上海市宝山区2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷

这是一份上海市宝山区2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷，共9页。试卷主要包含了可使用符合规定的计算器答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；
2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4.可使用符合规定的计算器答题.
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为__________.
2.在等差数列中，，则的值是__________.
3.若双曲线的一条渐近线方程为，则实数__________.
4.若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为__________.
5.经过点，且与直线平行的直线的方程为__________.
6.已知向量，则在方向上的投影向量为__________.
7.如图，在四面体中，是的中点，，设，则__________.（用表示）
8.中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了__________里.
9.在数列中，，且，则__________.
10.抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为__________.
11.已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，直线与圆相切，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为__________.
12.我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为__________.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得多分.
13.“”是“曲线表示椭圆”的（ ）条件
A.充分非必要 B.必要非充分
C.充要 D.既非充分又非必要
14.已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A. B.
C.或 D.与相交但不垂直
15.已知曲线，过点作该曲线的5条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16.已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
三､解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知直线和直线.
（1）若，求实数的值：
（2）若，求实数的值.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项.
（1）求数列的通项公式：
（2）若是数列的前项和，求的最小值.
19.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2①小题满分5分，第2②小题满分7分）
从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴，其中分别是轴､轴､轴正方向的单位向量.
（1）计算的值，
（2）若向量，则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.
已知
①求的值；
②求的面积：
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且.
（1）求证：；
（2）当为钝角时，求实数的取值范围；
（3）若二面角的大小为，求点到平面的距离.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，左､右焦点分别为，过右焦点的直线交椭圆于点，且的周长为16.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线的斜率分别为，证明：为定值：
（3）记的面积分别为，求的取值范围.
2023学年第二学期期末
高二年级数学学科教学质量监测试卷
参考答案
1. 2.12 3.9 4. 5. 6.
7. 8.96 9.5 10. 11. 12.
13.B 14.C 15.B 16.A
17.解：（1）
若，则
解得或；
（2）若，则
解得或1
时，，满足；
时，，此时与重合（舍）
所以
18.解：（1）设等差数列的公差为，由题意
即，解得，
所以，
即数列的通项公式为
（2）
.
因为为严格增数列，
所以时，有最小值
19.解：（1）
同理
所以.
（2）①
所以
②
同理
等腰三角形中，可计算得边上的高为，
所以的面积为
20.解：以点为坐标原点，分别为轴､轴､轴建立坐标系，则
（1）
因为
所以
（2），
从而
所以.
当为钝角时，
化简得
所以
显然不平行
所以
（3）
设是平面的一个法向量，则
令，则，则
又平面的一个法向量为
则有.
解得
又由已知，所以.
所以
由
所以点到平面的距离为.
21.解：（1）由的周长为16可知：，即
又离心率为所以
.
所以椭圆的方程为：
（2）设
设直线的方程为：.
联立得：
所以.
所以，即：
又，则
所以为定值.
（3）由题意可知：
由（2）知.
所以
.
令，则
则
因为在上严格增，
所以当，即时，取得最大值为.
所以的取值范围是.