专题09 三角形中的倒角模型之双角平分线模型-2023-2024学年七年级数学下册常见几何模型（苏科版）

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1）两内角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点G；结论：．

图1 图2 图3
2）两外角平分线的夹角模型
条件：如图2，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：．
3）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：．

图4 图5 图6
4）凸多边形双内角平分线的夹角模型
条件：如图4，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：
5）两内角平分线的夹角模型
条件：如图5，BP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图6，，的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是．
7）旁心模型
旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD
例1．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ．
【答案】
【分析】由条件可知平分和，利用三角形内角和可求得．
【详解】解：∵点P到三边的距离相等，
∴平分，平分，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
例2．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在五边形ABCDE中，，DP，CP分别平分，，则的度数是 ．
【答案】
【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解．
【详解】解：∵五边形的内角和为，∴，
∵分别为、的平分线，∴，，
∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，牢记n边形的内角和为是解题关键．
例3．（2023·天津河西·八年级期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角．
试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)；
探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系；
探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？
即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．
【答案】探究一：；探究二：；探究三：
【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解
探究三：根据四边形的内角和定理表示出，然后同理探究二解答即可．
【详解】解：探究一：∵，，
∴；故答案为：；
探究二：∵分别平分和，∴，，
∴
；
探究三：∵分别平分和，∴，，
∴
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理解决问题．
例4．（2023.成都市七年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ．
【答案】67°．
【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，则利用邻补角定义计算出∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根据角平分线定义得到∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，后再用三角形内角和计算∠AEC的度数．
【详解】解：∵∠B＝46°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，
∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，
∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，
∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，
∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．故答案为：67°．
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的性质．在本题解题过程中，有些角单独计算不出来，所以把两个角的和看作一个整体计算（如：∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），故掌握整体思想是解决此题的关键．
例5．（2023·湖北·八年级专题练习）如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数.
【答案】
【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．
【详解】解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G，
在中，∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠EBC+∠BCF）
=180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°-（180°-m°+180°-n°）；=
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．
例6．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∠A＝70°，则∠BDC＝（ ）
A．35°B．25°C．70°D．60°
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义可得∠CBD＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DCE＝∠D＋∠CBD，∠ACE＝∠A＋∠ABC，然后整理求出∠D＝∠A．
【详解】解：∵CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
由三角形的外角性质得，∠DCE＝∠D＋∠CBD，∠ACE＝∠A＋∠ABC，
∴∠D＋∠CBD＝（∠A＋∠ABC）∴∠D＝∠A，
∵∠A＝70°，∴∠D＝×70°＝35°．故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，注意整体思想的利用是解答的关键．
例7．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ．
【答案】
【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得，同理得；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，，与的平分线交于点∴
∵∴
∵ ∴同理，得；
；；…
∴故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．
例8．（2023·福建莆田·八年级统考期中）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D；
（1）若∠ABC=60°，∠DCE=70°，则∠D= °；（2）若∠ABC=70°，∠A=80°，则∠D= °；
（3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含∠A的式子表示∠D）
【答案】（1）40° （2）40° （3）见解析
【详解】试题分析：（1）和（2）根据角平分线的定义求出∠PBC和∠PCD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；
（3）根据BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠D=180°-∠4=∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），两式联立可得2∠D=∠A．
