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第4章《因式分解》【培优讲练】-2023-2024学年北师大版数学八年级下册章节复习讲义
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这是一份第4章《因式分解》【培优讲练】-2023-2024学年北师大版数学八年级下册章节复习讲义，文件包含第4章因数分解教师版docx、第4章因数分解学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；
2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；
3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
知识点01：因式分解
【高频考点精讲】
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
知识点02：提公因式法
【高频考点精讲】
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.
知识点03：公式法
【高频考点精讲】
1.平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
2.完全平方公式
两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
【易错点剖析】
（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
知识点04：十字相乘法和分组分解法
【高频考点精讲】
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
知识点05：因式分解的一般步骤
【高频考点精讲】
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.53
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023秋•海沧区期末）运用公式a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2直接对整式9x2﹣12x+4进行因式分解，则公式中的a可以是（ ）
A．3xB．9xC．3x2D．9x2
2．（2分）（2023秋•鞍山期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）
B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
C．x2+xy+x＝x（x+y）
D．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2）
3．（2分）（2023秋•铁锋区期末）如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是（ ）
A．（m+2n）2B．（m+2n）（m+n）
C．（2m+n）（m+n）D．（m+2n）（m﹣n）
4．（2分）（2023秋•临沭县期末）如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、b（a＞b），周长为20，面积为16，请计算a2b﹣ab2的值为（ ）
A．96B．480C．320D．160
5．（2分）（2023秋•河北区校级期末）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若a2+2ab+b2＝c2+24，a+b﹣c＝4，则△ABC的周长是（ ）
A．3B．6C．8D．12
6．（2分）（2023秋•旌阳区期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．你爱数学B．你爱学C．爱中国D．中国爱你
7．（2分）（2023春•曲阳县期末）小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
8．（2分）（2023春•云岩区校级期中）利用因式分解可以简便计算：57×99+44×99﹣99分解正确的是（ ）
A．99×（57+44）B．99×（57+44﹣1）
C．99×（57+44+1）D．99×（57+44﹣99）
9．（2分）（2023春•宽甸县期末）小华是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：5，a﹣b，x+1，x﹣1，x2﹣1，a，分别对应下列六个字；我，爱，数，学，思，考．现将5a（x2﹣1）﹣5b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学B．爱思考C．思数学D．我爱数学
10．（2分）（2023•容城县校级一模）小李在计算20232023﹣20232021时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ）
A．2023，2024，2025B．2022，2023，2024
C．2021，2022，2023D．2020，2021，2022
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋•浦东新区期末）因式分解：x2﹣8x+12＝ ．
12．（2分）（2023秋•惠城区校级期末）如果x2+kx+16恰好是另一个整式的平方，则k的值是 ．
13．（2分）（2023秋•东城区期末）已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为 ．
14．（2分）（2022秋•张店区校级期末）已知x，y满足方程组，则x2﹣9y2的值为 ．
15．（2分）（2023春•顺德区期末）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，判断三角形的形状 ．
16．（2分）（2023秋•乌兰察布期末）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 ．
17．（2分）（2023春•九龙坡区校级期中）若一个四位数M的千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的和也为10，则这个四位数M为“双十数”．例如：M＝3278，∵3+7＝10，2+8＝10，∴3278是“双十数”；又如：M＝1294，∵1+9＝10，2+4＝6≠10，∴1294不是“双十数”．若一个“双十数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G（M）＝，P（M）＝，当G（M）是整数时，|c﹣d|的最大值为 ，若G（M）、P（M）均为整数时，记F（M）＝G（M）+P（M），当F（M）取得最大值，且c＞d时，M的值为 ．
18．（2分）（2023春•诸暨市期末）如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（a＞b）．观察图形，发现多项式a2+3ab+2b2可因式分解为 ．
19．（2分）（2023春•大埔县期末）用提取公因式法将多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b分解因式时，应提取的公因式是 ．
20．（2分）（2023春•万州区期末）如果一个各位数字都不为0的三位数的百位数字等于它的十位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“嘀咕数”，如：三位数132，∵1＝|3﹣2|，∴132是“嘀咕数”．把一个“嘀咕数”m的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为F（m），把m的十位数字与个位数字的2倍之差记为G（m），则F（257）+G（257）的值为 ；若三位数A是“嘀咕数”，已知F（A）+G（A）是完全平方数，且十位数字小于个位数字，则所有符合条件的A的最大值为 ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023秋•海口期末）把下列多项式分解因式：
