第2章《一元一次不等式与一元一次不等式组》【培优讲练】-2023-2024学年北师大版数学八年级下册章节复习讲义

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1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；
2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；
3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；
4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；
5.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.
知识点01：不等式
【高频考点精讲】
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
【易错点剖析】
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
知识点02：一元一次不等式
【高频考点精讲】
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．
【易错点剖析】
ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
【易错点剖析】
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.
知识点03：一元一次不等式组
【高频考点精讲】
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
【易错点剖析】
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
知识点04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）
【高频考点精讲】
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.53
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023秋•镇海区校级期末）已知关于m的不等式（2﹣b）m＞b﹣2的解集为m＜﹣1，则b的取值范围是（ ）
A．b＞2B．b＜2C．b＞0D．b＜0
解：∵关于m的不等式（2﹣b）m＞b﹣2的解集为m＜﹣1，
∴2﹣b＜0，
∴b＞2．
故选：A．
2．（2分）（2023秋•宁阳县期末）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，且直线l过点（﹣2，0），则下列结论错误的是（ ）
A．kb＞0
B．直线l过坐标为（1，3k）的点
C．若点（﹣16，m），（﹣18，n）在直线l上，则n＞m
D．
解：∵该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与y轴的交点位于x轴下方，
∴k＜0，b＜0，
∴kb＞0，故A正确，不符合题意；
将点（﹣2，0）代入y＝kx+b，得：0＝﹣2k+b，
∴b＝2k，
∴直线l的解析式为y＝kx+2k，
当x＝1时，y＝k+2k＝3k，
∴直线l过坐标为（1，3k）的点，故B正确，不符合题意；
由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，
又∵﹣16＞﹣18，
∴n＞m，故C正确，不符合题意；
∵该函数y的值随x的增大而减小，且当x＝﹣2时，y＝0，
∴当时，y＞0，即，故D错误，符合题意．
故选：D．
3．（2分）（2024•宜昌模拟）不等式x+1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：∵x+1≤3，
∴x≤2．
表示在数轴上是：
故选：A．
4．（2分）（2023春•东港区期末）将直线y＝x﹣2向上平移3个单位长度后得到直线y＝kx+b，下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．与y轴交于点（0，﹣1）
C．经过第二、三、四象限
D．若关于x的不等式kx+b＞0，则x＞﹣1
解：将直线y＝x﹣2向上平移3个单位长度后得到直线y＝x﹣2+3＝x+1，
A．直线y＝x+1，y随x的增大而增大，错误；
B．直线y＝x+1与y轴交于（0，1），错误；
C．直线y＝x+1经过第一、二、三象限，错误；
D．关于x的不等式kx+b＞0，则直线y＝x+1＞0，解得x＞﹣1，正确．
故选：D．
5．（2分）（2023•金华模拟）北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（ ）
A．100x+80（10﹣x）＞900B．100x+80（10﹣x）＜900
C．100x+80（10﹣x）≥900D．100x+80（10﹣x）≤900
解：设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品（10﹣x）件，
根据题意，得：100x+80（10﹣x）≤900，
故选：D．
6．（2分）（2023秋•西湖区期末）若关于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集为x＞1，则m的值可以取（ ）
A．0B．2C．4D．6
解：∵关于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集为x＞1，
∴m﹣1＜0，
则m＜1，
故选：A．
7．（2分）（2023秋•莱西市期末）不等式组的解集为（ ）
A．﹣2＜x＜1B．x＜﹣2C．x＞1D．无
解：，
解不等式①，得x＞1
解不等式②，得x＞﹣2，
故不等式组的解集为x＞1．
故选：C．
8．（2分）（2023秋•鄞州区期末）如图，直线y1＝2x与直线y2＝kx+b（k≠0）相交于点P（a，2），则关于x的不等式2x≤kx+b的解集是（ ）
A．x≥4B．x≤4C．x≥1D．x≤1
解：∵直线y1＝2x过点P（a，2），
∴2＝2a，
∴a＝1，
∴P（1，2），
如图所示：关于x的不等式2x≤kx+b的解是：x≤1．
故选：D．
