4②的操作，写出一个数学等式： ．
【解决问题】（5）分解因式：a3﹣8＝ ，a3+b3＝ ．
（12分）25．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF=2AE；
2023-2024学年初二下学期期中质量检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．剪纸艺术是中国优秀的传统文化．在下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2．若分式2-xx+5有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣5B．x＝5C．x≠2D．x＝2
【解答】解：由题可知，
x+5≠0，
解得x≠﹣5．
故选：A．
3．在数轴上表示不等式3x+32＞3的解集，下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：解不等式3x+32＞3得，
x＞1．
用数轴表示如下，
．
故选：B．
4．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．2x﹣4y＝2（x﹣2y）
C．x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1D．6x2y3＝2x2•3y3
【解答】解：A．等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．一个多边形是五边形，它的内角和是（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
【解答】解：这个五边形的内角和等于180°×（5﹣2）＝540°．
故选：C．
6．等腰三角形中，有一个内角为100°，则该等腰三角形的底角为（ ）
A．50°B．40°C．50°或40°D．100°
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°＝200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故选：B．
7．已知a＞b，则下列四个不等式不一定成立的是（ ）
A．ac2＞bc2B．ac2+1＞bc2+1
C．﹣a＜﹣bD．a+5＞b+5
【解答】解：A．当c＝0时，ac2＝bc2，故此选项符合题意；
B．不等式a＞b的两边同时除以一个正数（c2+1＞0），不等号的方向不变，即ac2+1＞bc2+1，故此选项不符合题意；
C．不等式a＞b的两边同时乘﹣1，不等号的方向改变，即﹣a＜﹣b，故此选项不符合题意；
D．不等式a＞b的两边同时加上5，不等号的方向不变，即a+5＞b+5，故此选项不符合题意．
故选：A．
8．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校10km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了20min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为x km/h，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．10x+13=103xB．10x=103x+13
C．10x+20=103xD．10x=103x+20
【解答】解：∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为x km/h，
∴汽车的速度为3x km/h，
根据题意得：10x=103x+13．
故选：B．
9．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（ ）
A．3B．2C．1D．1.5
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB＝7，DO＝OB，
∴∠APD＝∠CDP，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP，
∴∠ADP＝∠APD，
∴AP＝AD＝4，
∴PB＝AB﹣AP＝7﹣4＝3，
∵O是BD中点，E是PD中点，
∴OE是△DPB的中位线，
∴OE=12PB＝1.5．
故选：D．
10．如图，△A1B1C1中，A1B1＝3.5，A1C1＝2.5，B1C1＝2．点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；……；依此类推，则第2022个三角形的周长是（ ）
A．122015B．122016C．122017D．122018
【解答】解：∵A1B1＝3.5，A1C1＝2.5，B1C1＝2，
∴△A1B1C1的周长为3.5+2.5+2＝8．
∵点A2，B2分别是边B1C1，A1C1的中点，
∴A2B2是△A1B1C1的中位线，
∴A2B2=12A1B1，同理可得，A2C2=12A1C1，B2C2=12B1C1，
∴△A2B2C2的周长=12△A1B1C1的周长，
则第三个三角形的周长为12×12△A1B1C1的周长=122△A1B1C1的周长，
……
则第2022个三角形的周长为122021△A1B1C1的周长，即122021×8=122018．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．因式分解：2n3﹣18n＝ 2n（n+3）（n﹣3） ．
【解答】解：2n3﹣18n＝2n（n2﹣9）＝2n（n+3）（n﹣3）．
故答案为：2n（n+3）（n﹣3）．
12．分式12xy2，13x2的最简公分母是 6x2y2 ．
【解答】故答案为：6xy2．
13．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝ 35 度．
【解答】解：由题意得：∠BOD＝50°，
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝50°﹣15°＝35°，
故答案为：35．
14．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，若BD＝5，△ABC的周长为38，则△BCE的周长为 28 ．
【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴AB＝2AD＝2BD＝2×5＝10，
∵△ABC的周长为38，
∴AC+BC＝38﹣10＝28，
△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝38﹣AB＝28．
故答案为：28．
15．一次函数y＝ax+b的图象经过（2，﹣1）和（3，0），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为 x＞3 ．
【解答】解：一次函数的图象如图所示，
由函数图象可知，
当x＞3时，一次函数的图象在x轴上方，即ax+b＞0，
所以不等式ax+b＞0的解集为x＞3．
故答案为：x＞3．
16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 4或5 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
【解答】解：根据题意有AP＝t cm，CQ＝2t cm，PD＝（12﹣t）cm，BQ＝（15﹣2t）cm．
①∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，
解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
②AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
∵AD∥BC，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案为：4或5．
三．解答题（共10小题）
17．解不等式组：x-1＞2xx-13≤x+19
【解答】解：x-1＞2x①x-13≤x+19②，
由①得：x＜﹣1；
由②得：x≤2，
所以：原不等式组的解集为：x＜﹣1．
18．化简求值aa2+2a+1÷(1-aa+1)，其中a＝2．
【解答】解：aa2+2a+1÷(1-aa+1)
=a(a+1)2÷a+1-aa+1
=a(a+1)2•（a+1）
=aa+1，
当a＝2时，原式=22+1=23．
19．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣5，﹣3），C（0，﹣1）．将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形A1B1C1．
（1）画出平移后的三角形A1B1C1；并写出点B1的坐标；
（2）求三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，三角形A1B1C1即为所作B1（0，0）；
（2）三角形ABC的面积=5×5-12×2×5-12×2×3-12×3×5=192．
20．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．求四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，
∴AC＝2AB＝6，
由勾股定理得：BC=AC2-AB2=62-32=33，
∵AC2+CD2＝62+82＝100，AD2＝102＝100，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
=12×3×33+12×6×8
=932+24．
21．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF．
（1）求证DF∥BE；
（2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵CF＝AE，
∴DE＝BF，∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DF∥BE．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=12∠ABC＝35°，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴∠EBF＝∠EDF＝35°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝35°．
22．垃圾分类齐参与，美好生活共创建．为巩固创文成果，某社区计划购买甲，乙两种型号的垃圾桶，已知每个甲型垃圾桶比每个乙型垃圾桶少40元，且300元购买甲型垃圾桶的数量与500元购买乙型垃圾桶的数量相同．
（1）求甲、乙两种型号的垃圾桶的单价；
（2）若需购买甲，乙两种型号的垃圾桶共100个，总费用不超过8500元，至少需购买甲型垃圾桶多少个？
【解答】解：（1）设乙种型号的垃圾桶的单价为x元/个，
则甲种型号的垃圾桶的单价为 （x﹣40）元/个，
根据题意，列方程得：
300x-40=500x，
解得：x＝100，
经检验，x＝100 是原方程的解，
则 x﹣40＝100﹣40＝60（元），
答：甲、乙两种型号的垃圾桶的单价分别为60元/个，100元/个．
（2）设购买甲型垃圾桶m个，则购买乙型垃圾桶 （100﹣m） 个，
根据题意，列不等式得：
60m+100（100﹣m）≤8500，
解得 m≥3712，
∵m为整数
∴m的最小值为38
∴至少需购买甲型垃圾桶38个．
23．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，OE＝OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD＝OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF，
∴OE＝4EF．
24．【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝46，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+3b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝ 15 ；
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4①表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个棱长为y的小正方体，小明由图2操作得到启发，请你根据分割如图4②的操作，写出一个数学等式： x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2） ．
【解决问题】（5）分解因式：a3﹣8＝ （a﹣2）（a2+2a+4） ，a3+b3＝ （a+b）（a2﹣ab+b2） ．
【解答】解：【知识生成】（1）由题意得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c＝13，ab+bc+ac＝46，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac）
＝132﹣2×46
＝77；
（3）∵（2a+3b）（a+2b）＝2a2+7ab+6b2，
∴x＝2，y＝6，z＝7，
∴x+y+z＝2+6+7＝15，
故答案为：15；
【知识迁移】（4）由题意得：x3﹣y3＝x2（x﹣y）+xy（x﹣y）+y2（x﹣y）＝（x﹣y）（x2+xy+y2），
故答案为：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）；
【解决问题】（5）a3﹣8＝（a﹣2）（a2+2a+4）；
a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；
故答案为：（a﹣2）（a2+2a+4）；（a+b）（a2﹣ab+b2）．
25．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF=2AE；
【解答】（1）解：如图1，连接CP，
由旋转知，CF＝CG，∠FCG＝90°，
∴△FCG为等腰直角三角形，
∵点P是FG的中点，
∴CP⊥FG，
∵点D是BC的中点，
∴DP=12BC，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝22，
∴BC=2AB＝4，
∴DP＝2；
（2）证明：如图2，
过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，
∴∠AEH＝90°，
由旋转知，EG＝EF，∠FEG＝90°，