（1）32a﹣2ab2； （2）（x+3y）2﹣12xy．
22．（6分）（2023秋•龙口市期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2+4x+4＝ ；16x2+24x+9＝ ；9x2﹣12x+4＝ ；
（2）观察以上三个多项式的系数，我们发现：
42＝4×1×4，242＝4×16×9，（﹣12）2＝4×9×4；
①猜想结论：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则系数a，b，c一定存在某种关系；请你用式子表示a，b，c之间的关系；
②验证结论：请你写出一个完全平方式（不同于题中所出现的完全平方式），并验证①中的结论；
③解决问题：若多项式（m+8）x2﹣（2m+4）x+m是一个完全平方式，求m的值．
23．（8分）（2022秋•栾川县期末）已知a、b、c分别是△ABC的三边．
（1）分别将多项式ac﹣bc，﹣a2+2ab﹣b2进行因式分解；
（2）若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，试判断△ABC的形状，并说明理由．
24．（8分）（2023春•锦江区校级月考）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形且m＞0．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ．
（2）若每块小矩形的面积为20cm2，四个正方形的面积和为82cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
25．（8分）（2023秋•南安市期末）在数学综合与实践活动课堂上，同学们分小组合作探究一道题目：
计算：（a+b+c）2．小华同学联想到她之前学习的“面积与代数恒等式”，当利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．于是她画出了图2表示 （a+b+c）2的图形，根据面积关系即可得到结果．
（1）请你按小华的说法，写出这个代数恒等式： ．
（2）利用（1）的结论解答：已知a+b+c＝6，a2+b2+c2＝12，求ab+bc+ac的值；
（3）在（2）的条件下，若a，b，c分别是一个三角形的三条边的长度，请判断该三角形的形状？并说明理由．
26．（8分）（2023秋•雷州市期末）阅读材料，解决问题：
【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：把x+y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A＝x+y重新代入，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，利用配方法进行因式分解：x2﹣6x+8；
（2）根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：（x﹣y）2﹣4（x﹣y）+4；
（3）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣4a﹣6b﹣4c+17＝0时，判断△ABC的形状并说明理由．
27．（8分）（2023秋•哈密市期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值．
28．（8分）（2023春•通川区期末）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到六位数的数字密码171920．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的六位数的数字密码（只需一个即可）；
（3）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．
理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；
2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；
3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
知识点01：因式分解
【高频考点精讲】
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
知识点02：提公因式法
【高频考点精讲】
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.
知识点03：公式法
【高频考点精讲】
1.平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
2.完全平方公式
两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
【易错点剖析】
（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
知识点04：十字相乘法和分组分解法
【高频考点精讲】
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
知识点05：因式分解的一般步骤
【高频考点精讲】
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.53
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023秋•海沧区期末）运用公式a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2直接对整式9x2﹣12x+4进行因式分解，则公式中的a可以是（ ）
A．3xB．9xC．3x2D．9x2
2．（2分）（2023秋•鞍山期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）
B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
C．x2+xy+x＝x（x+y）
D．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2）
3．（2分）（2023秋•铁锋区期末）如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是（ ）
A．（m+2n）2B．（m+2n）（m+n）
C．（2m+n）（m+n）D．（m+2n）（m﹣n）
4．（2分）（2023秋•临沭县期末）如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、b（a＞b），周长为20，面积为16，请计算a2b﹣ab2的值为（ ）
A．96B．480C．320D．160
5．（2分）（2023秋•河北区校级期末）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若a2+2ab+b2＝c2+24，a+b﹣c＝4，则△ABC的周长是（ ）
A．3B．6C．8D．12
6．（2分）（2023秋•旌阳区期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．你爱数学B．你爱学C．爱中国D．中国爱你
7．（2分）（2023春•曲阳县期末）小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
8．（2分）（2023春•云岩区校级期中）利用因式分解可以简便计算：57×99+44×99﹣99分解正确的是（ ）
A．99×（57+44）B．99×（57+44﹣1）