试题解析：（1）40° （2）40°
（3）∠D=∠A
理由：∠DCE=∠DBC+∠D即∠D=∠DCE-∠DBC
∵∠ACE=∠ABC+∠A即∠A=∠ACE-∠ABC
又∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线
∵∠DCE=∠ACE ∠DBC=∠ABC∴∠D=∠A
考点：角平分线的性质，三角形的外角
例9．（2023·江苏八年级课时练习）（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：．
（2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：．
（3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】（1）设．
由的内角和为，得．①
由的内角和为，得．②
由②得．③
把③代入①，得，
即，即
（2）∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴
由三角形内角和定理得，，
=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，=180°-（∠A+180°），=90°-∠A；
（3）如图：
∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D
∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A①
在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），
即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，
把①代入②得∠D=∠A．
【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．
课后专项训练
1．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在中，点到的三边距离相等，连接、，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点到的三边距离相等，可得点是三个内角的角平分线的交点，根据，可得，进而可得，最后根据三角形内角和定义即可求解．
【详解】解：点到的三边距离相等，
点是三个内角角平分线的交点，
即、分别是、的角平分线，，，
．故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三条角平分线的交点到三角形三边距离相等，以及三角形的内角和，理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质是解题的关键．
2．（2023秋·云南大理·八年级校考期中）如图，在中，平分，平分，连接，若，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过P作，先根据角平分线的性质得出，即可利用“”分别证明，，即得出，．再根据，，即可求出，从而可求出，进而可得出．
【详解】解：如图，过P作，
∵平分，平分，∴，∴．
∵，，∴，，
∴，．
∵，，
∴，∴，∴．故选A．
【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形全等的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键．
2．（2023·重庆·八年级校联考期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线相交于点I．则的度数（ ）
A．70°B．65°C．50°D．30°
【答案】C
【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，即可求出度数．
【详解】解：∵，∴，
∵的角平分线与的角平分线相交于点I．
∴，∴，
∴，故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和是180度是解题的关键．
3．（2022春·四川成都·七年级校考期中）如图，在中，、分别是，的角平分线，连接并延长交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据、分别是，的角平分线，可以得出平分，再利用三角形外角的定义得出，再利用三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】解：、分别是，的角平分线，平分，
，，，
，，故选：．
【点睛】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形外角的定义、角平分线的定义及性质等知识是解答此题的关键．
4．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【答案】B
【分析】先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形外角性质得，，则，利用等式的性质得到，然后把的度数代入计算即可．
【详解】解答：解：∵的平分线与的平分线交于点D，∴，，
∵，即，∴，
∵，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析是解题关键．
5．（2023·河北张家口·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC与∠A的大小关系是（ ）
A．∠BOC=2∠A B．∠BOC=90°+∠A C．∠BOC=90°+∠A D．∠BOC=90°－∠A
【答案】C
【详解】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB））=（180°-∠A）=90°−∠A，
根据三角形的内角和定理，可得∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，
∴90°-∠A+∠BOC=180°，∴∠BOC=90°+∠A．故选C．
【点睛】（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；（2）此题还考查了角平分线的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个角的平分线把这个角分成两个大小相同的角．
6．（2022春·重庆·七年级校考期中）如图，，、、分别平分△ABC的外角、内角、外角．以下结论：①：②∠DAC=2∠ADB；③；④平分．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，∴ADBC，①正确；
∵ADBC，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，∴∠ACB=2∠ADB，∴∠DAC=2∠ADB，∴②正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD=∠DCF，
∵ADBC，∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°∴∠ADC=90°-∠ABD，∴③正确；
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；即正确的有3个，故选：B．
【点睛】此题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．
7．（2023·浙江台州·八年级校考期中）如图△ABC，BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D，若∠ABC=m°，∠ACB=n°，求∠D的度数为（）
A．90°+m°-n°B．90°-m°+n°C．90°-m°-n°D．不能确定
【答案】C
【分析】由角平分线分别求出∠DBC和∠ACD，然后在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠D.
【详解】∵BD平分∠ABC∴∠DBC=∠ABC=m°
∵∠ACB=n°∴∠ACE=180°-n°
又∵CD平分∠ACE∴∠ACD=∠ACE=
在△BCD中，∠DBC=m°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=，
∴∠D=故选C.
【点睛】本题考查三角形中的角度计算，熟练运用三角形内角和定理是关键.