∴∠FEG＝∠AEH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝45°，
∴∠H＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD，
∴AE＝HE，
∴△EGA≌△EFH（SAS），
∴AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，
∵AB⊥AC，HE⊥AC，
∴AB∥HE，
∴∠AMF＝∠HEF，
∵△EGA≌△EFH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵∠AGN＝∠AEG，
∴∠AGN＝∠HEF，
∴∠AGN＝∠AMF，
∵GN＝MF，
∴△AGN≌△AMF（AAS），
∴AG＝AM，
∵AG＝FH，
∴AM＝FH，
∴AF+AM＝AF+FH＝AH=2AE；
1．剪纸艺术是中国优秀的传统文化．在下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
2．若分式2-xx+5有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣5B．x＝5C．x≠2D．x＝2
3．在数轴上表示不等式3x+32＞3的解集，下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．2x﹣4y＝2（x﹣2y）
C．x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1D．6x2y3＝2x2•3y3
5．一个多边形是五边形，它的内角和是（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
6．等腰三角形中，有一个内角为100°，则该等腰三角形的底角为（ ）
A．50°B．40°C．50°或40°D．100°
7．已知a＞b，则下列四个不等式不一定成立的是（ ）
A．ac2＞bc2B．ac2+1＞bc2+1
C．﹣a＜﹣bD．a-2＞b-2
8．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校10km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了20min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为x km/h，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．10x+13=103xB．10x=103x+13
C．10x+20=103xD．10x=103x+20
9．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（ ）
A．3B．2C．1D．1.5
10．如图，△A1B1C1中，A1B1＝3.5，A1C1＝2.5，B1C1＝2．点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；……；依此类推，则第2022个三角形的周长是（ ）
A．122015B．122016C．122017D．122018
二．填空题（共6小题,每题3分，共18分）
11．因式分解：2n3﹣18n＝ ．
12．分式12xy2，13x2的最简公分母是 ．
13．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝ 度．
14．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，若BD＝5，△ABC的周长为38，则△BCE的周长为 ．
15．一次函数y＝ax+b的图象经过（2，﹣1）和（3，0），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为 ．
16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
第13题图 第14题图 第16题图
三．解答题（共9小题，共72分）
（4分）17．解不等式组：x-1＞2xx-13≤x+19
（4分）18．化简求值aa2+2a+1÷(1-aa+1)，其中a＝2．
（6分）19．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣5，﹣3），C（0，﹣1）．将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形A1B1C1．
（1）画出平移后的三角形A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）求三角形ABC的面积．
（6分）20．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．求四边形ABCD的面积．
（8分）21．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF．
（1）求证DF∥BE；
（2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数．
（10分）22．垃圾分类齐参与，美好生活共创建．为巩固创文成果，某社区计划购买甲，乙两种型号的垃圾桶，已知每个甲型垃圾桶比每个乙型垃圾桶少40元，且300元购买甲型垃圾桶的数量与500元购买乙型垃圾桶的数量相同．
（1）求甲、乙两种型号的垃圾桶的单价；
（2）若需购买甲，乙两种型号的垃圾桶共100个，总费用不超过8500元，至少需购买甲型垃圾桶多少个？
（10分）23．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
（12分）24．【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝46，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+3b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝ ；
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4①表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个棱长为y的小正方体，小明由图2操作得到启发，请你根据分割如图4②的操作，写出一个数学等式： ．
【解决问题】（5）分解因式：a3﹣8＝ ，a3+b3＝ ．
（12分）25．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF=2AE；
2023-2024学年初二下学期期中质量检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．剪纸艺术是中国优秀的传统文化．在下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2．若分式2-xx+5有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣5B．x＝5C．x≠2D．x＝2
【解答】解：由题可知，
x+5≠0，
解得x≠﹣5．
故选：A．
3．在数轴上表示不等式3x+32＞3的解集，下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：解不等式3x+32＞3得，
