专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）-2023-2024学年七年级数学下册常见几何模型（苏科版）

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拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：蛇形模型（“5”字模型）
基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.

图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB.

∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
例1．（2023·江苏扬州·校考二模）已知，如图，，，，那么 ．

例2．（2023下·上海松江·七年级校考期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的是，第二次拐弯处的角是，第三次拐弯处的是，这时道路恰好是和第一次拐弯之前的道路平行，则 ．
例3．（2023下·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知直线，为平面内一点，连接，．则、、之间的等量关系为 ．

例4．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．

例5．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（ ）

A． B． C． D．
例6．（2023下·陕西汉中·七年级校考期中）如图，已知直线，P是平面内一点，连接．

(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，若，求的度数；
(3)如图③，试判断和之间的数量关系，并说明理由．
例7．（2023下·重庆璧山·七年级校联考阶段练习）已知：点A、C、B不在同一条直线上，．
(1)如图①，当，时，求的度数；
(2)如图②，AQ、BQ分别为、的平分线所在直线，试探究与的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，且有，，直接写出的值．
例8．（2023下·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知．
【初步感知】如图，若，求的度数；
【拓展延伸】如图，点E，F在两平行线之间，求证：；
【类比探究】如图，，若，求的度数．

课后专项训练
1．（2023下·山东青岛·七年级校考期末）如图，，，，的度数为（ ）

A．B．C．D．
2．（2023下·辽宁大连·七年级统考期中）如图，，，，则的度数为（ ）

A．138°B．42°C．52°D．128°
3．（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，若，则、、之间关系是（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·河北衡水·九年级校考期中）如图，一艘快艇向正东方向行驶至点A时，接到指令向右转航行到B处，再向左转航行至C处．若该快艇到达点C后仍向正东方向行驶，则在点C处调整的航向是（ ）
A．向左转B．向左转C．向右转D．向右转
5．（2023下·四川广元·七年级校联考期中）如图，，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．（2023下·江苏苏州·七年级苏州市平江中学校校考阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023下·河南郑州·七年级统考期中）如图，如果，那么（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·陕西榆林·校考三模）如图，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
9．（2023下·吉林松原·八年级校联考期中）如图，如果，则、、之间的关系为（ ）

A． B． C． D．
10．（2023下·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若，，，则的度数是（ ）
A．115°B．130°C．140°D．150°
11．（2023·江西·九年级校考阶段练习）如图于点D，将绕点A逆时针旋转，使，则的最小值为 ．
12．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）如图，，，垂足为点D．若，则 度．
13．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为 ．

14．（2023下·陕西榆林·七年级校考期中）如图，，，，若，，则的度数为 ．

15．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，，，则 ．
16．（2023上·四川达州·八年级校考期末）如图，已知，，，则 ．
17．（2023下·河南安阳·七年级统考期末）完成下面的证明．
如图，，，，求证：．

证明：∵（已知）
∴______（ ）
∵（已知）
∴______（ ）
∴______（ ）
∵（已知）
∴______（ ）
∴（ ）．
18．（2023·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，已知，且，试探究与的数量关系．

19．（2023下·江西南昌·七年级校考期末）如图，，求∠B，∠C，∠BEC三者之间的数量关系．

20．（2023下·福建厦门·七年级校考期中）如图1，已知，点B为平面内一点，过点B作于点D，于B．(1)若，则______．(2)求证：
(3)如图2，在射线上，当平分时，求与的数量关系．

21．（2023下·河北秦皇岛·七年级校考期中）（1）问题背景：
如图1，已知，写出与之间的数量关系，并说明理由．
（2）知识迁移：如图2，，，则___°．
（3）方法应用：如图3，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是___．
22．（2023下·吉林松原·七年级统考期中）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现：，请你写出证明过程；
（2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：．
（3）解决问题：如图③，，，，则________．（直接写出结论，不用写计算过程）
23．（2023下·湖南娄底·七年级统考阶段练习）已知点，分别在和上，且．

(1)如图1，若，，则的度数为_____；若，，则的度数为______；(2)如图2，探究、和三个角之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，若，平分，平分，作，求的度数．
24．（2023下·湖北荆州·七年级校考期中）如图，，点，，，不在同一条直线上．
(1)如图，求证：
(2)如图，直线，交于点，且，．
①试探究与的数量关系；②如图，延长交射线于点，若，，则的度数为 用含的式子表示．