9．（2分）（2022秋•鄞州区期末）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220﹣年龄）×0.8，最低值不低于（220﹣年龄）×0.6．以30岁为例计算，220﹣30＝190，190×0.8＝152，190×0.6＝114，所以30岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（ ）
A．114≤p≤152B．114＜p＜152C．114≤p≤190D．114＜p＜190
解：根据题意知：（220﹣年龄）×0.6≤p≤（220﹣年龄）×0.8，
由220﹣30＝190，190×0.8＝152，190×0.6＝114，知114≤p≤152．
故选：A．
10．（2分）（2023•眉山）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣5≤m＜﹣4B．﹣5＜m≤﹣4C．﹣4≤m＜﹣3D．﹣4＜m≤﹣3
解：解不等式组得：m+3＜x＜3，
由题意得：﹣2≤m+3＜﹣1，
解得：﹣5≤m＜﹣4，
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋•崂山区期末）一次函数y＝ax+b与y＝nx+n的图象如图所示，下列说法①a•m＜0；②b•n＜0；③两个函数都是y随x的减小而增大；④ax+b＞mx+n的解集为x＞﹣3；⑤3（m﹣a）＝n﹣b．其中正确的是 ②④ （请填写序号）．
解：∵一次函数y＝ax+b的图象过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∵一次函数y＝mx+n的图象过二、三、四象限，
∴m＜0，n＜0，
∴a•m＞0，①错误；
b•n＜0，②正确；
两个函数都是y随x的减小而减小，③错误；
∵一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象交点坐标的横坐标为3，
∴ax+b＞mx+n的解集为x＞﹣3，④正确；
3a+b＝3m+n，
∴3（m﹣a）＝b﹣n，⑤错误．
故正确是②④．
故答案为：②④．
12．（2分）（2023秋•镇海区校级期末）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 m≤2 ．
解：不等式组整理得：，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴m的范围是m≤2．
故答案为：m≤2．
13．（2分）（2022秋•新晃县期末）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a﹣3b．如：1⊕5＝2×1﹣3×5＝﹣13．则不等式x⊕4＜0的非负整数解是 0、1、2、3、4、5 ．
解：∵a⊕b＝2a﹣3b，
∴x⊕4＝2x﹣12，
不等式x⊕4＜0即为：2x﹣12＜0，
解得x＜6，
∴不等式x⊕4＜0的非负整数解是0、1、2、3、4、5．
故答案为：0、1、2、3、4、5．
14．（2分）（2022秋•七星关区期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞1，则k的取值范围是 k＞2 ．
解：将中的两个方程相加得3x+3y＝3k﹣3，
整理得：x+y＝k﹣1，
∵x+y＞1，
∴k﹣1＞1，
解得：k＞2．
故答案为：k＞2．
15．（2分）（2023秋•雁塔区校级期末）若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过点A（﹣2，﹣1）和点B（1，2），则不等式kx+b≥2的解集为 x≥1 ．
解：如图所示：不等式kx+b≥2的解集为：x≥1，
故答案为：x≥1．
16．（2分）（2023秋•岳阳楼区期末）若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是 ﹣＜m≤﹣ ．
解：解不等式2x+1＜3，得：x＜1，
解不等式6（x﹣m）≥3+4x，得：x≥，
∵不等式组只有3个整数解，
∴﹣3＜≤﹣2，
解得﹣＜m≤﹣，
故答案为：﹣＜m≤﹣．
17．（2分）（2022秋•昭平县期末）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③关于x的方程kx﹣x＝a﹣b的解是x＝3；④当x＞3时，y1＜y2中．则正确的序号有 ①③④ ．
解：根据图示及数据可知：
①k＜0正确；
②a＜0，原来的说法错误；
③方程kx+b＝x+a的解是x＝3，正确；
④当x＞3时，y1＜y2正确．
故答案为：①③④
18．（2分）（2022春•梁园区期末）对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 3 个．
解：由题意得4≤＜5，
解得：7≤x＜，
其整数解为7、8、9共3个．
故答案为：3．
19．（2分）（2023春•仙居县期末）正比例函数y＝2x和一次函数y＝kx+5（k为常数，且k不为0）的图象交于点A（m，3），则关于x的不等式2x＜kx+5的解集为 x＜ ．
解：把A（m，3）代入y＝2x得2m＝3，解得m＝，
∴A（，3），
由图象可知，当x＜时，2x＜kx+5，
故关于x的不等式2x＜kx+5的解集为x＜．
故答案为：x＜．
20．（2分）（2023春•老城区校级月考）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6 交于点P（3，5），则关于x的不等式kx+6＜x+b的解集是 x＞3 ．
解：由函数图象知，当x＞3时，kx+6＜x+b，
即不等式kx+6＜x+b的解集为x＞3．
故答案为：x＞3．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023秋•鄞州区期末）解不等式组，并把解表示在数轴上．
解：解不等式3x≥5x﹣2，得x≤1，
解不等式，得x＞﹣3，
∴﹣3＜x≤1．
把解表示在数轴上如图所示：
22．（6分）（2023春•天山区校级期末）已知一次函数y＝kx+b经过点A（3，0），B（0，3）．
（1）求k，b的值．
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出函数图象；
（3）结合图象直接写出不等式kx+b＞0的解集．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b经过点A（3，0），B（0，3）．
∴，
解得；
（2）函数图象如图：
；
（3）不等式kx+b＞0的解集为：x＜3．
23．（8分）（2023春•碑林区校级期末）某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．