x＞1．
用数轴表示如下，
．
故选：B．
4．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．2x﹣4y＝2（x﹣2y）
C．x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1D．6x2y3＝2x2•3y3
【解答】解：A．等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．一个多边形是五边形，它的内角和是（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
【解答】解：这个五边形的内角和等于180°×（5﹣2）＝540°．
故选：C．
6．等腰三角形中，有一个内角为100°，则该等腰三角形的底角为（ ）
A．50°B．40°C．50°或40°D．100°
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°＝200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故选：B．
7．已知a＞b，则下列四个不等式不一定成立的是（ ）
A．ac2＞bc2B．ac2+1＞bc2+1
C．﹣a＜﹣bD．a+5＞b+5
【解答】解：A．当c＝0时，ac2＝bc2，故此选项符合题意；
B．不等式a＞b的两边同时除以一个正数（c2+1＞0），不等号的方向不变，即ac2+1＞bc2+1，故此选项不符合题意；
C．不等式a＞b的两边同时乘﹣1，不等号的方向改变，即﹣a＜﹣b，故此选项不符合题意；
D．不等式a＞b的两边同时加上5，不等号的方向不变，即a+5＞b+5，故此选项不符合题意．
故选：A．
8．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校10km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了20min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为x km/h，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．10x+13=103xB．10x=103x+13
C．10x+20=103xD．10x=103x+20
【解答】解：∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为x km/h，
∴汽车的速度为3x km/h，
根据题意得：10x=103x+13．
故选：B．
9．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为（ ）
A．3B．2C．1D．1.5
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB＝7，DO＝OB，
∴∠APD＝∠CDP，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP，
∴∠ADP＝∠APD，
∴AP＝AD＝4，
∴PB＝AB﹣AP＝7﹣4＝3，
∵O是BD中点，E是PD中点，
∴OE是△DPB的中位线，
∴OE=12PB＝1.5．
故选：D．
10．如图，△A1B1C1中，A1B1＝3.5，A1C1＝2.5，B1C1＝2．点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；……；依此类推，则第2022个三角形的周长是（ ）
A．122015B．122016C．122017D．122018
【解答】解：∵A1B1＝3.5，A1C1＝2.5，B1C1＝2，
∴△A1B1C1的周长为3.5+2.5+2＝8．
∵点A2，B2分别是边B1C1，A1C1的中点，
∴A2B2是△A1B1C1的中位线，
∴A2B2=12A1B1，同理可得，A2C2=12A1C1，B2C2=12B1C1，
∴△A2B2C2的周长=12△A1B1C1的周长，
则第三个三角形的周长为12×12△A1B1C1的周长=122△A1B1C1的周长，
……
则第2022个三角形的周长为122021△A1B1C1的周长，即122021×8=122018．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．因式分解：2n3﹣18n＝ 2n（n+3）（n﹣3） ．
【解答】解：2n3﹣18n＝2n（n2﹣9）＝2n（n+3）（n﹣3）．
故答案为：2n（n+3）（n﹣3）．
12．分式12xy2，13x2的最简公分母是 6x2y2 ．
【解答】故答案为：6xy2．
13．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝ 35 度．
【解答】解：由题意得：∠BOD＝50°，
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝50°﹣15°＝35°，
故答案为：35．
14．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，若BD＝5，△ABC的周长为38，则△BCE的周长为 28 ．
【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴AB＝2AD＝2BD＝2×5＝10，
∵△ABC的周长为38，
∴AC+BC＝38﹣10＝28，
△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝38﹣AB＝28．
故答案为：28．
15．一次函数y＝ax+b的图象经过（2，﹣1）和（3，0），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为 x＞3 ．
【解答】解：一次函数的图象如图所示，
由函数图象可知，
当x＞3时，一次函数的图象在x轴上方，即ax+b＞0，
所以不等式ax+b＞0的解集为x＞3．
故答案为：x＞3．
16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 4或5 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
【解答】解：根据题意有AP＝t cm，CQ＝2t cm，PD＝（12﹣t）cm，BQ＝（15﹣2t）cm．
①∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，
解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
②AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
∵AD∥BC，
∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案为：4或5．
三．解答题（共10小题）
17．解不等式组：x-1＞2xx-13≤x+19
【解答】解：x-1＞2x①x-13≤x+19②，
由①得：x＜﹣1；
由②得：x≤2，
所以：原不等式组的解集为：x＜﹣1．
18．化简求值aa2+2a+1÷(1-aa+1)，其中a＝2．
【解答】解：aa2+2a+1÷(1-aa+1)
=a(a+1)2÷a+1-aa+1
=a(a+1)2•（a+1）
=aa+1，