C．99×（57+44+1）D．99×（57+44﹣99）
9．（2分）（2023春•宽甸县期末）小华是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：5，a﹣b，x+1，x﹣1，x2﹣1，a，分别对应下列六个字；我，爱，数，学，思，考．现将5a（x2﹣1）﹣5b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学B．爱思考C．思数学D．我爱数学
10．（2分）（2023•容城县校级一模）小李在计算20232023﹣20232021时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ）
A．2023，2024，2025B．2022，2023，2024
C．2021，2022，2023D．2020，2021，2022
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋•浦东新区期末）因式分解：x2﹣8x+12＝ ．
12．（2分）（2023秋•惠城区校级期末）如果x2+kx+16恰好是另一个整式的平方，则k的值是 ．
13．（2分）（2023秋•东城区期末）已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为 ．
14．（2分）（2022秋•张店区校级期末）已知x，y满足方程组，则x2﹣9y2的值为 ．
15．（2分）（2023春•顺德区期末）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc＝0，判断三角形的形状 ．
16．（2分）（2023秋•乌兰察布期末）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 ．
17．（2分）（2023春•九龙坡区校级期中）若一个四位数M的千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的和也为10，则这个四位数M为“双十数”．例如：M＝3278，∵3+7＝10，2+8＝10，∴3278是“双十数”；又如：M＝1294，∵1+9＝10，2+4＝6≠10，∴1294不是“双十数”．若一个“双十数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G（M）＝，P（M）＝，当G（M）是整数时，|c﹣d|的最大值为 ，若G（M）、P（M）均为整数时，记F（M）＝G（M）+P（M），当F（M）取得最大值，且c＞d时，M的值为 ．
18．（2分）（2023春•诸暨市期末）如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（a＞b）．观察图形，发现多项式a2+3ab+2b2可因式分解为 ．
19．（2分）（2023春•大埔县期末）用提取公因式法将多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b分解因式时，应提取的公因式是 ．
20．（2分）（2023春•万州区期末）如果一个各位数字都不为0的三位数的百位数字等于它的十位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“嘀咕数”，如：三位数132，∵1＝|3﹣2|，∴132是“嘀咕数”．把一个“嘀咕数”m的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为F（m），把m的十位数字与个位数字的2倍之差记为G（m），则F（257）+G（257）的值为 ；若三位数A是“嘀咕数”，已知F（A）+G（A）是完全平方数，且十位数字小于个位数字，则所有符合条件的A的最大值为 ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023秋•海口期末）把下列多项式分解因式：
（1）32a﹣2ab2； （2）（x+3y）2﹣12xy．
22．（6分）（2023秋•龙口市期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2+4x+4＝ ；16x2+24x+9＝ ；9x2﹣12x+4＝ ；
（2）观察以上三个多项式的系数，我们发现：
42＝4×1×4，242＝4×16×9，（﹣12）2＝4×9×4；
①猜想结论：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则系数a，b，c一定存在某种关系；请你用式子表示a，b，c之间的关系；
②验证结论：请你写出一个完全平方式（不同于题中所出现的完全平方式），并验证①中的结论；
③解决问题：若多项式（m+8）x2﹣（2m+4）x+m是一个完全平方式，求m的值．
23．（8分）（2022秋•栾川县期末）已知a、b、c分别是△ABC的三边．
（1）分别将多项式ac﹣bc，﹣a2+2ab﹣b2进行因式分解；
（2）若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，试判断△ABC的形状，并说明理由．
24．（8分）（2023春•锦江区校级月考）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形且m＞0．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ．
（2）若每块小矩形的面积为20cm2，四个正方形的面积和为82cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
25．（8分）（2023秋•南安市期末）在数学综合与实践活动课堂上，同学们分小组合作探究一道题目：
计算：（a+b+c）2．小华同学联想到她之前学习的“面积与代数恒等式”，当利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．于是她画出了图2表示 （a+b+c）2的图形，根据面积关系即可得到结果．
（1）请你按小华的说法，写出这个代数恒等式： ．
（2）利用（1）的结论解答：已知a+b+c＝6，a2+b2+c2＝12，求ab+bc+ac的值；
（3）在（2）的条件下，若a，b，c分别是一个三角形的三条边的长度，请判断该三角形的形状？并说明理由．
26．（8分）（2023秋•雷州市期末）阅读材料，解决问题：
【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：把x+y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A＝x+y重新代入，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，利用配方法进行因式分解：x2﹣6x+8；
（2）根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：（x﹣y）2﹣4（x﹣y）+4；
（3）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣4a﹣6b﹣4c+17＝0时，判断△ABC的形状并说明理由．
27．（8分）（2023秋•哈密市期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值．
28．（8分）（2023春•通川区期末）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到六位数的数字密码171920．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的六位数的数字密码（只需一个即可）；
（3）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．
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