专题07 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型-2023-2024学年七年级数学下册常见几何模型（苏科版）

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模型1、“8”字模型

图1 图2
8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重庆·八年级假期作业）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D

例2．（2023春·山东七年级课时练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
例3．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市龙华中学校考期末）（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系： ；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 个；

（3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数；
（4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．
例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：；
(3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：．
例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论．
我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．
(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：
如图2，、分别平分、，说明：．
(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：
①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．


模型2、“A”字模型

结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ．
例2．（2022·福建泉州·九年级校考期中）如图，，若，那么（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
例4．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）．
A．B．C．D．
例5．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于_______．
（2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，求的值．
（3）如图2，请你归纳猜想与的关系是______，并说明理由．
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系并说明理由．
例6．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
应用上面模型解决问题：
(1)如图（2），“五角星”形，求？
分析： 图中是“A”型图，于是，所以= ；
(2)如图（3），“七角星”形，求；
(3)如图（4），“八角星”形，可以求得= ；
模型3、三角板模型
【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
例1．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图：和是两块直角三角尺，两直角三角尺的斜边AB、DE在同一直线上，其中，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
例2．（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为 ．

例3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
例4．（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当时，；②逐渐变小；③若直线与直线交于点M，则为定值；④若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有 ．（填序号）

例5．（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒．
(1)当______秒时，；当______秒时，；
(2)在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若有两个内角相等，求的值；
(3)当边与边、分别交于点、时，如图3，连接，设，，，试问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

课后专项训练
1．（2023·海南·七年级校考期中）如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长交于F，那么图中的度数是（ ）度．
A．75B．90C．100D．105
2．（2023·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）如图，将△ABD沿∠BAC的角平分线AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，若∠BAC＝120°，∠EDC＝20°，那么∠C等于（ ）
A．15°B．20°C．30°D．40°
3．（2023·湖北孝感·八年级统考期中）一副三角板如图所示放置，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
4．（2023秋·辽宁锦州·八年级统考期末）如图，这是一副三角板叠放在一起的示意图，则图中等于（ ）

A．B．C．D．
5．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）是的平分线，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·江西赣州·八年级校联考期中）如图所示，已知△ABC为直角三角形，若沿图中虚线剪去∠B，∠1+∠2 =270°，则∠B等于（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
7．（2023秋·海南海口·九年级校考期末）将一个直角三角板与一个直尺按如图所示的方式摆放，若，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在中，，点P是AB边上的一个动点（不与顶点A、B重合）．则的度数可能是（ ）

A．B．C．D．
9．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图，的度数为（ ）

A．B．C．D．
10．（2022秋·七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当，且点E在直线的上方时，他发现若 ，则三角板有一条边与斜边平行．
11．（2023·江苏七年级期中）如图，、的平分线交于，；、的平分线交于，；如此下去，、的平分线的交角为；…若，，则为 度．
12．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）如图，是的外角的平分线，且交延长线于点E，，则 °．
13．（2023春·河南南阳·七年级校联考阶段练习）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于 度．

14．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）如图，四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ．
15．（2023·山东临沂·八年级统考期末）如图，在等边中，将沿虚线剪去，则 °．
16．（2023·江苏·七年级统考期末）如图，，点E、F在上．若，则 ．

17．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，，则 ．

18．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
19．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，的度数是 ．
20．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）综合与探究：将两块三角尺按图1摆放，固定三角尺，将三角尺绕点C按顺时针方向旋转，其中，，设旋转角为
．
(1)当时（如图2），求的值；
(2)当时（如图3），与相交于点F，求的值；
(3)当时，连结（如图4），直线与相交于点F，试探究的大小是否改变？若不改变，请求出此定值；若改变，请说明理由．
21．（2023·安徽淮北·八年级统考期末）如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点D、E、F．
(1)若，则 ．(2)、、有什么数量关系？请说明理由．
22．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期中）将三角尺（，）放置在上（点在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点和点，我们来研究与是否存在某种数量关系．
(1)特例探究：若，则________度，________度．
(2)类比探究：、、的关系是 ___________________．
(3)变式探究：如图②所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边、仍恰好经过点和点，探究、、的关系(只要求直接写出结论)：____________________．
23．（2023春·广东深圳·七年级深圳实验学校中学部校考期中）探究题
(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______；
(2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______；
(3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；
(4)如图4，如果，，当时，则的度数为______．