当a＝2时，原式=22+1=23．
19．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣5，﹣3），C（0，﹣1）．将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形A1B1C1．
（1）画出平移后的三角形A1B1C1；并写出点B1的坐标；
（2）求三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，三角形A1B1C1即为所作B1（0，0）；
（2）三角形ABC的面积=5×5-12×2×5-12×2×3-12×3×5=192．
20．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．求四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，
∴AC＝2AB＝6，
由勾股定理得：BC=AC2-AB2=62-32=33，
∵AC2+CD2＝62+82＝100，AD2＝102＝100，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
=12×3×33+12×6×8
=932+24．
21．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF．
（1）求证DF∥BE；
（2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵CF＝AE，
∴DE＝BF，∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DF∥BE．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=12∠ABC＝35°，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴∠EBF＝∠EDF＝35°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝35°．
22．垃圾分类齐参与，美好生活共创建．为巩固创文成果，某社区计划购买甲，乙两种型号的垃圾桶，已知每个甲型垃圾桶比每个乙型垃圾桶少40元，且300元购买甲型垃圾桶的数量与500元购买乙型垃圾桶的数量相同．
（1）求甲、乙两种型号的垃圾桶的单价；
（2）若需购买甲，乙两种型号的垃圾桶共100个，总费用不超过8500元，至少需购买甲型垃圾桶多少个？
【解答】解：（1）设乙种型号的垃圾桶的单价为x元/个，
则甲种型号的垃圾桶的单价为 （x﹣40）元/个，
根据题意，列方程得：
300x-40=500x，
解得：x＝100，
经检验，x＝100 是原方程的解，
则 x﹣40＝100﹣40＝60（元），
答：甲、乙两种型号的垃圾桶的单价分别为60元/个，100元/个．
（2）设购买甲型垃圾桶m个，则购买乙型垃圾桶 （100﹣m） 个，
根据题意，列不等式得：
60m+100（100﹣m）≤8500，
解得 m≥3712，
∵m为整数
∴m的最小值为38
∴至少需购买甲型垃圾桶38个．
23．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，OE＝OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD＝OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF，
∴OE＝4EF．
24．【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝46，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+3b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝ 15 ；
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4①表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个棱长为y的小正方体，小明由图2操作得到启发，请你根据分割如图4②的操作，写出一个数学等式： x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2） ．
【解决问题】（5）分解因式：a3﹣8＝ （a﹣2）（a2+2a+4） ，a3+b3＝ （a+b）（a2﹣ab+b2） ．
【解答】解：【知识生成】（1）由题意得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c＝13，ab+bc+ac＝46，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac）
＝132﹣2×46
＝77；
（3）∵（2a+3b）（a+2b）＝2a2+7ab+6b2，
∴x＝2，y＝6，z＝7，
∴x+y+z＝2+6+7＝15，
故答案为：15；
【知识迁移】（4）由题意得：x3﹣y3＝x2（x﹣y）+xy（x﹣y）+y2（x﹣y）＝（x﹣y）（x2+xy+y2），
故答案为：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）；
【解决问题】（5）a3﹣8＝（a﹣2）（a2+2a+4）；
a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；
故答案为：（a﹣2）（a2+2a+4）；（a+b）（a2﹣ab+b2）．
25．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF=2AE；
【解答】（1）解：如图1，连接CP，
由旋转知，CF＝CG，∠FCG＝90°，
∴△FCG为等腰直角三角形，
∵点P是FG的中点，
∴CP⊥FG，
∵点D是BC的中点，
∴DP=12BC，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝22，
∴BC=2AB＝4，
∴DP＝2；
（2）证明：如图2，
过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，
∴∠AEH＝90°，
由旋转知，EG＝EF，∠FEG＝90°，
∴∠FEG＝∠AEH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝45°，
∴∠H＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD，
∴AE＝HE，
∴△EGA≌△EFH（SAS），
∴AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，
∵AB⊥AC，HE⊥AC，
∴AB∥HE，
∴∠AMF＝∠HEF，
∵△EGA≌△EFH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵∠AGN＝∠AEG，
∴∠AGN＝∠HEF，
∴∠AGN＝∠AMF，
∵GN＝MF，
∴△AGN≌△AMF（AAS），
∴AG＝AM，
∵AG＝FH，
∴AM＝FH，
∴AF+AM＝AF+FH＝AH=2AE；
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