（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？
解：（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元．
根据题意得：，
解得：，
所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元．
（2）设购买气排球n个，则购买篮球（50﹣n）个．
根据题意得：，
解得，
又∵n为正整数，
∴排球的个数可以为27，28，29，
∴购买方案三种：①购买排球29个，篮球21个，
②购买排球28个，篮球22个，
③购买排球27个，篮球23个．
24．（8分）（2023•五常市一模）某班计划购买A、B两款文具盒作为期末奖品．若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．
（1）每盒A款的文具盒和每盒B款的文具盒各多少元．
（2）某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少盒A款的文具盒？
解：（1）设每盒A款的文具盒为x元，每盒B款的文具盒为y元，
由题意得：，
解得：，
答：每盒A款的文具盒为6元，每盒B款的文具盒为4元；
（2）设该班购买m盒A款的文具盒，
由题意得：6m+4（40﹣m）≤210，
解得：m≤25，
答：该班最多可以购买25盒A款的文具盒．
25．（8分）（2023春•曲阜市期末）为了庆祝建党102周年，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元．
（1）求A，B两种奖品的单价．
（2）学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量不少于A种奖品数量的，购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案．
解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
由题意得：，
解得：．
答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元；
（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（40﹣m）个，
由题意得：，
解得：43≤m≤45，
∵m为整数，
∴m可取43或44或45，
∴60﹣m＝17或16或15，
∴学校有三种购买方案：
方案一、购买A种奖品43个，购买B种奖品17个；
方案二、购买A种奖品44个，购买B种奖品16个；
方案三、购买A种奖品45个，购买B种奖品15个．
26．（8分）（2023春•定边县校级期末）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）如果该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择什么样的购买方案？
解：（1）设购买甲种机器x台（x≥0），则购买乙种机器（6﹣x）台．
依题意，得7x+5×（6﹣x）≤34．
解这个不等式，得x≤2，即x可取0，1，2三个值．
∴该公司按要求可以有以下三种购买方案：
方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台．
方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台．
方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；
（2）根据题意，100x+60（6﹣x）≥380，
解之，可得：x≥，
由上题解得：x≤2，即≤x≤2，
∴x可取1，2两个值，
即有以下两种购买方案：
方案一购买甲种机器1台，购买乙种机器5台，所耗资金为1×7+5×5＝32万元；
方案二购买甲种机器2台，购买乙种机器4台，所耗资金为2×7+4×5＝34万元．
∴为了节约资金应选择方案一．
故应选择方案一：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台．
27．（8分）（2023春•莲池区校级期中）为促进学生德智体美劳全面发展，推动文化学习与体育锻炼协调发展，某校举办了学生趣味运动会．该校计划用不超过5900元购买足球和篮球共36个，分别作为运动会团体一、二等奖的奖品．已知足球单价170元，篮球单价160元．
（1）学校至多可购买多少个足球？
（2）受卡塔尔世界杯的影响，学校商议决定按（1）问的结果购买足球作为一等奖奖品，以鼓励更多学生热爱足球，同时商场也对足球和篮球的价格进行调整，足球单价下降了a%，篮球单价上涨了，最终学校购买奖品的经费比计划经费的最大值节省了155元，求a的值．
解：（1）设学校购买x个足球，则购买（36﹣x）个篮球，
根据题意得：170x+160（36﹣x）≤5900，
解得：x≤14．
答：学校至多可购买14个足球．
（2）根据题意得：，
解得：a＝25．
答：a的值为25．
28．（8分）（2023春•红山区期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
解：（1）解方程组，得，
所以点A坐标为（1，﹣3）；
（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；
当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）；
∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，
∴△ABC的面积＝×6×3＝9；
（3）根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤1
方程（组）、不等式问题
函 数 问 题
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解
为何值时，函数的值为0？
确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标.
求关于、的二元一次方程组的解．
为何值时，函数与函数的值相等？
确定直线与直线的交点的坐标.
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集
为何值时，函数的值大于0？
确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
甲
乙
价格（万元/台）
7
5
每台日产量（个）
100
60