专题07 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳（苏科版）

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【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
【模型解读】
结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。
注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）
【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。
【最值原理】两点之间，线段最短。
例1．（2023·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（ ）

A．4B．3C．D．
例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．
例3．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形内一点，且，，N为边上一点，连接、、，则的最小值为______．
例4．（2023·广东深圳·二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______．
例5．（2023·广东广州·校考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度；
(2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：；
(3)如图3，已知，若，直接写出的最小值．
例6．（2023·重庆·九年级专题练习）【问题提出】
（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．
例7．（2023·江苏·九年级阶段练习）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为 公里．

例8．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形．
(1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：；
(3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值．
课后专项训练
1．（2023·江苏·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（ ）
A．B．36C． D．
2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形中，，点E是矩形内一动点，连接， ，F为上一动点，连接，则的最小值是 ．

3.（2023.重庆八年级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP＋BP＋PD的最小值为 ．
4．（2023·广东·九年级专题练习）如图，点P是矩形内一点，连接、、、，已知，；则①的最小值为 ；②若，则 ．

5．（2023上·浙江台州·九年级校考期中）如图，在直角坐标系中，，，P为内任意一点，求的最小值 ．
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，，P是平面内一点，则的最小值为______．

7．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题提出
(1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小．
问题探究
(2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小．
问题解决
(3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由．
8．（2023·重庆綦江·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．(1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长；
(2)如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；
(3)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长．
9．（2022·绵阳市·九年级专题练习）如图：(1)如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S△ABC＝6，点M为△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点D，连接AM，则AM+MD的最小值为 ．
(2)如图2．点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝，PC＝4．求∠APB的度数．
(3)如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800点P是长方形内一动点，且S△ABC＝2S△PBC，点Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由．
10．（2022·河南南阳·统考三模）【发现奥秘】
(1)如图1，在等边三角形中，，点E是内一点，连接，分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接．当B，E，F，D四个点满足______时，的值最小，最小值为_______．
【解法探索】(2)如图2，在中，，点P是内一点，连接，请求出当的值最小时的度数，并直接写出此时的值．（提示：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接）
【拓展应用】(3)在中，，点P是内一点，连接，直接写出当的值最小时，的值．
11．（2023·山东九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．
12．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
(1)求证：；(2)如图1，当M点在何处时，的值最小．(3)如图2，在中，，，．若点是内一点，直接写出的最小值．
13．（2023春·江苏苏州·八年级期中）已知为等边三角形，边长为4，点D、E分别是、边上一点，连接、．．
(1)如图1，若，求的长度；(2)如图2，点F为延长线上一点，连接、，、相交于点G，连接，已知，求证：；(3)如图3，点P是内部一动点，顺次连接，请直接写出的最小值．
14．（2023·山东八年级课时练习）阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点P,连接,求PA+PB+PC的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折.旋转.平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60º,得到△EDC,连接PD.BE,则BE的长即为所求．
（1）请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为 ;（2）参考小华的思考问题的方法,解决下列问题：
①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60º,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹,画出一条即可）;
②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．
15．（2023·重庆·九年级校联考期中）如图，菱形中，是对角线．
（1）如图①若，，求菱形的面积；
（2）如图②，、分别是、上一点，连结，过点作于点，过点作于点，交于点，且．求证：
（3）如图③，若，且点是内任意一点，求的最小值．