专题08 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型-2023-2024学年七年级数学下册常见几何模型（苏科版）

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模型1：高分线模型

条件：AD是高，AE是角平分线 结论：∠DAE=
例1．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（ ）
A．5°B．4°C．8°D．6°
例2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，平分交于点E，过点A作，垂足为D，过点E作，垂足为F．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD的长度；（2）△ACE和△ABE的周长的差．
例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，．(1)求的度数．(2)试写出与关系式，并证明．(3)如图，F为AE的延长线上的一点，于D，这时与的关系式是否变化，说明理由．

模型2：双垂直模型
结论：①∠A=∠C ；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。
例1．（2023·河北保定·八年级校联考阶段练习）如图，，都是的高，则与一定相等的角是（ ）

A．B．C．D．
例2．（2023·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．(1)求的度数．(2)若，求的长．

模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)
结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。
例1．（2023·江西鹰潭·七年级阶段练习）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠ACD＝∠B．
例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC是直角三角形．
例3．（2023·北京通州·八年级统考期末）如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
例4．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）已知，在中，，是角平分线，D是上的点，、相交于点F．
(1)若时，如图所示，求证：；(2)若时，试问还成立吗？若成立说明理由；若不成立，请比较和的大小，并说明理由．

课后专项训练
1．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在中，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的高，是的平分线．，．则等于（ ）

A．B．C．D．
3．（2023下·陕西西安·七年级校考期中）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
4．（2023下·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，钝角中，为钝角，为边上的高，为的平分线，则与、之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．（2023下·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在中，是高，是角平分线，是中线与相交于，以下结论正确的有（ ）

①；②；③；④；
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023上·山东滨州·八年级统考期末）如图所示，在中，、分别是、边上的高，并且、交于点P，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·河南漯河·八年级校考阶段练习）如图，在中，分别是边上的高，则图中与相等的角有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．（2023下·重庆江北·七年级校考期中）如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论中不正确的是（ ）

A． B． C． D．
10．（2023下·广东深圳·八年级统考开学考试）如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点F，下面说法：①；②；③；④．其中正确的说法有（ ）个．

A．1B．2C．3D．4
11．（2023下·山东东营·七年级校考阶段练习）如图在中，是边上的高，分别是和的平分线，它们相交于点O，，则的度数是 ．

12．（2023上·甘肃兰州·八年级校联考期末）如图，在中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，，交于G，交于H，下列结论：①；②；③．其中正确的是 ．
13．（2023下·山西大同·八年级校考开学考试）如图，在中，，，，分别是边，上的高，且，则的长为 ．

14．（2023下·湖南永州·九年级统考期中）如图所示，在锐角△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，
求证： ．
15．（2023上·河北廊坊·八年级校考期中）如图，在中，为钝角，是边上的高，是的平分线．(1)画出边上的高；(2)若，，求的度数；
(3)若，，，求高的长．

16．（2023下·山东淄博·七年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的高，是平分线．(1)若，，求的度数．
(2)若，试探求、、之间的数量关系．

17．（2023下·河南新乡·七年级统考期末）如图，在中，和分别是的边，上的高，，相交于点，已知．
(1)若，求的度数；(2)若，，，求的长．

18．（2023下·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，，垂足为．
（1）求证：；（2）若平分分别交，于点，求证：．

19．（2023下·山东烟台·七年级统考期中）如图，，分别是中边和边上的高，已知，，．(1)求的面积；(2)求的长。
20．（2023下·河南新乡·七年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．
(1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点．
①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数；
②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数；

(2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．