8．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ．
【答案】/68度
【分析】由条件可知平分和，利用三角形内角和可求得．
【详解】解：∵点P到三边的距离相等，∴平分，平分，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
9．（2023秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点M，作的延长线得到射线，作射线，有下面四个结论：
①；②；③射线是的角平分线；④．
所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】由角平分线的定义可知．再根据三角形外角的性质得出，即可确定，故①正确；过点M作于点F，于点G，于点H，由角平分线的性质定理可得出．即易证，得出，即说明射线是的角平分线，故③正确；利用反证法，假设，易证，即得出．由，可知，即说明不成立，故②错误；由，即得出．再根据角平分线的定义即得出，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确．
【详解】解：∵为的平分线，∴．
∵，∴，∴，故①正确；
如图，过点M作于点F，于点G，于点H，
∵为的平分线，为的平分线，∴．
又∵，∴，
∴，即射线是的角平分线，故③正确；
假设，∴．
∵为的平分线，是的角平分线，
∴，，
∴，即，
∴，即．
∵，∴，∴假设不成立，故②错误；
∵，∴．
∵，∴，
∴
，∴④正确．
综上可知所有正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．
【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键．
10．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ．
【答案】
【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得，同理得；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，，与的平分线交于点
∴
∵∴
∵ ∴ 同理，得；
；；…
∴故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．
11．（2023秋·湖北八年级课时练习）如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A＝60°，则∠P＝ °；（2）若∠A＝40°，则∠P＝ °；（3）若∠A＝100°，则∠P＝ °；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系 ．
【答案】（1）65；（2）45；（3）40； （4）∠P=90°-∠A
【分析】（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数；
（2）、（3）和（1）的解题步骤类似．
【详解】解：（1）∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，∴∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，∴，，
∴，∴；
（2）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∴∠DBC+∠BCE=360°-140°=220°，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，∴，，
∴，∴；
（3）∵∠A=100°，∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°，∴∠DBC+∠BCE=360°-80°=280°，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，∴，，
∴，∴；
（4）∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，∴，，
∴，
∴．故答案为：∠P=90°-∠A．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义．
12．（2023秋·广西八年级课时练习）如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则 ．
【答案】36
【分析】首先根据三角形的外交性质求出，结合三角形的高的知识得到和之间的关系，进而可得结果；
【详解】由图知：，
∵是的角平分线，∴，∴，
∵是的角平分线，∴，
∴，即，
∴，∴，∴，
∵的两条高、交于点，∴，，
∴，∴在四边形中有：，
∵，∴，
∵，∴，
∴．故答案为：36．
【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键．
13．（2023春·河南郑州·七年级校考期末）如图，已知在中，．
(1)分别作，的平分线，它们交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)当时，的度数为 ．(3)当时，的度数为 ．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）根据要求作出已知角的角平分线即可；
（2）利用三角形内角和定理以及角平分线求出，可得结论；
（3） 利用三角形内角和定理以及角平分线求出，可得结论．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2），
平分，平分，
，
．故答案为：；
（3），平分，平分，
，
．故答案为：．
【点睛】本题考查作图—简单作图，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．（2023·成都市·八年级专题练习）在中，，线段、分别平分、交于点G．(1)如图1，求的度数；(2)如图2，求证：；(3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长．

【答案】(1)(2)见解析(3)5
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据平分、平分，得出，，求出，根据三角形内角和得出，即可求出结果；
（2）作平分交于点，证明，得出，证明，得出，即可证明结论；
（3）作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，证明平分，根据，，得出，根据平分，，，得出，证明，证明，得出，证明，得出，作于点，于点，于点，根据，，得出，求出即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，
∵∴，
∵平分、平分，∴，，
∴，在中，，∴．
（2）解：作平分交于点，如图所示：∴，

∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴；
（3）作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，如图所示：
∵平分，∴，∵，∴，∴，
∵，∴，∴平分，
∵，，∴，∵平分，，，
∴，∴，∴平分，
∵，∴，∴，
由（1）得，∴，
∵，，，∴，
∵，∴，由（2）得，∴，
∴，，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴，作于点，于点，于点，
∵，∴，，
，∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
15．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，在中，，是，平分线的交点．(1) ；(2)若是两条外角平分线的交点，则 ；(3)在（2）的条件下，若是内角和外角的平分线的交点，试探索与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)(3)，理由见解析．
【分析】（1）根据角平分线的定义可求得，据此即可求得答案．
（2）根据三角形的外角的性质可求得的值，根据角平分线的定义可求得，据此即可求得答案．（3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质可求得，结合即可求得答案．
【详解】（1）∵，，∴．
∵是的平分线，∴．∵是的平分线，∴．
∴．∴．
故答案为：．
（2）∵是的外角，∴．
∵是的外角，∴．
∴．
∵是的平分线，∴．∵是的平分线，∴．
∴．
∴．故答案为：．
（3），理由如下：∵是的平分线，∴．
