第2章《相交线与平行线》【培优讲练】-2023-2024学年北师大版数学七年级下册章节复习讲义

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熟练掌握对顶角，余角，补角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；
2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；
3. 了解尺规作图的概念，熟练掌握用尺规作角或线段的方法.
知识点01：两条直线的位置关系
【高频考点精讲】
1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行.
【易错点剖析】
（1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.
（2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示.
2.对顶角、补角、余角
（1）定义：
①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角.
②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．
（2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等．
3.垂线
（1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图．
（2）垂线的性质：
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②垂线段最短．
（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
知识点02：平行线的判定与性质
【高频考点精讲】
1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
3．两条平行线间的距离
如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.
【易错点剖析】
（1）两条平行线之间的距离处处相等.
（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.
（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.
知识点03：用尺规作线段和角
【高频考点精讲】
1.用尺规作线段
（1）用尺规作一条线段等于已知线段.
（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数.
（3）用尺规作一条线段等于已知线段的和.
（4）用尺规作一条线段等于已知线段的差.
2.用尺规作角
（1）用尺规作一个角等于已知角.
（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数.
（3）用尺规作一个角等于已知角的和.
（4）用尺规作一个角等于已知角的差.
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.52
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023秋•海门区期末）如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，入射光线OM经过镜子两次反射后的出射光线NO平行于AB，图中∠1＝∠2，∠3＝∠4．当OM∥BC时，∠α的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
2．（2分）（2023秋•温江区期末）如图，AB∥DF，AC⊥CE于点C，BC与DF交于点E，若∠A＝23°，则∠CED＝（ ）
A．57°B．63°C．67°D．73°
3．（2分）（2023秋•长春期末）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝45°，∠3＝30°时，那么∠2的度数是（ ）
A．15°B．25°C．30°D．45°
4．（2分）（2022秋•绥棱县校级期末）如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
5．（2分）（2023秋•瑶海区期末）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，下列说法中正确的个数是（ ）
①∠1＝∠2＝∠3；
②∠1＝∠3，依据是等角的余角相等；
③∠2+∠AOD＝180°；
④当∠1＝2∠2时，∠AOD＝120°
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2分）（2023秋•鼓楼区期末）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C，D．下列说法正确的个数是（ ）
①点C到线段AB的距离为线段CD的长度；
②∠ACD+∠B＝90°；
③∠A＝∠BCD；
④将三角形ABC绕线段BC所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2分）（2023秋•重庆期末）折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着EF进行第一次折叠，使得C，D两点落在C1、D1的位置，再将纸条沿着GF折叠（GF与BC在同一直线上），使得C1、D1分别落在C2、D2的位置．若3∠EFB＝∠EFC2，则∠GEF的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
8．（2分）（2023秋•安顺期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（ ）
A．12B．18C．24D．36
9．（2分）（2023秋•罗定市期末）如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOE，∠DOE＝90°，则以下结论：①∠AOD与∠BOE互为余角；②∠AOD＝∠COE；③∠BOE＝2∠COD；④若∠BOE＝58°，则∠COE＝61°．其中正确的是（ ）
A．只有①④B．只有①③④C．只有③④D．①②③④
10．（2分）（2023秋•兰州期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：
①∠D＝40°；
②2∠D+∠EHC＝90°；
③FD平分∠HFB；
④FH平分∠GFD．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋•秦淮区期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠BOC＝55°，则∠AOD＝ °．
12．（2分）（2023秋•简阳市期末）如图a∥b，则图中∠A，∠B，∠1，∠2的数量关系是 ．
13．（2分）（2023秋•游仙区期末）如图，∠AOC和∠DOB都是直角，如果∠DOC＝35°，那么∠AOB的补角＝ ．
14．（2分）（2023秋•封开县期末）如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝ ．
15．（2分）（2023秋•市南区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝ ．
16．（2分）（2023秋•李沧区期末）如图，点E为AB延长线上一点，要使AB∥CD，则可以添加的一个条件是 ．
17．（2分）（2023•渝中区校级开学）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且∠NED＝∠EFM，则∠MFA＝ °．
18．（2分）（2022秋•盱眙县期末）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示135°的点在直线b上，则∠1＝ °．
19．（2分）（2023春•开州区期末）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，已知∠1＝50°，则∠FEH＝ °．
20．（2分）（2022秋•青岛期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023秋•顺义区期末）已知：点O为直线AB上一点，∠AOC＝36°，OD⊥OC于点O，OE平分∠BOD．依题意画出图形，并求∠DOE的度数．
22．（6分）（2023秋•工业园区期末）如图，将一个直角三角尺OAB的直角顶点O落在直线CD上，OE平分∠AOD．
（1）如图①，当点A，B在CD的同侧时，若∠AOC＝58°，求∠BOE的度数；
（2）如图②，当点A，B在CD的异侧时，若∠AOE＝2∠BOD，求∠AOC的度数．
23．（8分）（2023秋•召陵区期末）点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处，射线OC平分∠MOB．
（1）如图1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度数；
（2）在图1中，若∠AOM＝α，直接写出∠CON的度数（用含α的式子表示）；
（3）将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在直线AB上方，另一边ON在直线AB下方．
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数．
24．（8分）（2023秋•襄城区期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝30°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝ ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，
①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝ ；
②若OD在∠BOC内部，请直接写由∠BOD与∠COE的数量关系为 ；
将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
25．（8分）（2023秋•城关区校级期末）小亮的一张地图上有A、B、C三个城市，但地图上的C城市被墨迹污染了（如图），但知道∠BAC＝∠1，∠ABC＝∠2，请你用尺规作图法帮他在如图中确定C城市的具体位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
26．（8分）（2023秋•花溪区期末）（1）如图1，点A、B、C、D在同一条直线上，AD＝10cm，AC＝16cm，若点B是线段CD的中点，求线段AB的长．
（2）如图2，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OC平分∠AOE，∠BOD＝34°，求∠DOE的度数．
27．（8分）（2023秋•商河县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．
28．（8分）（2022秋•内江期末）（1）【问题】
如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数；
（2）【问题迁移】
如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．