∵是的外角，∴．
∵是的平分线，∴．
∵是的外角，∴．
∴．∴．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、三角形的外角的性质、三角形内角和定理，牢记三角形的外角的性质（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和）是解题的关键．
16．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，，，则与互为“和谐角”，为“和谐三角形”．
【理解】(1)若为和谐三角形，，则这个三角形中最小的内角为______°；
(2)若为和谐三角形，，则这个三角形中最小的内角为______°；
(3)已知是和谐中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，试确定的取值范围，并说明理由；
(4)【应用】如图，中，，，交于点F，点D是延长线上一点，，若是和谐中的一个和谐角，设，则______．
【答案】(1)10(2)30或22.5(3)，理由见解析(4)或或 或
【分析】（1）根据和谐三角形的定义结合三角形的内角和定理即可得到答案；（2）根据和谐三角形的概念分两种情况求解即可；（3）由题意得出另外两个角分别为和，列出不等式求解即可；
（4）分两种情况：①当与互为和谐角时，或；②当与互为和谐角时，或，列出方程求出答案即可．
【详解】（1）设最小角为α，
∵为和谐三角形，，∴，
∴，∴这个三角形中最小的内角为．故答案为：10；
（2）∵，当与互为“和谐角”时，则最小角为；
当与互为“和谐角”时，设最小角为α，∴，∴，
综上：为和谐三角形，，则这个三角形中最小的内角为或；故答案为：30或22.5；
（3）∵是和谐中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，
∴另外两个角分别为和，∴，∴；
（4）∵是的外角，是的外角，∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，，
∴；
①当与互为和谐角时，或，
∴或，解得或 ；
②当与互为和谐角时，或，
∴或，解得 或 ，
综上所述：的值为或或 或．故答案为：或或 或．
【点睛】本题查了三角形内角和定理，三角形外角的性质以及和谐角和和谐三角形的概念，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键．
17．（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，在中，，，点P为、的角平分线上的交点．
(1)的度数是______．(2)请问点P是否在的角平分线上？请说明理由．
【答案】(1)130°(2)点P在的角平分线上，理由见解析
【分析】（1）由P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠PBC+∠PCB=50°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数；（2）过点P分别作PD⊥AB ，PE⊥BC ，PF⊥AC ，垂足分别为D、E、F，根据角平分线的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：∵ P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴∠CBP=∠ABP=∠ABC，∠BCP=∠ACP=∠ACB，
∵∠ABC=60°，∠ACB=40°，∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=30°+20°=50°，
∴∠BPC=180°-50°=130°，故答案为：130°；
（2）点P在的角平分线上，理由如下：
过点P分别作PD⊥AB ，PE⊥BC ，PF⊥AC ，垂足分别为D、E、F，
∵PB、PC分别是、的角平分线，
∴，，∴，∴点P在的角平分线上．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．（2023·成都市·八年级专题练习）课本拓展
旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______．
3拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由）
【答案】（1）∠DBC+∠ECB =180°+∠A，理由见解析；（2）50°；（3）∠P=90°-∠A；（4）∠BAD+∠CDA =360°-2∠P，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解；（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
（4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解．
【详解】（1）∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB
=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C，∴130°+∠2=180°+∠C，∴∠2-∠C=50°；
（3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A），
在△PBC中，∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A；即∠P=90°-∠A；
故答案为50°，∠P=90°-∠A；
（4）延长BA、CD于Q，则∠P=90°- ∠Q，∴∠Q=180°-2∠P，
∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，=180°+180°-2∠P，=360°-2∠P．
【点睛】此题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，解题关键在于作辅助线
19．（2023春·江苏·七年级期中）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠BPC＝122°；（2）∠BEC＝；（3）∠BQC＝90°﹣∠A，证明见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和化为角平分线的定义；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】解：（1）、分别平分和，
，，
，，
，，，故答案为：；
（2）和分别是和的角平分线，，，
又是的一外角，，，
是的一外角，；
（3），，
，，
，结论：．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
20．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，的平分线与相交于点Q．(1)若，则____________，____________；
(2)若，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若，则____________，____________；（用含x的代数式表示）；
(4)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数．
【答案】(1)115，25 (2)不发生变化，理由见解析 (3)， (4)45°，60°，120°，135°
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）将（2）中换成，同理即可求解；
（4）设，由（3）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于x的等式，解出x即可．
【详解】（1）∵，∴．
∵平分，∴．
∵，∴，．
∵平分，∴．∴；
∵，∴．
∵CP平分，CQ平分， ∴，．
∵，∴，即，
∴．故答案为：115，25；
（2）当的度数发生变化时，、的度数不发生变化
理由如下：∵，∴．
∵，∴，．
∵平分，平分，
∴，．
∴．
∴由（1）可知不变，∴．
∴当的度数发生变化时，、的度数不发生变化；
（3）∵，∴．∵，∴，．
∵平分，平分，∴，．
∴．
∴．由（1）可知不变，
∴．故答案为：，；
（4）设，由（3）可知，．
∵，∴可分类讨论：①当时，
∴，解得：，∴；
②当时，∴，解得：，∴；
③当时，∴， 解得：，∴；
④当时，∴， 解得：，∴．
综上可知或或或．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．